История и методология прикладной математики. Русанов, Росляков (2004) (1185895), страница 33
Текст из файла (страница 33)
Для частицы газа, модуль скорости которой равен п, кинетическая энергия, отнесенная к единице массы газа, равна иэ/2, а к единице объема — риэ/2. Полная энергия единицы массы газа равна Е = Е + и2/2, а единицы объема е = р(Е + н2/2) . 4. Кинематика газа как сплошной среды имеет свою специфику. В области, занятой газом, определено поле скорости п(г,1) как векторной функции координат г = (хмхэ,хз) и времени Закон движения частицы газа по ее траектории имеет вид г = Н(1), где функция Щг) удовлепюряет уравнению с1 В.
— = ц(Н,1). с11 Рассмотрим произвольную функцию /(г, 1) и найдем ее производную вдоль траектории частицы: с1/ д/ — /(В.,1) = — + ~ с 8гас1/) нли — = — +(ц,йгас1/). (17.8) Выражение с1 // с1 1 обозначает полную производную функции / вдоль траектории, а д//д1 — — ее производную по времени в данной точке. Выражение (ц, 8гас1 /) есть переносный член, вызванный переносом значения частицей газа. Наличие переносных членов является специфическим не только длн модели сплошной среды, но и для всех кинетических процессов, связанных с перемещением материальных объектов. 5.
Уравнения движения газа выводятся на основе общих законов сохранения механики Ньютона. Кроме уравнений сохранения энергии и импульса в систему уравнений модели сплошной среды входит егце и уравнение сохранения массы, которое называется также уравнением неразрывности. Полная система уравнений математической модели невязкого и нетеплопроводного газа в трехмерном пространстве имеет вид с1Р 1) — + рс11» и =- Π— уравнение неразрывности, с11 с1п три уравнения 2-4) — †- + 8гас1р =- 0— 61 сохранения илспульса с1Е 5) — — + рс11» п = Π— уравнение сохранения энергии.
с1 с Заметим, что Эйлер в упомянутой выше работе вывел пер- вые четыре уравнения. Вместо пятого уравнения он постули- ровал пропорциональность давления плотности,что позволило замкнуть систему. С современной точки зрения Эйлер рассма- тривал нзотермнческнй случай, когда в уравнении Клапейрона Т = сопел. Комбинируя первое и последнее уравнение, получаем с1Е с11' 6Š— +р — =-0 нлн Т вЂ” =О, с1 Г с11 с11 (17.10) (17.9) где Яр и Яр — частные производные энтропии по р и р. В термодинамике доказывается, что имеющая размерность квадрата скорости величина Яр/Яр всегда отрицательна, и можно положить — — с — =-О, с = — — е = ~ — ~ . (1712) с1Р 2с1Р 2 ~Р с1р 61 61 ' я, '1,4Р/, ...,' откуда следует важный вывод, что в невязком негеплопроводном газе энтропия сохраняется вдоль траектории частицы.
Так как энтропия Я есть функция р и р, то (17.10) можно записать так ар с1р Яес1р Яр +Я =0 или + =О "с11 ес11 с11 Яр с11 — 168— 169— откуда следует, что в стационарном течении вдоль линии тока имеет место равенство и 6+ — = сопзФ, 2 (17.13) называемое уравнением Бернулли, по имени ученого Даниила Бернулли. Величина, стоящая в левой части (17.13), называется иногда полной энергией единицы массы газа.
170— Скорость с есть скорость распространения в газе малых воз-- мущений, в том числе звуковых волн, и называется скоростью звука. Отношение и/с = М вЂ” величина безразмерная и называется числом Маха, имеющим важное значение в аэродинамике и газовой динамике. Для совершенного таза сз = ур/р.
Как видно из системы (17.9), параметры газа в общем случае существенно зависят от трех пространственных координат и вре. мени. Соответствующие течения сиза называются трехмерными нестационарными. В частных случаях число существенных не-. зависимых переменных может быть меньше четырех. Если параметры газа существенно зависят только от двух или от одной из пространсгвенных координат, то течение называется, соотве1ственно, двумерным или одномерным При этом координаты не обязательно должны быть декартовыми. Например, в круглой трубе переменного сечения может реализоваться двумерное течение газа, параметры которого зависят только от двух пространственных цилиндрических координат — осевой и радиальной.
