История и методология прикладной математики. Русанов, Росляков (2004) (1185895), страница 25
Текст из файла (страница 25)
Приведем два примера использования многочленов Чебышева для приближения функций. Первый заимствован нз книги И. С. Березина и Н. П. Жидкова "Методы вычислений", кото1э ая опубликована в 1959 году и была первым отечественным учебным пособием по вычислительной математике. Рассмотрим функцию 1(х) = е1пх на отрезке [ — —, — ] и по- 4 4 ставим задачу приблизить ее лэногочленом с погрешносп,ю, не превышающей заданного числа с = 0.5.
10 ~. Вскэьмем отрезок ряда Тейлора . з хь хг хэ з1пх — Р (х) =- х — -- + — — — + — ~ 3 5~ У 9 1 — 70(х)1 (13.4) Х=Т4(х), 1 х = — [То(х)+Тг(х)] э 2 (13.5) 3 — Тг(х) 8 1 — Тз(х). 80 (13.6) 'Гз(х) = 4хз — Зх, Т4(х) —.— 8х4 — 8хг + 1, 'Го(х) = 16хз — 20хз+ 5Х. 7о(х) = 1 Т4(х) = х, Т ( .) = 2 ' — 1, (13.3) — 126— — 127— приближающий функцию 91пх на отрезке [ — —, — ] с погрешно- 4'4 стью ]гйпх — Ро(х)] < ~ — ) — 0.18. 10 < е.
Отбросить [~ 4) 11! .9 член — нельзя, так как при этом погрешность возрастает до 9! величины 3.2-10 7 > е. Использование многочлена Чебышева позволяет снизить степень многочлена до 7 с погрешностью, не превышающей е. Для этого приблизим хо в (13.2) многочленом Я7(х) наилучшим образом. Для простоты, однако, проделаем это для отрезка ]х] < 1. Имеем 9 — 99727915з9 х — (77(х) = Т9(х) = х х + х — — х + х.
4 16 32 256 Так как ]Тэ(х)] < —, то, заменив в (13.2) х на Щ(х), до- 29 ' 1 1 пустим ошибку, не превышающую — -- — 0.11 10 7. Получаем 9! 29 многочлен хэ хо хг Р7(х) = х + — + — 497(х) 3! 5! 7! 9! и для — — < х < — ]Рг(х) -- вшх] ш 0.18 10 9+ 0.11 10 7 4 4 0.13 10 7 < е. Такой прием, называемый иногда сверткой степенного ряда, широко используется при разработке алгоритмов вычисления элементарных функций для стандартных программ для ЭВМ.
К. Ланцошем был предложен другой способ использования многочленов Чебышева для целей приближения. Продемонстрируем его на очень простом примере, взятом из книги Р. В. Хемминга "Численные методы" (1962), где способ Ланцоша называется процессом экономизации. Выпишем несколько чебышевских многочленов, пользуясь формулой (13.1): Теперь выразим х' через эти многочлены: з хз = — [ЗТ1 (х) +79(х)], х = -[ЗТо(х)+4Тг(х)+То(х)], 8 хз = — [10Тг(х)+5Т,(х)+Т,(х)]. 16 Рассмотрим на отрезке [0,1] функцию хг хэ х4 хв 1п(1 + х) х — — + — — — +— 2 3 4 5 н воспользуемся формулами (13.4), тогда получим 11 11 1п(1+ х) — — — — 79(х) + — Тг(х)— 32 8 7 1 + — Тз(х) — — Т4(х) + 48 32 Разложение (13.6) позволяет получить для вычисления функции 1п(1+ х) многочлен меньшей степени, чем (13.5) прн той же точности.
Действительно, отбрасывая последнее слагаемое в (13.5), получаем многочлен четвертой степени, при этом ошибка оценивается величиной 0,2. В разложении (13.6) можно отбросить три последних слагаемых, что приводит к многочлену второй степени с ошибкой, не превышающей величину 7 1 1 91 10 — + — + — = — < — с 0.2. 48 32 80 15.32 52 Воспользовавшись формулами (13.3), получаем 1 11 3 1п(1+ х) = — + --х+ -хг, 0 < х < 1.
32 8 4 Теория наилучшего равномерного приближения разработана и для случая тригонометрических полиномов. 2. Начало использования тригонометрических рядов для целей приближения функций относится ко второй половине ХЧИ1 века и связано с задачей о колебании струны. В 9 8 приводилось решение этой задачи, полученное независимо Даламбером и Эйлером.
В 1753 году Д. Бернулли, исходя из физических соображений, получил для уравнения колебаний струны решение в вице рцца (см. 9 8) ггспа йгг 1Г(х,б) = ~~г Ьь сов 1 агп — х. 1 Ь=! Отсюда следует, в частности, что функция Г'(х), характеризующая начальную форму струны при 1 = О, представима рядом. по синусам /сп Г(х) — — ~~ Ьь эш — х. (13.7) Ь=1 Против этого решения выступили Даламбер и Эйлер.
Они считали, что решение Бернулли можно рассматривать лишь как частное. Сам же Бернулли утверждал, что разложение (13.7)' справедливо для широкого класса функций. После работы Бернулли возрос интерес к тригонометрическому разложению г' (х) = ао + ~~ (аь сгш Ьх + Ьь агп Ьх), (13.8). Ь=г которое известно в математике как ряд Фурье. Исследование Фурье относятся к 1807 голу. Результаты опубликованы в его' знаменитом труде "Аналитическая теория тепла" в 1822 году. Фурье, почлепно интегрируя ряд (13.8), получил формулы коэффициентов для функции Г(х), заданной в промежутке ( — гг, я], ' е е гг 1 1 Г 1 Г ао = — [ у'(х)г1х, аа = — / Я(х)соэйхг1х, Ьг, = — / 1(х)эгпйхг$х. 2я / (13.9) 1 Этот метод называется методом Эйлера-Фурье.
