История и методология прикладной математики. Русанов, Росляков (2004) (1185895), страница 24
Текст из файла (страница 24)
Производные Е,'же(хс);:. и Е'„ч, 1(х,), вообще говоря, не равны, и 5(х) не является',:, гладкой функцией. Можно усложнить задачу, потребовав глад-' кого сопряжения в точках х, . Такой подход приводит к понятию сплайна. В э'ечение многих лет дл» вычерчивания плавных обводов конструиций ': (кораблей, самолетов и др.) использовались тонкие гибкие рейки, ксчорые .' устанавливались на больших горизонтальных плоскостях (плазах) так, чтобы оии проходили через определенные точки. Английское название этого' устройства аряпе, что означает *'рейка" или "планка". Рассматривая план-; ку чертежника как тонкую балку, форма которой описывается функциейэ у(х), можно показать, что между точками свободного закрепления (без за.-' щемления) изгибающий момент, а, следовательно, и вторая производная' уи(х) изменяется линейно, а в точках закрепления она непрерывна. Использование математической модели сплайна как способа;: аппроксимации произвольной функции было предложено в 1946, году Шенебергом в его статье е К задаче аппроксимации равноот-.,':,' стоящих данных аналитическими функциями".
Начиная с 59-х:". годов прошлого века теория сплайн-аппроксимаций стала бы-," стро развиваться. Существенный вклад в теорию сплайнов был;:. — 113- сделан советскими математиками С. М. Никольским и С. Л. Соболевым. Внедрение сплайнов в 4практику вычислений в значительной степени способствовало появление электронных вычислительных машин. Определим так называемый кубический сплайн.
Пусть на (а, 6] задана непрерывная функция Е(х) в узлах и == хб ( х1 С хэ С ' ' ' С хп: Ь. Сплайном называется функция 5(х), удовлетворяющая условиям: а) на каждом сегменте (х, „х1], 1' = 1 —: и, функция Ь'(х) есть многочлен 3-й степени; б) функции 9(х), Я'(х) „Ял(х) непрерывны на (а,6]; в) Я(х,) = Е(х,), 1 = Π—: 11. Сплайн, удовлепюряющий этим условиям, называется интерполящгонным кубическим сплайном Доказано его существование и единственность, если для Я(х) заданы граничные условия, например, Ял(а) =- Ял(Ь) = О. При неограниченном увеличении числа узлов ы последовательность сплайнов сходится к Е(х).
Такой сплайн является нелокальным, так как коэффициенты полиномов Е,в,,;(х) (п, = 3) зависят от всех значений Е(х,). Более просто строится локальный сплайн с непрерывной первой (но не второй) производной. Он конструируется слепующим образом, Пусть Яг(х) — интерполяционный многочлен второй степени, построенный по точкам х, 1, х„х,+, так, что Я,(х1+ ) = Е(хе+1) 7 =- — 1,0, 1. Тогда (п1 = 2) (х;+1 — х)Я1(х) + (х — х1)ф е1(х) Х,+1 — Х, Легко пРовеРить, что Е'„... 1(х1) =- Ещ,.
(х;). В РЯДе слУчасв локальный сплайн может оказаться более предпочтительным, чем нелокальный, например, для иллюстративных целей. 4. Одновременно с разработкой методов интерполяции осуществлялось использование интерполяционных многочленов для — 119— ХОО(*) = .'"'(*)+ 00(-) ь ь йх) бх = / 5 (х) бх+ В„ ь в р(х)~(х)41х = ~ С;Х(х,) г=о а — 121— — 120— целей численного дифференцирования и интегрирования. Имей, ем 1(х) = Е„(х) + Н (х), (12.4) где Е„(х) — многочлен Лагранжа, построенный по узлам о =.! хэ, х1, ..., х„= Ь.
Производную 7121(х) заменяют на Е~ 1(х)."!: В вычислительной практике широко пользуются этими фор,' мулами. Следует подчеркнуть, что для больших 74 могут сильна! нарастать погрешности. Говорят, что процесс численного диф ( ференцирования неустойчив, или что задача численного диффе;;:, ренцирования некорректна. Интегрирование (12.4) дает В случае равноотстоящих узлов тг = и + 15 Ь = (Ь вЂ” а)/и 1 = О + и, отсюда следует кввдратурная формула ь ь /' — /' и(х) Дх)бхха~~ А,Дх,)+А„, Аг — — l ' ', бх.
