История и методология прикладной математики. Русанов, Росляков (2004) (1185895), страница 15
Текст из файла (страница 15)
Решение ; равнения колебаний мембраны (8.2) Эйлер дэл в виде ряда по цилиндрическим функциям. Для уравнения (8.3) он получил частное решение. Большую поучительную историю имеет решение уравнения колебания струны (8.1), которое получил в 1747 году Даламоср н независимо в 1748 году Эйлер. Задача о колеблющейся груне интересовала еще Галилея.
Тейлор в 1713 году, не используя явно уравнение (8.1), определил частное решение для В своем труде "Интегральное исчисление" Эйлер собрал и классифицировал все известные ему уравнения и систематически изложил способы их решения. Там же приведен приближенный метод ломанных для решения обыкновенных дифференцп.1льных уравнений, которь1й мы знаем как метод Эйлера, и дана его модификация для повышения точности с помощью пересчета.
Метод ломаных впоследствии был использован Коши и Пеано для доказательства теоремы существования решения обьгкновенного дифференциального уравнения. У Эйлера по~тепенно сложилось убеждение, что для интегрирования даже п1юстейших уравнений недостаточно элементарных и известных специальных функций и следует ограничиваться сведением репьения к квадратурам. 7. В Х'ЛИ веке закладываются основы теории уравнений в 1астных производных.
Основные результаты исследований содержатся в "Интегральном исчислении" Эйлера. Здесь приводится уравнение колебаний струны закрепленной с двух концов струны в виде синусоидь4. Общее решение было получено Даламбером и Эйлером в виде и = ~о(х + аг) + 414(х — а4), (8.4) ~сваг Ьхх и .= ~~4 Ьь сов — сйп — О ( х ( 1. (8.5) а=4 Эйлер и Даламбер дружно выступили против этого решения, утверждая, что его нельзя считать общим. Бернулли вопрос о коэффициентах в разложении (8.5) не обсуждает. Со временем, после работ Фурье в начале следующего века, стало ясно, что при надлежащем выборе коэффициентов Ь4, с использованием функции, задающей начальный профиль струны, решение Даламбера-Эйлера (8.4) и Бернулли (8.5) совпадают. Помимо уравнений (8.1) — (8.3) второго порядка в конце ХИП века появилось еще одно уравнение дги дги дгг — -+ — + — = О, дхг дуг дхг (8.6) которое получил французский математик Лаплас, занимаясь теорией движения жидкостей, и которое известно как уравнение Лапласа.
Оно имеет многочисленные приложения в различных областях естествознания. Геометрическую теорию дифференциальных уравнений развил в конце века французский математик Гаспар Моиж. Он дал геометрическую картину общей теории уравнений с частными производными первого порядка. 8. В ХЧП1 веке сформировалась еще одна ветвь математики — - вариационное исчисление. Зарождением вариационного и оно носит название решения Даламбера, хотя Эйлер рассмотрел задачу в более точной постановке, привлекая, помимо граничных, еще и начальные условия.
Между Эйлером и Даламбе-' ром возникла дискуссия о природе произвольных функций 444 и 414. Даламбер утверждал, что они должны быть аналитически-. ми, а Эйлер — непрерывными (в современном понимании непрерывности). Масла в огонь подлил Д. Бернулли, который, исходя из физических соображений, представил решение уравнения (8.1) в виде ряда апчисления принято считать 1696 год. В этом году И. Бернулли «44ратился через журнал ко всем математикам с предложением :, сшить задачу о брахистохроне.
Задача состоит в определении и 4оской кривой, соединяющей точки А и В, по которой материальная точка, двигаясь из А под влиянием силы тяжести без ппчальной скорости, достигнет В за кратчайшее время. Первым г решил Лейбниц. Скоро свои решения опубликовали Я. Берпупли, Лопиталь и Ньютон. Этой кривой оказалась циклоида.
Именно с помощью цикво4щы Гюйгенс построил теорию маятниковых часов. По предложению И. Бернулли вариационными задачами запялся Эйлер. Итоги многолетних исследований он опублико44кп в 1744 году в знаменитом труде " Метод нахождения кривых линий, обладающих свойством максимума, либо минимума, нли решение изопериметрической задачи". Он показал, что если функция 44(х) дает экстремум функционалу (8.7) го она удовлетворяет дифференциальному уравнению (8.8) Это уравнение получило название уравнения Эйлера.
Вариационную задачу Эйлер свел к отысканию экстремума функции многих переменных, заменяя кривую у = у(х) ломаной линией. Лагранж существенно упростил метод Эйлера, создав теорию метода вариаций, что расширило круг вариационных задач. Отсюда возникло название "вариационное исчисление". Он же разработал метод, носящий название метода множителей Лагранжа. В дальнейшем вариационное исчисление развилось в важную математическую дисциплину, имеющую многочисленпые приложения в естествознании, в особенности, в механике.
