История и методология прикладной математики. Русанов, Росляков (2004) (1185895), страница 28

Просмтор этого файла доступен только зарегистрированным пользователям. Но у нас супер быстрая регистрация: достаточно только электронной почты!

Текст из файла (страница 28)

Так, теория вероятностей, основы которой были заложены еще Я. Вернулли в связи с исследованиями карточных игр, стала базой для созданной Больцманом и Гиббсом кинетической теории газов и статистической физики. Развитые ранее феноменологические модели термодинамики и механики сплошных сред получили теоретическое обоснование. Неевклидова геометрия, введенная и обоснованная Н. И. Лобачевским чисто логически, была им самим названа "воображаемой". Спустя полстолетия ее развитие Риманом стало основой для иегалилеевой теории реального пространства-времени.

В начале ХХ века, спустя 250 лет после создания Ньютоном основанной на законах механики математической модели окружающего мира, произошли события, повлиявшие на ее казавшиеся незыблемыми постулаты. Новые экспериментальные данные вынудили ученых признать, что в области очень малых и очень больших расстояний и промежутков времени законы механики Ньютона неприменимы.

Более того, отклонения не могли быть компенсированы введением в уравнения механики поправочных членов и потребовалось создание совершенно новых теорий— специальной теории относителыюсти, построенной Эйнштейном, — 145— н теории квантов, законы которой были открыты Планком.

Обе эти теории примечательны тем, что их невозможно понять, оставаясь на точке зрения обыденного опыта. Их точные формулировки могут быть изложены только иа языке математики. Понятия силы, скорости, ускорения, используемые в формулировке законов Ньютона, можно объяснить наглядно любому человеку, даже не знакомому с арифметихой.

А сами законы Ньютона, то есть их математическая модель, столь просты, что для их понимания достаточно среднего образования. Совершенно не так обстоит дело с упомянутыми физическими теориями, Они не только необъяснимы с точки зрении обыденного опыта, некоторые их выводы прямо ему противоречат, как и механике Ньютона. Поэтому их физическая сущность в принципе неотделима от математической модели, которая и описывают те закономерности природы, которые недоступны непосредственному восприятию человеческими чувствами. К сожалению, эти закономерности таковы,что для их описания требуегся весьма сложный математический аппарат, владение которым требует как минимум специального университетского образования.

Предпосылки зарождения специальной теории относительности уже содержались в работах Пуанкаре, Лоренца, Минковского, когда Эйнштейн создал теорию относительности в каком-то смысле аналогично тому, как Ньютон создал свою механическую теорию устройства вселенной "стоя на плечах гигантов". Иначе произошло открытие квантов энергии. Планк занимался исследованием излучения абсолютно черного тела. Для количественного списания этого процесса существовали две полуэмпирические модели.

Одна из них, предложенная Вином, давала превосходное согласие с экспериментом при малых энергиях излучения, а другая, Релея-Джинса, при высоких энергиях. Каждая из моделей оказывалась несостоятельной в "чужой" области энергий. Планк обратил внимание на то, что функция В, равная обратной величине второй производной энтропии Я по средней энергии У, имела вид: Я =. сопвс У в модели Вина, й = сопв1 У в модели Релея-Джинса.

2 146— В своем нобелевском докладе Планк рассказал, как он получил формулу, справедливую во всем диапазоне энергий: "Таким образом, для функции Я путем непосредственных опытов были определены две простые границы: для малых энергий пропорциональность энергии, для больших энергий — пропорциональность квадрату энергии. И поэтому для общего случая самым простым было положить величину В сумме члена с первой степенью и члена со второй степенью энергии так, чтобы лля малых энергий решающим был первый член, а для больших энергий — второй. Таким образом была найдена формула излучения".

Положив В =- — У(с+ У)Я, где с и й . некоторые положительные константы, Планк проинтегрировал уравнение б Я Й 'б ё2 и(с+ У) г учетом того, что дЯ/д У = 1)Г, и получил формулу с Е ейг — 1 Закон смещения требует, чтобы е = Ьи, и окончательный закон излучения Планка имеет вид Ьг ь еьт -1 Эта формула была опубликована Планком в 1900 году без физического обоснования, по существу, лишь как следствие удачно у гаданной интерполяции. Как сообщил сам Планк, вначале он пытался вывести формулу (15.1) методами классической физики, но это оказалось невозможным. И только после "нескольких недель самой, напряженной работы в ( моей ) жизни" он пришел к своему открытию.