(12.5)1 Квадратурные формулы такого типа носит название формул'.::, Ньютона-Котеса. Наиболее употребительны формулы (12.5) при '~. и = 1 и и = 2. При и = 1 зто формула трапеций. Обычно ее!~ применяют к каждому из отрезков (х, ы хг), что дает ь у(х)с)х=5 ФЬ~, у(х,)+ й Г( ) + Г(Ь) ° =1 Я =- 12 ХлК) .<4<Ь вЂ” (Ь вЂ” а) 52 Ь вЂ” а В случае и =. 2 применение (12.5) при Ь =, 1 = 0 лс 2п, 2п к каждому отрезку дает формулу Симпсона: )'(х) 41 х =- — [((хо) + 4Дхг) + 2У(хз) + 4У(хз) + Ь 3 а + 41(хз»-1) + Х(хзв)1 + 742 ье и, (Ь ')" гп"'(у), <2.<Ь, и= —,'.
180 Остаточный член формулы Ньютона-Котеса (12.5) обращается в нуль, если 7"(х) — — произвольный многочлен степени п. Знаменитый немецкий математик Гаусс показал, что степень многочлена, для которого квадратурная формула точна, можно повысить с помощью выбора узлов интрполирования.
Гаусс родился в 1777 году в г. Брауншвейге в небогатой семье Благодаря заботам местного герцога он окончил Гетингеиский университет и до своей смерти проработал в качестве профессора этого университета и директора астрономической обсерватории. Для Гаусса характерна связь чистой и прикладной математики. Он дал первое строгое доказательство основной теоремы алгебры, получил фундаментальные результаты в теории чисел, анализе, геометрии повврхностей, астрономии, теории электричества, магнетизьга, геодезии. Он разработал метод наименьших квадратов, получил иитерпсляционную и квадратурную формулы, известные в литературе как формулы Гаусса.
Гаусс получил свою квадратурпую формулу путем специального выбора узлов интерполирования. Задача формулируется так: опрйделить в квадратурной формуле коэффициенты Сг и узлы х,, 1 =. 0 —: и, так, чтобы она была точна для многочленов степени 2п — 1 при фиксированном и и весовой функции р(х). Справедлива следующая теорема: формула (12.6) точна для многочленов степени 2п — 1 тогда и только тогда„когда выполнены условия а) многочлен ш(х) = (х — хо) . (х — х„) ортогонален с весом Р(х) лсобому многочлену д(х) степени меньше и+ 1: р(х)и(х)д(х) с1 х = О; а б) Сс = / Р(х) с1х, 1 = О аа п. (12.у): са(х) (Х вЂ” Хс)М'(Х,) ' аа а Важными являются два частных случая формулы (12.7) для ' отрезка [ — 1, 1].
Один из них — это формула Гаусса-Чебышева или формула Эрмита с весом р(х) = (1 — хз) 1уз. Она имеет вид 1 с1х ш ~ С,1(хс). 1(х) -1 1=1 1 В этом случае са(х) = Т„(х) = „, сов(пагссоэх) — много- член Чебышева, 21 — 1 я Хс = СОЭ х, С1=— 2П ' ' и Второй случай — это формула Гаусса-Лежандра с весом .
Р(х) = 11 1 и Дх) с1х се ~~ С,Дхс). — 1 1=1 Здесь ь1(х) = Рп(х) — многочлен Лежандра ~п -(х) = п(х) =- —,„„„..[(х'- )"[. Ъ(х) = Р„(х) на [ — 1,1[ имеет и различных корней. Коэффициенты С, определяются по формуле 2(1 — х~) пзРз 1(х.) — 122— Э 13. Равномерные и среднеквццратичные приближения функций 1. В теории приближения функций огромная роль принадлежит П. Л. Чебышеву.
