История и методология прикладной математики. Русанов, Росляков (2004) (1185895), страница 27
Текст из файла (страница 27)
Порядок аппроксимации многошагового метода не превосходит 2т. Окаэалосгп однако, что схемы (14.8) высокого порядка точности неустойчивы. Сформулируем соотвегствуюшую теорему. Рассмотрим однородное уравнение для (14.8) аои + 010» — 1+. + а,„,ип-~п .=. О, и = т,т — 1, 138— и будем искать решение в виде и„= д" .
Для д получим харак-' теристическое уравнение авд +а19~ '+ --+а,„=-О. — = А(г)и, 1 б (О,Т]. ди 81 (14.9) Матрица А(1) размера р х р имеет собственные значения Ль(1) „ Ь = 1 —: р. Система (14.9) является жесткой, если все Ве Ль(1) < О, и величина аиро'(1) велика, где п1ах ( — ВеЛь] 5(1) = пбн [ — гсеЛь] 1<ьйр Для решения таких систем явные методы не годятся и исполь- зуются чисто неявные методы, т. е, методы (14.8) при Ьа = 1, Ьь =О, Ь =1 —:га, а именно: тл ~аьй„ь = л1(1„,9„), г=а (14.10) В настоящее время широко используется метод Гира, основанный на схеме (14.10) с наивысшим порядком аппроксимации гл.
Метод (14.8) устойчив, если корни этого уравнения лежат внутри или на границе единичного круга в комплексной плоскости, причем на границе нет кратных корней (условие корней). Доказывается, что если (14.8) удовлетворяет условию корней и имеег порядок аппроксимации р, то р < та+ 1 при гп нечетном и р < га + 2 при га четном; для явного метода (Ьв = 0) р < ги. Рассмотренные методы распространякпся и на системы уравнений. Дополнительные трудности при интегрировании появляются для так называемых жестких систем. Решение жесткой, системы содержит как быстро убывающие, так и медленно убывающие составляющие. Уточним это понятие.
Рассмотрим линейную систему ГЛАВА 5. МАТЕМАТИЧЕСКОЕ МОДЕЛИРОВАНИЕ З 15. Математические модели 1. Математическая модель реального объекта, явления или процесса представляет собой описание количественных соотношений и связей между характеристиками этого объекта или процесса, изложенное на языке математики. В методологии прикладной математики л1атематические модели занимают одно из главных мест, обеспечивая возможность использования математических методов для решения конкретных задач в других областях человеческой деятельности. Цели создания математической модели могут быть различны — удобство описания обьекта, изучение его свойств и их дальнейшее использование для практики или теории, предсказание поведения обьекта в различных ситуациях и другие. Математические модели в смысле данного определения создавались людьми с доисторических времен, с тех пор, как начали возникать абстрактные понятия количественных характеристик объектов окружающего мира.
Сначала это был, скорее всего, просто счет предметов, понимание возможности сравнения их количества безотносительно к природе предмета, когда, например, возникло осознание того, что суждение "три больше чем два" может одинаково прилагаться к людям, деревьям, зверям и т. д. Следующим этапом математического моделирования могло быть понятие измерения пространственных протяженностей и их сравнение с условной мерой ("ладонь'", "локоть", "касаи сажень" ). Фазы Луны могли использоваться как отметки для измерения времени уже тогда, когда счет более чем двух-трех суток был затруднителен. От доисторических времен не осталось никаких письлгенных свидетельств, но судить о том, как происходило развитие счета, можно на основании наблюдений за племенами, находящимися иа примитивном уровне развития.
Развитие математического моделирования всегда инициировалось требованиялги практики. Дошедшие до иас сведения о математике Древнего Египта и Вавилона указывают на значительно более высокий уровень математического моделирования — 141 по сравнению с первобытным. Так, например, в папирусе Ринда; и вавилонских глиняных табличках содержатся правила вычи-' сления площадей плоских фигур, применил»ые при любых размерах последних. Математики Древней Греции использовали преимущественно геометрические методы исследования, соотвегсгвенно геометри-' ческий характер имели и математические модели. Примером может служить слекующее сообщение Герона (60 г. н.
э.), приве-' денное Ван дер Варденом в его книге "Пробуждающаяся наука". Около 560 г. до н. э. на осгрове Самос по повелению тирана' Поликрата Евпалин построил водопровод через известняковую сору Кастро. Для этого сквозь гору был пробит тоннель длиной ' около 1 км. Прокладка тоннепя производилась с обеих сторон, горы с заранее намеченными положениями входа А и выхода' В. На рис. 15.1 изображен в плане контур горы с отмеченными точками А и В. Х) 1 Рис. 15.1 Дпя точного определения направления тоннеля, соединяющего точки А и В на местности вокруг горы были отмечены вершины многоугольника СВЕОН н измерены его звенья, которые располагались под прямыми углами друг к другу.