Результат был доложен Планком на Берлинском коллоквиуме Физического общества 14 декабря 1900 года. Этот день считается днем рождения квантовой теории. С точки зрения математического моделирования формула Планка была получена как феноменологическая модель, удивительным образом оказавшаяся точной моделью процессов излучения, основанной на совершенно новой физической теории. До — 147— открытия Планка никаких гипотез о том, что передача энергия от излучателя приемнику фактически происходит не непрерывно, а "порциями", в научной литературе не существовало.

Первая половина ХХ века ознаменовалась не только созданием новых теорий строения материи, но и техническими открытиями. Возникли новые отрасли техники авиация, электрон радиотехника, электроника, а затем и телевидение. Инженерами и конструкторами предъявлялись все более высокие требования к математическим моделям в этих областях. В авиации из-за весовых ограничений несущие элементы конструкции рассчитывались на базе разрушающих нагрузок, что требовало использования значительно более точных лтатематических моделей, чем для наземного транспорта. Динамические нагрузки, возникавшие при больших скоростях полета самолета 1налример, в режиме пикирования), вызывали резонансные явления в силовых элементах конструкции ("флаттер"),приводившие к почти мгновнному разрушению самолета и гибели летчика. Разработанная М.

В. Келдышем математическая модель флвттера позволила решить эту проблему и получила широкое признание во всем мире. Изобретение радиосвязи и последовавшее вскоре бурное развитие радиотехники стимулировало разработку математических моделей нестационарных процессов в электрических цепях с нелинейными элемеитамн. Усложнение математических моделей требовало дальнейшего развития и усовершенствования методов вычислительной математики, которая к этому времени сформировалась как отдельная ветвь математики.

Наряду с аналитическими методами 1в том числе и в виде рядов) решения дифференциальных и интегральных уравнений в практику расчетов сложных моделей все больше входили конечно-разностные методы численного решения. Задачи, которые нужно было решать, все усложнялись, возрастали объемы вычислений, для реализации которых создавались специальные расчетные бюро.

После второй мировой войны и начала соперничества в создании космического и, особенно, атомного оружия использование как можно более точных математических моделей в этих областях стало жизненно необходимым. Теоретическая база для создания таких моделей была уже подготовлена достижениями ядерной физики. Но на пути их реального внедрения в коиструк- горскую практику имелись серьезные трудности. Одной из них было то, что уравнения, описывавшие поведение исследуемых объектов, были существенно нелинейными, и именно нелинейные эффекты имели практически важное значение.

Между тем, строгие математические результаты для таких задач практически отсутствовали, как и надежные численные методы их решения. Эта трудность была преодолена тем, что для решения проблемы были привлечены лучшие математики, которые работали в тесном контакте с физиками и инженерами.

Это позволило в короткий срок создать новые эффективные численные алгоритмы, основанные как на математических результатах, так и на известных качественных свойствах реальных процессов. Вторая трудность состояла в огромных объемах вычислений, выполнить которые на существовавших в это время вычислительных средствах 1в основнолц электрических клавишных машинах) было невозможно. Применение вместо чисто механических устройств электромеханических переключателей (с . " ) ( и. ц 20) повысило производительность нычислений в несколько десятков раз, однако, н этого было недостаточно.

Подлинная революции в автоматизации вычислений произошла в конце 40-х годов прошлого века, когда были изобретены ламповые электронные вычислительные машины 1ЭВМ), производительность вычислений на которых по сравнению с производительностью клавишных машин возросла сразу в десятки тысяч раз и в течение последующих пятидесяти лет возрастала, по самым скромным подсчетам, в геометрической прогрессии, примерно на 30% в год. Появление ЭВМ оказало огромное влияние на развитие математических моделей в направлении их усложнения с целью все большего приближения к реальному процессу. Усложнение математического аппарата, используемого при построении модели, развитие соответствующих методов и средств расчеса происходили одновременно с развитием теории реальных явлений в различных областях естествознания.

Характеристики

Список файлов книги