Он разработал теорию наилучшего равномерного приближения, создал передовую отечественную школу конструктивной теории функций, которая держит передовые позиции в мире и в настоящее время. Задача непрерывного приближения непрерывной на отрезке '.а,6) функции 1(х) с помощью алгебраических многочленов состоит в опрацеленни такого многочлена Р„(,х), для которого выполняется условие [1(х) — Р„(х)[ ( е для всех х б [а,6[ при заданном е. Разрешимость этой задачи слепует из теоремы Вейерпгграсса; если у"(х) непрерывна на [а,6[, то для любого е > О существует многочлен Р„(х) степени п = п(е) такой, что для всех х б [а,6! Щх) — Рп(х)[ < е. Существенно, что н зависит от с.
Если е фиксировано, и лсы будем требовать, чтобы сгепень и многочлена не превышала некоторого заданного числа, то задача о равномерном приближении может не иметь решения. Пусть Оп — множество всех многочленов степени не больше н. Величину Д(1, Рп) =. п1ах Щх) — Рп(х)~, Рп б Оп Е1а,Ь1 называют о"гклонением у(х) от Р„(х), а величину Е„(~) = 1п1 Ь(Х,Р ) Р ен — наименьшим отклонением (наилучшим приближением). Многочлен Я„б Нп, для которого эта грань достигается, т. е.
Е„Ц) = Ь(/, 1„1„), называется многочленом наилучшего приближения. Исследования равномерных приближений функций были начаты Чебышевым в связи с работой в области теории шарнирных — 123— выполняются соотношения Л, ) — Р (хэ) =- *Е (1), У(х2) Рч(хэ) = тЕпИ), Рис. 13.1 (13.2) . 125— 124 механизмов. В .1359 году он получил следующую замечательную теорем1: для того чтобы многочлен Р„(х) был многочленом наилучшего приближения для непрерывной функции 1(х) на отрезке [а, Ь[, необходимо и достаточно, чтобы разность 1"(х) — Р„(х) достигала своего наибольшего по модулю значения по меньшей мере в (и+ 2) -х точках отрезка [а, Ь[, последовательно меняя знак.
Таким образом, имеем Е„(1) =. Ь(1, Р„), если в точках а<хэ <хе«...х„чэ <х„ьз<Ь \ У(хч+э) Рл(хээ+э) = +( 1) + Е (Х). На рис.13.1 приведены графики функций 1(х) и 1(х) 1: Еч(1). График многочлена Р„(х) касается кривых 1(х) х Е„(1) попе- ременно в точках хы хэ, ..., х„+з. Задача о наилучшем равномерном приближении имеет единственное решение.
Сформулированная теорема о наилучшем приближении носит имя Чебышева. Она послужила началом интенсивнык исследований в области приближения функций. Первоклассные результаты принадлежат отечественным ученым, прежде всего академику С. Н. Бернштейну и его научной школе. Бернштейн внес много нового в доказательство основной теоремы Чебышева. В развитии конструктивной теории функций заметпуэо роль ьшрал И. П. Натансон, которому принадлежит обстоятельная монография "Конструктивная теория функций" (1949).
Бернштейном и американским ученым Д. Джексоном доказаны теремы устанавливающие связь между величиной наименьшего . тклонения Е,Я) и свойствами, в частности, дифференциальными, функции 1(х). В 3 12 указывалось, что условия наилучшего приближения были сформулированы (без доказательства) Чебышевым в 1854 ~оду. Это позволило ему решить задачу о нахождении много- члена, наименее уклоняющегося от нуля. Для отрезка [ — 1,1[ таким многочленом степени и с коэффициентом единица при 1 старшей степени является многочлен 7;,(х) = — — Тп(х), где Т„(х) = сов(п агссов х) — называется многочленом Чебышева.
Из тождества сов(п+ 1)1р = 2совуэсовп<р — сов(п — 1)~р следует рскуррентная формула Т ( .) = 2 Т„( ) — Т„ (х), Т (х) = 1, Т (х) = * (13.1) 21 — 1 Нули Т (х) находятся в точках х, = сов л, 1 = 1 —: и, а ч 2п Ьл экстремумы — в точках хь = соэ —, й = 1 —: и — 1, и Т„( «) = и ' совйл = ( — 1)".
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