Если отсутствует зависимость от времени, то такое течение газа называется стационарным. В стационарном течении траектории частиц фиксированы в пространстве и представляют собой векторные линии постоянного векторного поля скоростей п(г), называемые линиями тока. Из (17.10) следует, что энтропия сохраняет постоянное значение на каждой линии тока (хотя может быть различной на различных линиях тока). Кроме того, в стационарном течении существует еще одна комбинация параметров, сохраняющая значение на каждой линии тока.
А именно, легко видеть, что следствием (17.9) является уравнение Отметим, что в случае стационарного течения тип уравнении й динамики с математической точки зрения существенно х М(1 различается для сверхзвуковых (М > 1) и дозвуковых ( ( ) течений. Важным частным случаем текучей среды является несжимаемая жидкость, уравнения которой получаются из (17.9), если положить р = ро = сопзг. Уравнение (17.9.1) принимает вид 4Ь и = О, а (17.9.5) исключается.
Для стационарного течения несжимаемой жидкости уравнение Бернулли следует из трех уравнений (17.9.2) и имеет внд из р — + — = сопли 2 ро (17.13') — 171 Именно в этой форме оно было открыто Д. Бернулли. В конкретных задачах система уравнений (17.9) должна быть дополнена начальными и граничными условиями, заданными на некоторых поверхностях, определяющих границы области, в которой требуется найти решение. Вид граничных условий зависят от типа границ — это могут быть неподвижные или подвижные стенки, непроницаемые для газа, либо частично проницаемые (пористые) поверхности разпела между газами различной природы и г. д. В модели невязкого газа существуют границы еще одного типа.
При вполне гладких начальных н граничных условиях в области течения газа могут возникать поверхности, на которых параметры газа разрывны. Причина появления разрывов в решениях уравнений газовой динамики заключается в их специфической нелинейности. Эта нелинейность приводит к появлению таких больших градиентов газодинамических функций, что непрерывное решение становится неоднозначным, и введение поверхностей разрыва становится необходимым условием существования единственного решения.
В реальных течениях разрывы не образуются из-за влияния вязкости, действующей как сглаживающий фактор. Граничные условия в некоторой точке поверхности разрыва П выводятся из тех же общих законов сохранения, что и уравнения (17.9). Они связывают значения параметров газа по обе стороны разрыва в данной точке и включают также скорость перемещения П в этой точке по нормали относительно газа. В газовой динамике существует несколько типов разрывов— ударные волны, контактные и тангенциальные разрывы. В отличие от двух последних, в ударной волне газ течет сквозь поверхность разрыва, причем претерпевает разрыв только нормальная к поверхности волны компонента скорости. Заметим, что г в отличие от энтропии, которая при проходе линии тока сквозь ударную волну всегда терпит разрыв, левая часть уравнения Бернулли (17.13) в этом случае непрерывна (в стационарном течении).
В рассматриваемом ниже примере модели сильного взрыва в воздухе используются граничные условия на поверхности сферической ударной волны, расходящейся от точки взрыва. 6. Гаэодинамическая модель, о которой пойдет речь, связана с одним из самых драматическях событий ХХ века — взрывом атомной бомбы. С точки зрения газовой динамики любой взрыв есть внезапное выделение энергии в сравнительно небольшом объеме при переходе взрывчатого вещества в газообразное состояние, сопровождающееся ршким повышением давления В отличие от горения при взрыве окружающий воздух не участвуег в реакциях выделения энергии и получает допалннтельные импульс и энергию после того, как взрыв произошел. Это замечание не относится к объемному взрыву смесей воздуха с гарючимн веществами (метаном, пылью, парами бензина и т.
п.), являющимся, по существу, взрывным горением как, например, в двигателях внутреннега старания. Отвлекаясь ат природы процессов высжубождения энергии при обычном и ядерном взрыве и рассматривая только гаэсжннамические эффекты (не касаясь, например, влияния излучения), можно сказать, что отличие между ними сводится к различию мегцлу значениями нескольких характерных параметров. Однако это различие столь огромно, что принципиально изменяет формулировку математической модели.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
