История и методология прикладной математики. Русанов, Росляков (2004) (1185895), страница 29
Текст из файла (страница 29)
Изобретение ЭВМ дало возможность осуществлять математическое моделирование очень сложных природных процессов не после, а до их фактической реализации, позволило получать такие количественные характеристики процесса, которые очень — 149— шах ~Рп — Рм) = Й, (г1 (15.2) то можно говорить, что для данной совокупности параметров модель приближает реальный процесс с точнос:тью ~Х. Однако значения Рп и Рм известны только с некоторыми погрешностями, то есть известны Рп =- Рп + бп и Рм = Рм + бм, где бп — погрешность эксперимента, а (м погрешность расчета модели. Сами погрешности опять таки не известны, однако — 150— трудно или вообще невозлюжно получить и эксперименте. Математические модели стали не только средством описания уже известных явлений, но и инструментом познания природы на основе разработанных теорий.
Имея в виду зто новое качественное свойство математических моделей, можно сказать, что во второй половине ХХ века математическое моделирование стало базой для нового метода исследования природы — - "математического" или "вычислительного" эксперимента как ветви прикладной математики. Опыт и здравый смысл показывают, что для того, чтобы модель можно было надежно использовать, при ее построении и развитии должны выполняться определенные условия. Важнейшим из них является, конечно, количественное соответствие модели реальному объекту, что, в свою очередь, требует согласования точности модели и точности физических измерений реального объекта, то есть эксперимента.
Если это условие выполнено, то рассогласование выводов, следующих из модели и данных эксперимента, показывает, что либо в модели не учтены какие-то реальные факторы, либо эксперимент слишком груб и не позволяет обнаружить предсказываемые моделью тонкие эффекты. В истории науки достаточно часто встречались оба случая, и исследование математической людели не раз позволяло обнаружить нлн предсказать эффессты, ускользнувшие от внимания экспериментатора. Остановимся более подробно на количественной оценке точности математических моделей. Пусть Рк — значение некоторого параметра Р в эксперименте, и Рм — значение того же параметра, входящее в математическую модель.
Для суждения о близости модели и реального процесса следует рассмотреть отклонения ~Рп — Рм~ для некоторой совокупности 1Р) основных характеризующих процесс паралсетров, и если известны сСп и сСм, такие что Кп~ < сся и Км~ < ссм для всех значений Р из 1Р).
Пусть шах)Рп — Рм) =- с1. 1г1 Очевидно, что для корректной оценки близости модели и экспе- римента по величине сз необходимо, чтобы 1п+ 1м «Л. 115.4) Исследование погрешности эксперимента не является предмегом прикладной математики, и мы будем считать, что условие ~бя! « Ь выполнено. Погрешность с1м зависит от сложности модели. Простейшими являются модели, состоящие из конечных соотношений между параметрами, широко использовавшиеся до появления магематического анализа. Для них, как правило, с1м была гораздо меньше и ссп и сс.
То же опюсится и к моделям, в которых используются полученные аналитически решения дифференцизльных уравнений в виде комбинации элементарных функций или разложения в ряд. Для улсеньшения вычислительной погрешности в этом случае достаточно увеличить число знаков при расчете. Появление механических средств вычислений во второй половине Х1Х века, сначала с ручным, а затем, уже в ХХ веке, с электрическим приводом, повысило производительность труда вычислителя в 10 — 20 раз и существенно уменьшило количество опсибок. Одновременно развитие науки и техники стимулировало широкое распространение математических люделей, основанчых на решениях сложных задач для систем дифференциальных уравнений.
Решение таких задач уже не могло быть получено в виде конечных формул или рядов. Единственным эффективным месодом являлся метод конечных разностей или сеток, предложенный еще Эйлером и развитый в Х1Х веке для решения задач астрономии и вычисления таблиц. Уже тогда для астрономических расчетов вследствие мало- ~ ти с1п и Ь требовалась высокая точность расчета, то есть малая величина Нм, и вычисления приходилось производить с 7 — 8 сссаквми н более.
Затраты календарного времени при этом были . 151— столь велики, что теории и практике разработки наиболее эко ~. номных методов уделялось значительное внимание, равно как1 и развитию теории аппроксимации дифференциальных операта.:; ров и оценок соответствующей погрешности. Другой проблемой, связанной с расчетам математических мо-- делей и требовавшей вычислений с большим запасом знаков,:. были задачи линейной алгебры.
