История и методология прикладной математики. Русанов, Росляков (2004) (1185895), страница 19
Текст из файла (страница 19)
Через несколь-:. ко лет решение этой проблемы удалось существенно продвинуть', Ляпунову. Крупнейшие русские математики, в том числе Чебышев и Бу-!, няковский, добились избрания Ковалевской в 1889 году членом-" корреспоццентом Петербургской академии наук. Это был пер-! вый случай избрания женщины в Пвгербурзскую академию. И 1891 году она заболела воспалением легких и скончалась, похо- ' ронена в Стокгольме. С. В.
Ковалевская была широко образованным человеком, в;. совершенстве владела несколькими языками, общалась с мне-! гимн известными учеными, писателями, музыкантами в России'. и зарубежом. Помимо научной деятельности, она увлекалась,. публицистикой и литературой, писала стихи, романы, пьесы. ГЛАВА 4.
РАЗВИТИЕ ВЫЧИСЛИТЕЛЬНОЙ МАТЕМАТИКИ з 1рь Решение уравнений 1. Знакомство с историей вычислительных методов естественно начать с методов решения уравнений. Уравнения бывают с одним или несколькими неизвестными, линейными и нелинейными. Неизвестньзе могут быть связаны системой уравнений. В настоящее время уже разработана достаточно строгая теория алгебраических уравнений произвольной степени и систем линейных уравнений. Решение линейного уравнения с одним неизвестным является одной из древнейших задач прикладной математики.
Рецепты составления таких уравнений и правила их решения ссдерзкатся в дошедших до нас древних математических текстах Егизпа, Вавилона, Греции и Китая. Уже на ранней стадии формируется понятие "уравнение", а затем и используются такие вычислительные приемы как приведение подобных н перенос членов из одной части равенства в другую. Все это делалось на конкрегвых числовых примерах. Среди нелинейных уравнений 1(х) = О особое место занимают алгебраические уравнения, в которых функция у(х) является многочленом. В Древней Греции умели решать квадратные уравнения, а в Вавилоне — квадратные уравнения, простейшие вилы кубических уравнений и системы двух уравнений, сводящиеся к квадратным уравнениям.
Уравнения, содержащие функции, не являющиеся степенными, например, тригонометрические или экспоненциальные, называют обычно трансцендентными. Для вычислении корней многочлевов третьей и четвертой степени существуют прямые методы вычисления по формулам Кардано и Феррари (9 5). Прямых методов решении общих алгебраических уравнений выше четвертой степени н трансцендентных уравнений не существует. Для вычисления корней приходится применять только метсд последовательных приближений, состоящий в том, что сначала задается — 89— некоторое начальное значение неизвестного хе, а затем последовательно тем или иным способом вычисляются все более точные значения неизвестного; хю хз, ... и т.
д. Точность контролируется оценкой величины 1(хь) = гь (невязки), и при достижении условия (еь( < е, где е — задано, процесс прекращается. Методы последовательных приближений для решения отдельных задач появились еще в древности. Так, метод вычисления ~/а по формуле хи+1 = — х„+— связывают с именем древнегреческого математика Герона. Эта формула, как известно, следует из итерационного метода Ньютона, примененного к уравнению (10.1) при 7'(х) = х~ — а.
На самом деле Герон, а еще раньше Архимед и даже вавилонские математики, использовали формулу такого нида лишь для уточнения величины ~а, если известно некоторое ее приближенное значение хе. Методы, применявшиеся многими математиками, начиная с Архимеда, для вычисления числа я., являются, по существу, методами последовательных приближений. Однако общие формулировки различных итерационных методов появились значительно позднее. 2.
Арабский математик аль-Каши в Х Ч веке для определения э1п 1' по известному значению гбп 3' получил уравнение третьей степени, которое решил методом последовательных приближений. Это было одно из первых (если не первое) использование итерационного процесса в вычислительной математике, о чем сказано в 3 4. Наиболее пццробно и точно метод аль-Каши описан Кази-заде ар-Руми в "Трактате об определении синуса одного градус". Кази-заде был виднейшим астрономом Самаркандской обсерватории, современником аль-Каши, о котором он отзывается в своем трактате с большим уважением и явно указывает, что авторство описываемого им метода принадлежит альКэши. Для я = 60 гйп 1' определения аль-Каши получил кубическое уравнение х +Я= Рх, где Я = 54000, Р = 2700. Значение Я он вычислил с относительной погрешностью 3.8.
10 ~~. Метсц, которым пользовался 90-- иль-Каши, заключается, в сущности, в выполнении итераций по формуле .з+ и Ю (10.2) При этом он демонстрирует удивительное мастерство вычисли- геля. Полагая хэ = О, он в каждом последующем приближении удерживает только необходимое число знаков и выделяет очередную шестидесятеричную цифру корни, проверяя законность такого приема.
