История и методология прикладной математики. Русанов, Росляков (2004) (1185895), страница 13
Текст из файла (страница 13)
6. Ньютон много сделал и в прикладной математике, в частности, в вычислительной математике. Параллельно с дифференциальным исчислением развивалось и исчисление конечных разностей, которое нашло многочисленные приложения в численных, приближенных методах. Со временем на этой основе был создан метод конечных разностей для решения обыкновенных дифференциальных уравнений и уравнений в частных производных, который интенсивно разрабатывается в наши дни. В начале разности применялись для задачи интерполирова- пня и решения задачи Коши для обыкновенных диффереици«льных уравнений. К решению задачи интерполирования приложили усилия многие ученые, в частности, Ньютон, Грегори, Лагранж.
К этой задаче мы позже вернемся. Сейчас лишь приведем интерполяционную формулу Ньютона (1711). Для равиостоящих узлов хе, хг = хо + Ьх, хг = хэ + 2Ьх, х„= хэ + пЬх она имеет вид 1(1 — 1) У(х) = У(х~ + 1Ьх) — У(ха) + — ЬУ(хо) + Ь У(хо) + 1! 1(1 — 1) (1 — 2) ° (1 — (и — 1) ) + Ь"У(хэ). и! Здесь 1 = ЬУ(хе), ЬгУ(хэ), ..., Ь"У(хэ) конечные Ьх разности функции У(х) в точке хе.
ЬУ(хэ) = У(ха+ Ьх) — У(хе), ЬгУ(хэ) = ЬУ(хэ + Ьх) — ЬУ(хэ), ЬзУ(хэ) = Ь У(хе + Ьх) — Ь У(хе), Эта интерполяционная формула Ньютона имеет широкое применение и в наши дни. Она послужила Тейлору как аналог при получении ряда, носящего его имя. Он рассуждаег так. Заменим э формуле Ньютона 1 на и (и — целое) н рассмотрим бесконечно большое число членов так, чтобы при и -+ оо выполнялось Ьх — > О, но произведение пЬх = И оставалось конечным. Тогда ЬУ(хо) ЦА — Ьх) ЬгУ(хо) У(хо+ А) = У(хо) + А Ь + ь(ь — Ьх)(А — 2Ьх) ЬзУ(хо) 3! ЬЗ, И при Ьх -+ 0 имеем У(хо+А) =У(хо)+А + —, г + у 1з дУ( ) ьг бгУ(хэ) Аз йзУ(хе) Тейлор опубликовал этот результат в 1715 году.
Здесь приво-' дится и частный случай формулы Тейлора — ряд Маклорена (хе — — О), который Маклорен получил другим путем в 1742 году. Регулярное применение рядов Тейлора и Маклорена стало характерной особенностью дифференциального исчисления. Приведем еще один вычислительный результат Ньютона— итерационную формулу для нахождения действительного корня нелинейного уравнения 1(х) = О. Итерационный процесс выполняется по формуле П ) х»+г = х» — —, У'(х») п=0,1,2, Если начальное приближение хе взято близко к корню, итерационный метод Ньютона сходится. Позднее этот метод был распространен на системы уравнений и в настоящее время широко применяется в вычислительной практике. 3 8.
Эйлер и математика ХЪ'111 века 1. Для математики ХНП1 века характерно дальнейшее развитие и углубление анализа и на его основе значительные успехи в механике. На стыке веков продолжалась плодотворная деятельность Ньютона и Лейбница и наиболее ярких представителей школы Лейбница — братьев Якоба и Иоганна Бернулли. К крупнейшим математикам ХЪ'|П века относятся Эйлер, Даламбер, Лагранж, Лаплас и ряд других ученых. Научная деительность концентрировалась, в основном, во. круг академий наук. Наибольший вес имели Парижская, Берлинская и совсем молодая Петербургская академия. Для России начало ХЪ'П1 века было временем реформ Петра 1, которые затронули армию и флот, промышленность, госаппарат и подготовку специалистов. В 1701 году была открыта навигационная школа, в 1711 — артиллерийская школа, в 1714 — Морская академия.
В 1724 году было создано первое научное учреждение России — - Петербургская академия наук с гимназией и университетом, которые готовили кадры для страны. С 1758 по 1765 годы университет академии возглавлял выдающийся русский ученый-энциклопедист М. В. Ломоносов. В 1755 году был создан Московский университет. В это время в России было мало г» ных европейского уровня„поэтому для ведения научной ра'югы в академию приглашались иностранцы.
Долгие годы здесь р»ботали Эйлер и Даниил Бернулли. Молодая академия быстро гзваевала международную известность, чему в болыпей степени »действовала научная деятельность Эйлера. 2. Большие заслуги перед мировой наукой имеет семья Бер»улли, голландцев по происхождению, выходцев из швейцар- кого города Базеля, важного центра науки и искусства. Эта купеческая семья дала миру несколько первоклассных матемагиков.
Родоначальниками математической династии Бернулли были братья Якоб и Иоганн. Якоб Бернулли с 1687 года до своей кончины возглавлял кафедру в Базельском университете. Иогяни был профессором математики в Голландии, после смерти прата перешел на его кафедру„где преподавал всю оставшую» жнзиь. Братья Бернулли были учениками Лейбница и его .юследователями Они много сделали для создания исчисления ьссконечно малых, и уже к концу ХЪ'П века Лопиталем был опу- ~:.»икован первый учебник по дифференциальному исчислению, .г Иоганном Бернулли подготовлен учебник по интегральному »счислению, который был издан лишь в 1792 году. Им принад~ежит интегрирование ряда обыкновенных дифференциальных :, равнений„первые работы по вариационному исчислению. Якоб Бернулли был одним из основоположников теории вероятностей. Его имя носит одна из предельных теорем этой гсории.