Большой вклад в его развитие внесли Пуассон, Гаусс, Якоби, Остроградский, Дарбу, Вейерштрасс и другие крупные математ ики. 9. Значительные результаты были получены Эйлером по теории чисел. Он доказал ряд теорем Ферма, в частности, доказал и 72— — 73— обобщил малую теорему Ферма, доказал большую теорему Ферма для и = 3 и и = 4.
Получил важные результаты по теории простых чисел, ввел так называемую дзета-функцию (названную так Ряманом). Эйлер оставил глубокий след в разных областях естествознания. Уже упоминался его знаменитый труд "Механика" (1736). В 1765 году он опубликовал книгу "Теория движения твердых тел", где развил аналитические методы исследования и получил уравнения для тела, вращающегося вокруг точки. Они называются уравнениями Эйлера; здесь же им введены в качестве ксюрдинат тела "углы Эйлера". Он занимался теорией движения Луны, исследовал притяжение эллипсоидов вращения, преломление лучей в линзах, написал труды по кораблестроению, артиллерии, гидравлике. Важные результаты получены Эйлером в гидродинамике.
Он впервые получил уравнения в частных производных для описания движения газа. Эти уравнения также носят имя Эйлера и приводятся во всех современных курсах по газовой динамике. 10. Крупнейшими математиками ХЪ'П1 века, помимо Эйлера, были Даламбер, Лагранж и Лаплас.
Жан Лерон Даламбер (1717-1783) воспитывался в бедной французской семье. С ранних лет увлекался математикой. Член и многие годы секретарь Парижской академии наук, почетный член Петербургской академии наук. Вместе с Дидро, Вольтером и Гольдбахом был создателем и редактором знаменитой " Энциклопедии наук, искусств и ремесел". Даламбер получил ряд важных результатов в анализе. После Ньютона первым сделал попытку создать теорию пределов и обосновать исчисление бесконечно малых. Установил признак сходимости рядов (признак Даламбера).
Много усилий затратил на доказательство основной теоремы алгебры. Занимался теорией вероятностей. Дал решение задачи о колебании струны, Это решение Даламбера волнового уравнения приводится во всех современных учебниках по математической физике. В "Трактате о динамике" (1743) сформулировал принцип, известный как "принцип Даламбера", позволивший свести задачу движения материальной системы к задаче статики. Даламбер обосновал теорию возмущения планет. Жозеф Луи Лагранж (1736-1813) --- выдающийся француз- кий математик и механик родился в Турине. В 19 лет он стал преподавателем математики в местной артиллеристской школе. В 1766 году по приглашению Фридриха П переезжает в Берлин, лс живет и работает до 1787 года„возглавляя Берлинскую академию наук.
После 1787 года он живет в Париже. Лагранж работал во многих областях математики. Он являет- ~ я одним из основоположников современного вариационного исшсления, развил общую теорию линейных дифференциальных уравнений произвольного порядка, создал теорию дифференци.альных уравнений в частных производных первого порядка. анализе он дал формулу для остаточного члена ряда Тейлора, получил ч р у» фо м лу конечных приращений, исследовал эллиптические интегралы.
йи В своих трудах "Теория аналитических функций (1797) и "Лекции по исчислению функций" (1801) Лагранж создал алгео»раическую тео теорию анализа, не опираясь на понятие бесконечно малой и теорию пределов. Он исходит из разложения функции ) (х+ и) в степенной ряд по А и определяет последовательно производные у'(х) „у" (х), сравнивая соответствующие члены этого ряда и ряда Тейлора. При этом Лагранж считает ряд сходящимся, если стремится к нулю его общий член.
У Лагранжа имеются и работы по вычислительной матемагике. труде ' г . В "О решении численных уравнений" он развил методы отделения вещественных корней алгебраического уранией. Лаг анж лия и их нахождения с помощью непрерывных др й. »юлучил одну из самых распространенных интерполяционных »рормул, которая но р ~ сит его имя, Одно из главных сочинений . 1агранжа "Аналитическая механика" (1788) содержит систематическое изложение механики системы материальных точек и твердых тел с единой точки зрения и на основе последних достижений математики, в частности, разработанного им вариационмого исчисления. В основу механики положен принцип возможных перемещений (в статике) и принцип Даламбера-Лагранжа вашел первые частные решения задачи трех тел. В современной аэродинамике наряду с эйлеровыми координатами широко используются лагранжевы координаты, связанные с движущимися частицами.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