Вычисление всех собственных значений матрицы общего вида выше 20 порядка или всех не-, известных системы 20 линейных уравнений были практически, неразрешимыми задачами. Понятие устойчивости и обусловленности вычислительного: алгоритма относительно погрешностей округления в эта время, еще не существовало. Однако уже тогда вычислители несомнен-- но замечали влияние на точность расчета погрешностей округления и их недопустимый рост в некоторых случаях (например, из-за сокращения знаков). Как лкгбаггьгтный факт можно отметить, что для численного решения обыкновенных диффе-'- ренциальных уравнений нередко использовались неустойчивые: рвзностные схемы.
Каким образом при этом осуществлялась не-; обходимая регуляризация, сейчас уже трудно сказать. Возможгч но, это был интуитивный процесс "выглажнвания" последних знаков, выполнявшийся вычислителем подсознательно. Так или иначе, но величина ггм во времена ручного счета контролировалась вычислителями. Для астрономии г)м была близка к г1к, и условие (15.4) выполнялось. Для подавляющего большинства математических моделей в других областях науки и техники г)м была существенно меньше и г)н и Ь. С появлением ЭВМ и последующим быстрым ростом их производительности ситуация изменилась. Календарное время выполнения отдельных расчетов практически осталось прежним, .
но сложность моделей резко возросла. Теоретические оценки погрешностей оказывались сильно завышенными и потому практически мало полезными. С другой стороны, расширение возможностей математического моделирования свожньгх задач привлекло большое количество исследователей, использующих го- ' товые, разработанные математиками алгоритмы и незнакомых с методами оценки вычислительных погрешностей.
Для определения точности модели продолжали применять прямое сравнение результатов эксперимента и расчета, неявно полагая, что г1м, г)и ~ Ь. При подобном некритическом подходе нельзя было расчитывать на достоверные результаты. Когда ставится вопрос о точности сложной математической модели, оценка г)м обязательна, и ее следует производить "внутренними" методами вычислительной математики, не связанными с результатами эксперимента.
Делать это можно различными способами, в зависимости от конкретной задачи. Рассмотрим в качестве примера численное решение системы уравнений в частных производных методом конечных разностей. Погрешность Йм складывается в эталг случае из погрешности аппроксимации и погрешности округления. Оценить их теоретически очень сложно, если не невозможно, однако современные ЭВМ позволяют это сделать. Для оценки погрешности аппроксимации следует выполнить расчет подходящей тестовой задачи несколько раз с различными шагами сетки. Влияние погрешности округления можно оценить, выполняя расчет с различным числом знаков (в некоторых языках высокого уровня такая возможность предусмотрена).
Наконец, гам люжно найти, если подобрать или специальна изготовить вариант задачи, имеющий точное решение. Остановимся еще на одном вопросе, связанном с вычислительным экспериментом и вычислительной погрешностью. Нередко ставится вопрос, равно или нет значение некоторого параметра Р, определяемое с помощью математической модели, некоторому заданнолгу точно значению Р'. Иначе говоря, требуется вычислением установить, равна или нет нулю величина Х = Р— Р'. Такой вопрос часто возникает при так называемых доказательных вычислениях, та есть вычислениях, в результате которых должен быть строго установлено или опровергнуто чисто мателгатическое суждение. При рассмотрении таких задач следует иметь в виду, что с помощью вычислительного эксперимента можно установить, что Х ф О, например, если вычисленное значение )Х~ >> ггм.
Но установить, что Х = 0 вычислительно принципиально невозможно, за исклгочением того случая, когда Х может принимать только конечное множество значений. Доказательные вычисления являются частью более общей задачи исследования свойств чисто математических объектов, в частности, самих математических моделей. Эта область приме- — 152— — 153— пения ЭВМ еще недостаточно развив, хотя на ее важность для математики указал еще в 1946 гцву крупнейший математик и один из изобретателей ЭВМ Дж. фон Нейман. В своем докладе "О принципах работы больших вычислительных ма1пин" он говорил следующее.
"Современные аналитические методы, по-видимому, не подходят для решения важных задач, возникающих в связи с нелинейными уравнениями в частных производных и, фактически, со всеми нелинейными проблемами чистой математики. Продвижение анализа в настоящий момент остановлено по всему фронту нелинейных задач. М ногие ветви чистой и прикладной математики очень нуждаются в вычислительных средствах для того, чтобы выйтг из тпика, возникшего в результате провала чисто аналитических методов в нелинейных задачах. Действительно эффективные высокопроизводительные устройства могут в области нелинейных уравнений в частных производных, также как и во многих других областях, которые в настоящее время трудны или вообще недоступны, обеспечить нас эвристическими указанинми, которые необходимы во всех ветвях математики для истинного прогресса". 1 16.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