Затем были определены длины перпендикуляров А1 и В1, опущенных из точек А и В на звенья СВ и ОН, соответственно, и длины АК = 01 — Г»1 — ЕР и ВК = ЮЕ+ РΠ— А1 — В/. — 142— Искомое направление совпадало с направлением гипотенуз треугольников АХ,М и ВМО, подобных треугольнику АВК„ так что А5» ВЛХ = ВО: О»»» = ВК» КА. Все направления на местности устанавливались и проверялись с помощью,циоптра. В средние века в Европе в период упадка науки и культуры не было нужды в новых математических моделях.
С наступлением эпохи Возрождения в связи с развитием торговли, путешествий и промышленности возникли потребности в конструировании различных механических устройств с подвижными частями и нх адекватном описании. Создание математических моделей механики движущихся тел стало началом развития математических моделей в широкой области наук, объединенных позже под общим названием физики. На некоторых из них мы остановимся более подробно в последующих лекциях, а сейчас рассмотрим некоторые общие вопросы математического моделирования. Математические модели можно условно разделить на феноменологические и теоретические, в зависимости от того, на какой основе они строятся.
Феноменологические, или, как их иногда называют, эвристические модели основываются на чисто экспериментальных данных, без информации о внутренних связях между измеряемыми параметрами исследуемого объекта или явления. По мере получения новых экспериментальных данных модель корректируется так, чтобы результаты, полученные с ее помощью, согласовывались с новыми экспериментальными данными. Параллельно происходят попытки угадать количественные связи между параметрами реального объекта, и эти догадки или гипотезы вводятся в модель в виде математических формул. Теперь модель основывается не только на эксперименте, но и на прцпуманной нсследователел» гипотезе. Гипотеза может стать новой теорией, если она не только количественно описывает, но предсказывает экспериментальные факты, выходящие за рамки первоначальной феноменологической модели.
Модель, целиком основанную на достаточно глубокой и апробированной теории можно назвать теоретической. Примером сказанного может служить развитие модели Солнечной системы Я 16). Р»щ обстоятельств способствовал тому, что еще в первом тысячелетии до нашей эры начали зарождаться зачатки астроно- — 143— мии, создаваться математические модели видимых движений небесных светил. Впоследствии это стимулировало развитие плоской и сферической тригонометрии, точных и экономных методов вычислений. Первой моделью Солнечной системы, получившей широкое распространение и использовавшейся в практике полторы тысячи лет, была геоцентрическая модель, разработанная Птолемеем во 11 веке до н. э. Как и гелиоцентрические модели Коперника и Кеплера, она была феноменологической. Самая совершенная модель Кеплера не позволяла обьяснить причин отклонения реальных положений планет от вычисленных и, тем более, пред-, сказать существование новых планет.
Это оказалось возможным только после создания Ньютоном теоретической модели движения небесных тел на основе его великих открытий —. законов механики, управляющих движением материальных тел, и закона всемирного тяготения. Модель Ньютона, кроме того, принадлежала к новому классу математических моделей, основанному на использовании математического анализа, изобретенного им и Лейбницем для математики переменных величии. Вместо конечных соотношений между заданными и искомыми параметрами модель нового типа описывалась в терминах. дифференциальных уравнений для искомых функций. Это оказалось исключительно плодотворным для создания новых моделей реальных явлений, поскольку оказалось, что законы природы более просто и естественно формулируются в виде связей между локальными бесконечно малыми изменениями характе.
рисгик исследуемого объекта. Лагранжем, Даламбером и другими учеными были даны но-, вые формулировки законов механики для системы тел, расши-„ рившие возможности построения математических моделей в са-'' мых различных областях науки н техники. В Х1Х веке, в связи с промышленной революцией н образованием машиностроения как отдельной отрасли техники, интен-' сивно развивались математические модели в теории механизмов и машин. Значительный вклад в зто направление был внесен' П. Л. Чебышевым, создавшим теорию синтеза механизмов для ' преобразования движений (например, кругового в какое-либо иное, заданное условиями задачи).
Ляпуновым была развита: — 144— общая математическая теория устойчивости движения, получившая мировое признание как инструмент исследования поведения сложных систем на основе их математических моделей. В физических науках накопление экспериментальных данных и их осмысление шло параллельно с развнтиелг математики, что позволяло строить все более сложные и близкие к природе вещей модели. Они представляли собой ни что иное, как формулировку физических моделей на языке математики.
Особенно большое значение имели математические модели фундаментальных законов природы и процессов, определяющих жизненно важные условия существования человека. Связь электричества и магнетизма, открытая и исследованная экспериментально Фарадеем, была сформулирована Максвеллом математически в его уравнениях, па основе которых Герц развил теорию электромагнитных волн. В истории науки нередко случалось, что абстрактные математические теории, разработанные без какой-либо связи с физикой, оказывались исключительно подходящими для математической формулировки новых физических теорий.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