Он ввел полярные координаты, исследовал ряд кри»мх: цепную линию, логарифмическую спираль и лемнискату (лемниската Бернулли). Иоганн Бернулли считается одним из создателей вариационного исчисления за постановку и исследо»апие задачи о брахистохроне. Два сына Иоганна Бернулли, Николай и, в особенности, Да»вил, своими успехами в математике преумножали славу семьи Бернулли. Они в 1725 году были приглашены в Петербургскую »кадемию наук.
Николай через год скончался. Даниил проработал в России в качестве профессора академии до 1733 года. Вернувшись на родину, он до старости был профессором Базель- ~ кого университета, плодотворно работая в области математики, .ктрономии и гидродинамики. Основной его труд»Гидродинамика" был опубликован н 1738 году. С этих пор полученное им "уравнение Бернулли" входит во все учебники по гидродинами- — 63— ке.
Большой вклад он внес в кинетическую теорию газов. Занимался уравнениями в частных производных, получил решение задачи о колебании струны в виде тригонометрического ряда. 3. Из швейцарского города Базеля вышел еще один крупнейший математик --- Леонард Эйлер. Он родился в семье пастора, учился в Базельском университете. Слушая лекции Иоганна Бернулли, Эйлер увлекся математикой. В 1725 году сыновья И. Бернулли, Николай и Даниил, с которыми был дружен Эйлер, уехали в Петербург.
По их рекомендации Эйлер приехал в 1727 году работать в Петербургской академии на кафедре физиологии, где была вакансия Однако ему была предоставлена возможность заниматься математикой, и он с рвением занялся наукой и преподаванием. За первый период жизни в Петербурге с 1727 по 1741 годы он опубликовал около 50 научных работ и подготовил 80 В 1736 году вышла двухтомная монография Эйлера "Механика, или наука о движении, изложенная аналитически", которая явилась первым учебником по ньютоновской механике материальной точки.
С 1731 года он член Петербургской академии. Выполняет многочисленные государственные задания. Тревожная политическая обстановка в России побудила Эйлера в 1741 году уехать в Берлин. В Берлине он до 1766 года работал под особым покровительством Генриха П вицепрезидентом Берлинской академии наук и директором ее математического отделения. С 1766 года до конца жизни Эйлер снова в Петербурге вместе со своей семьей. Он был дважды женат и имел 13 детей.
Он в почете и славе и плодотворно работает. Его необычайная продуктивность не ослабла и после того, как в 1766 году он практически потерял зрение. Один глаз отказал еще в 1738 году, когда Эйлер напряженно работал над составлением географических карт России. Теперь он вынужден диктовать результаты исследований своим ученикам. Много помогал ему сын, который тоже увлекался математикой.
Эйлер умер в 1783 году и похоронен на Смоленском кладбище Петербурга. Эйлер оставил огромное научное наследство. Еще при его жизни увидело свет 530 его книг и статей. После смерти Эйлера его рукописи Петербургская академия публиковала чуть ли не полвека.
Всего Эйлер написал около 850 сочинений. Среди них свыше 40 монографий, зачастую многотомных. Назовем лишь некоторые из них, в которых Эйлер привел в систему огром- иый научный материл по математическому анализу и алгебре: "Введение в анализ бесконечно малых" (2 тома, 1748 г.), "Дифференциальное исчисление" (2 тома, 1755), "Интегральное исчисление" (3 тома, 1768 — 1770), "Полное введение в алгебру" (2 тома, 1770). Помимо статей и монографий математические результаты содержатся в многочисленных письмах Эйлера. Около 3000 писем хранятся в Санкт-Петербурге и Берлине, и опубликована лишь небольшая их часть.
Научные работы Эйлера охватывают почти всю математику того времени, и во всех ее областях он сделал значительные открытия, ставившие его среди выдающихся математиков на первое место в мире. Это признавали крупнейшие математики, жившие при Эйлере и после него. Карл Гаусс писал: "Изучение работ Эйлера остается наилучшей школой в различных областях математики, и ничто другое не может зто заменить".
Научная деятельность Эйлера имела прикладную направленность. К построению математических теорий он приходил от конкретных практических задач. Около 40% его работ посвящено прикладным вопросам астрономии, физики, гидродинамики, небесной механики, баллистики, кораблестроения, теории машин, оптики, картографии и др. Научные достижения Эйлера и его учеников ьыдвинули Петербургскую академию наук на первое место в мийе. 4. Велик вклад Эйлера в теорию функций, дифференциальное и интегральное исчисление.
Понятие функции формироваюсь в течение длительного периода. Общая идея функции как соответствия довольно общей природы приписывается немецкому математику Дирихле (1837). Несколько раньше, в 1834 году более четкое определение функции, основанное на идее соответствия, было дано Н. И. Лобачевским. Во времена Эклера возможность оперирования с функциями вязывалась с их конкретными аналитическими представлениями. Начиная с И. Бернулли, утвердилось понятие о функции как аб аналитическом выражении. Этой трактовке функции придерживался Эйлер, а также французский математик Даламбер.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