Дело в том, что Эйлер еще в 1777 гору применил его для определения коэффициентов разложеняя по косинусам функции Г(х), заданной в промежутке [О,гг]. Еще ранее, в 1757 году, Клеро решил эту задачу с помощью интерполирования у(х) тригонометрическим ' многочленом. Вопрос о законности процедуры интегрирования ряда (13.8) долго не возникал. Справедливость самого разложения Эйлер предполагал. Фурье же пытался дать доказательство, но бпгуспешно.
Однако он был уверен, что разложение (13.8) справедливо для произвольных функций. Эта уверенносгь багировалась на том, что интегралы в (13.9) имеют смысл для широкого класса функций. Первую теорему о сходимости тригонометрического ряда Фурье доказал в 1829 году немецкий математик Дирихле. Он рассмотрел класс функций, заданных на ( — гг, и] и имеющее конечное число точек разрыва первого рода и конечное число точек экстремума. Эти условия носят название условий Дирихле.
Как доказал Дирихле, для функции Г" (х), удовлетворяющей этим условиям, ряд Фурье (13.8) сходится во всех точках ( — гг, л] к 1 Г(х) в точках непрерывности, к — [у (х + О) + Г(х — 0)1 в точках 1 разрыва и к — [Д вЂ” гг) + Г(п)] на концах промежутка.
2 Позднее было установлено, что если при этом Г(х) непрерывна и Г(-л) =- Г(п), то сходимость будет равномерной. Достаточными условиями равномерной сходимости ряда Фурье являются и такие: Г(х) непрерывна на ( — я,я], имеет кусочно- непрерывную производную и Г( — и) = Г'(я) . Сугцествуют и другие, более точные, условия равномерной сходимости. Заметим, что только в случае равномерной сходимости ряда Фурье применим метод Эйлера-Фурье для определения коэффициентов тригонометрического разложения (13.8).
Следует подчеркнуть, что Дирихле пытался снять дополнительные условия, налагаемые на функциго Г(х), кроме условия непрерывности, при доказательстве сходимости ряда Фурье, но тго ему сделать не удалось. И это не случайно в 1876 году французский математик Дю Буа Раймон построил первый пример непрерывной на ( — п,гг] функции, для которой ряд Фурье расходится в любой наперед заданной точке этого отрезка. Отметим два результата, относящиеся к вопросу о схсдимоети ряда Фурье и полученные прошлом столетии.
В 1966 году шиедский математик Л. Карлесон доказал,что если для функции Пк) существует в смысле Лебега интеграл — 128— то ее тригонометрический ряд Фурье сходится к этой функции почти всюдг[!' па [ — 1г, х] . Эта теорема охватывает все функции, интегрируемые иа (-и, гг)[ промежутке в смысле Римана. Интегрируемости в смысле Лебега недоога..::*:, точно для сходимости ряда Фурье.
В 1923 пшу А н. колмогоров построий[[ пример интегрируемой на [ — х, и] в смысле Лебега функции, для которой-, трнгонометрическкй ряд Фурье расходится погоду на этом отрезке. В 1904 году венгерский ученый Л. Фейер разработал метод суммирования тригонометрического ряда Фурье. Фейер пока': зал, что если оа(х) — частичные суммы ряда Фурье непрерыв-'. ной на [ — я, я] функции 1(х) такой, что 1( — я) = 1(я), то оо(*) + ог(~) + " + о -1(~) равномерно сходится к у (х) на отрезке [ — я, и] .
Подчеркнем, что,: при этом тригонометрический ряд Фурье функции 1'(х) может[ быть и расходящимся. В 1930 гоцу С. Н. Бернштейн предложил:. другой способ использования частичных сумм для построения",.', полиномов, равномерно сходящихся к у(х) . 3. Ряды Фурье оказались очень удобным математическим ап-[! паратом и нашли широкое применение в самых различных обла- [ стах науки в теоретических и прикладных исследованиях.
В Х1Х!,' веке была развита теория наилучшего среднеквадратичного при-:~~ ближения. Эта теория связана с обобщенными рядами Фурье оо 1(х) = ~~~ са(оа(х), а=о (13.10)[ где (Фа(х)) — ортонормированная система функция на отрезке'] [а,Ь], а са = / Дх)ага(х) с[х . (13.11)-' а для функции у(х), интегрируемой с квадратом на отрезке [а, Ь], наилучшим в смысле среднеквадратичного приближения, т. е. — 130— — коэффициенты Фурье. Было показано, что среди обобщенных': многочленов « Р«(х) =. ) аауа(х) а=о многочленом, обращающим в минимум величину о является тот, коэффициенты которого аа = са являются коэффициентами Фурье и вычисляютсн по формуле (13.11).
При этом ь « Ь„=- / /~(х) с1х — ~~~ са~. а:.о При и — г оо выполняется неравенство Бесселя са < / 1 (х)с[к. а«о Знак равенства для любой функции, интегрируемой с квадратом означает, что система уа — полная. При этом ь 1пп [1(к) — ~~~ са(ра(х)[~ с1х = О, «-+ос у а=о а и ряд Фурье (13.10) сходится в среднем. Тригонометрическая система 1 сов х зги х сов 2я вш 2к ,2п',%',Уя',/= ' Фи ' является ортонормированной и полной на отркеке [ — и, и], поэтому тригонометрический ряд Фурье (13.8) -(13.9) любой кусочно- непрерывной функции сходится к ней на [ — и, г] в среднем. 4. Величина наилучшего нриближения Е«(У), фигурирующая в теореме с1ебышева, зависит от того, к какому классу приналдежиг функция 1(х).
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