Таким образом, он постепенно наращивает число шестидесятеричных цифр, получая на каждой итерации только одну очередную цифру х, что значительно сокращаег объем вычислений. Аль-Каши получил семь шестидесятеричных цифр, что обеспечивает относительную погрешность результата 2. 10 Большую роль в развитии метода последовательных приближений сыграл Ньютон. Он систематически применял его при яспользовании аппарата бесконечных рядов для решения уравнений, при исследовании неявных функций. Эти результаты содержатся в работе "Анализ с помощью уравнений с бесконечным числом членов" „написанной в 1667 году, а также в письмах Ньютона 1676 года, предназначенных для Лейбница.
Работа была опубликована лишь в 1711 году. Изложение некоторых результатов было дано в 1685 году Валлисом в сочинении "Алгебра". Ньютон демонстрирует свой метод на примере определения корни и уравнения (10.3) г(я) зз 2х — 5. За начальное приближение и Ньютон берет з = 2 и указывает, что оно отличается от точного значения корня менее, чем на 0.1 его величины.
Положим х = 2+ р, где р < 0.2, и, подставив это шачение я в (10.3), получаем уравнение для р: рз+брз+10р-1 = О. (10.4) Отбрасывая рз + брз, получим следующий член ряпа р =- 0.1 и новое приближение к корню х = 2+ 0.1. Далее, полагая р = 0.1 + д и подставляя в (10.4), получаем уравнение для д (10.5) дз + 6 3дз + 11.234 + 0.061 = О. — 91— Опять отбрасывая два первых слагаемых, имеем О. 061 Ч = — — = — 0.0054.
11.23 Наконец, полагая 4 = — 0.0054+ г, аналогично получаем, что 0.000541708 г=— 11.16196 — — 0.00004853. Окончательно имеем х = 2+ р+ 4 + г = 2+ 0.1 — 0.0054 — 0.00004853 = 2.09455147, у +а у — 2а +аху — х =О. з з з з (10.6) При х = 0 получаем уз+азу — 2а = 0 и у = а.
Пусть х мало, тогда, положив у = а + р, получаем из уравнения (10.6) р + Зар + 4а р+ а х + арх — хз = О. Удерживая в этом уравнении только члены с первыми степенях мн х и р, получаем р = — —. Полагая р = — — + д находим 1 4 аналогично, что д = — и т. д. В результате Ньютон получил 64а разложение хз 131хз 509хх у=а — + 4 64а 512аз 16384аз (10.7) Ньютон рассматривает также уравнение у +х у — 2х +аху — аз=0. Если считать, что х и у велики и имеют один и тот же порядок, то уравнение (10,8) можно заменить таким: у +хзу — 2х =О, что дает значение корня уравнения (10.3) с восьмью верными знаками. Применение метода последовательных приближений для неявной функции Ньютон демонстрирует на примере алгебраического уравнении откуда следует, что у = х.
Полагая вначале у = х + р и рас- гуждая как в предыдущем примере, получаем асимптотическое представление у при больших х; а аз 131аз 50да4 у=х — — + — + — + + 4 64х 512хз 16384хз (10.9) 7(а) — Дх„) = — 7(х„) = 1'(х„)(а — х„)+-ун(х„)(а — х„) +..- Ограничимся первым членом и, заменив а на х„+з, получаем — 1(х ) =1'(х )(хп+з — хл).
Именно к этому соотношению приводит отбрасывание в урав- нениях для добавок р, д, г и т. д., в частности, в уравнени- ях (10.4) — (10.5) членов со второй и третьей степенями добавок. Непосредственный расчет показывает, что 2+р=2 ††, > 2+р+9=2+р— у (2) У(г+ р) /'(2) ~'(2+ р) и т. д. Таким образом, корень уравнения (10.3) определяется по итера- ционной формуле У(хп) х„+, — х„— ~ и = О, 1,..., хе — задано, (10.10) Х (х-) Этот метод получил название мепда Ньютона.
В приведенных примерах Ньютон не использует явно производных (флюксий) при разложении функции у. Фактически же он вычисляет их. Легко проверить, что результаты Ньютона в точности совпадают с современными разложениями. Вопросы сходимосги разложений (10.7), (10.9) Ньютон не обсуждает. Однако при нахожцении корня уравнения (10.3) он убеждается, что члены числового ряда для а уменьшаются по абсолютной величине, а сумма приближается к значению корня уравнения.
В изложенном методе определения корня Ньютон фактически вычисляет первую производную функции /(х). Действительно, пусть х„— некоторое приближение к корню а. Запишем ряд Тейлора: — 93— Уравнение (10.1) можно заменить эквивалентным уравнение!С! х = у>(х) и, задавшись некоторым начальным приближением хэ> выполнить итерации по формуле х„ь! = у>(х„), и =- О, 1 (10.11! Если эта последовательность сходится, то она сходится к кор' ню уравнения. Метод (10.11) называется методом простой иге' рации. Он сходится, если во всех точках отрпэка [о, Ь], содержащего единственный корень а, функция у>(х) существует и непрерывна >р'(х), ]у>'(а)[ < с7 < 1 и хо б [а,Ь].
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
