История и методология прикладной математики. Русанов, Росляков (2004) (1185895), страница 10
Текст из файла (страница 10)
Новое учение было обосновано и существенно дополнено другими учеными ХЧ1 — ХЧН веков. Датский астроном Тихо Браге провел многочисленные наблюдения небесных тел, которые послужили основой для открытия немецким ученым Кеплером законов движения планет вокруг Солнца по эллиптическим орбитам. Итальянский ученый Галилео Галилей представил доказательство правоты Коперника, сопоставив две модели Вселенной — по Птолемею и по Коцернику.
Наконец, в 1666 году Ныогон сформулировал закон всемирного тяготения и математически строго обосновал заковы Кеплера. Астрономия поставила перед математикой сложные вычислительные задачи, которые в основном были связаны с необходимостью составления очень точных и подробных таблиц тригонометрических функций. Для того, чтобы обеспечить высокую точность таблиц необходимо было знать со значительно более высокой точностью число гг и синусы малых углов. Европейцам долго не были известны замечательные результаты среднеазиатского математика аль-Каши, который ввел в самом начале ХЧ века десятичные дроби и вычислил число и и значение ып 1' с семнадцатью десятичными знаками.
В Европе впервые ввел в употребление десятичные дроби нидерландский математик Стевин в 1585 году. Число я. было вычислено в конце ХЧ1 века Виетом с 9-тью десятичными знаками и Цейленом с 35-тью знаками Нед таблицами работали многие ученые, в частности, Мюллер, Коперник, Виет„Кеплер. К концу ХЧ1 века появились таблицы в«ех шести тригонометрических функций с шаголг 10 секунд. Десятичные дроби еще только вхо1пли в практику, н вычисления таблиц выполнялись в целых числах прн радиусе производящей окружности 1010. Для облегчения вычислений математики использовали различные приемы .ведения умножения к сложению, например, с помощью тригонометрических соотношений.
2. Важным усовершенс:твованием техники вычислений было изобретение логарифмов, которые позволили свестн к сложению не только умножение и деление, но н такие громоздкие операции как возведение в степень и извлечение корни. Логарифмам предшествовала идея сравнения геометрической и арифметиче.кой прогрессий также с целью сведения операций к более прокчым. Действительно, возьмем две последовкгельности а) 0 ' 00 01 0' б) ..., — 1, О, 1, 2, Умножению членов последовательности а) соответствует слокение соответствующих членов последовательности б) .
На сооременном математическом языке этн последовательности задах.тфункцию р = и» илн х = 1084 9. Нов те времена еще незнали показательной и логарифмической функции; они были введены ~ишь в ХЧП1 веке Эйлером. Очевидно, что если х =- хг+ хз, то йлг+сг Первые логарифмические таблицы были составлены швейцарцем Бюрги. Он работал в пражскг>й астрономической оберватории вместе с Кеплером, помогая ему в наблнщениях и вычислениях.
Толчком для исследований Бюрги послужили шубликованные Стевином в конце ХЧ1 века таблицы сложных процентов. Отсюда у Бюрги появилось основание логарифмов 'чг'1+ 10 4. Странно, что он не воспользовался при составлении таблиц десятичными дробями, которые применял Стевин, гго усложнило его работу.
Над таблицами логарифмов Бюрги грудился 8 лет, с 1603 по 1611 годы. Он их долго не публиковал и сделал это только в 1620 году благодаря настойчивым прог:ьбам Кеплера. Это стоило Бюргн приоритета в изобретении кггарифмов. Изобретателем логарифмов считается шотландский матема, ик барон Непер, опубликовавший в 1614 году в Англии книгу - 47- "Описание удивительных таблиц логарифмов".
Неперу принадлежит и сам термин "логарифм". Книга Непера содержала 8- мизначные таблицы логарифмов тригонометрических функций для значений аргумента от 0' до 90' через 1'. Непер исходил из двух последовательностей, из которых одна возрастает в арифметической прогрессии, а другая убывает в геометрической, что соответствует формуле -» у=-ае или х =- Мер 1обу, т. е.
неперовские логарифмы имеют основание (1/е)». Козффициент а = 10 введен с целью оперировать при составлении 7 тригонометрических таблиц с целыми числами, так как десятичные дроби только еще входили в практику. Следовательно, Хер!ойу = 10"(1п10 — 1пу) и Нер1о81 = 10 1п10 . Очевидно, когда х = х~ + хз„то получаем у =- у~уз/а, а не у = у~уз.
Это усложняло пользование логарифмами и не удовлетворяло Непера. Непер и английский математик Бригг пришли к идее десятичной системы логарифмов, основанной на последовательностях а) -б) при д = 10. После смерти Непера Бригг в 1624 году опубликовал книгу "Логарифмическая арифметика", содержавшую десятичные»бригговы" логарифмы с четырнадцатью знаками для целых чисел от 1 до 20.000 и от 90.000 до 100.000. Пробел был заполнен в 1627 году, когда голландец Влакк издал 10-значные таблицы логарифмов целых чисел от 1 до 10з. В 1620 году англичанин Спейдель разработал таблицы натуральных логарифмов. Таблицы логарифмов быстро распространялись по всему миру и сделались незаменимым средством вычислений.
9 7. Формирование математики переменных величин Творчество Ньютона и Лейбница 1. В ХЧП веке происходило сближение научного и технического прогресса. Необходимосп совершенствования и аффективного использования машин ставила серьезные технические проблемы перед инженерами и стимулировала развитие механики. Прогресс небесной механики был связан с научным объяснением астрономических явлений. Механика развивалась на пути научного изучения движения на основе математических методов. Это нашло яркое выражение в работах Галилеи, Кеплера, — 48— Ньютона.
Внедрение математики происходило не только в механику, но и вообще в естествознание. Характерно для этого вре. мени то, что большинство крупных ученых были универсалами, всесторонне изучающими прирсду, постигая законы ее развития. Ученые-мыслители, такие как Галилей, Декарт, Спиноза, Лейбниц искали общий универсальный метод изучения природы, Таким наиболее важным и универсальным средством становится математика. Новый дух науки в малой степени коснулся университетов, которые в большинстве своем были достаточно консервативны. Из дискуссионньж кружков ученых, которые возникли как ценгры научных связей в условиях отсутствия научной периодики, свали образовываться академии.
После первых академий в Неаполе (1560) и Риме (1603) возникают подлинно научные организации -- академии наук. В 1662 году возникло Лондонское королевское общество, играющее и поныне роль национальной академии наук. В 1666 году организована Парижская академия наук. Возникли первые периодические научные журналы в Лон.юне, Париже, Лейпциге. Происходит качественное изменение в содержании математики — она приобретает облик математики переменных величин.
В ХЧП веке берут начало большинство математических дисциплин„которые ныне составляют основу высшего математического образованию математический анализ (Ньютон, Лейбниц), аналитическая геометрия (Декарт, Ферма), проективная и дифференциальная геометрия (Паскаль, Гюйгенс, Кеплер), теория вероятностей. (Якоб Бернулли, Ферма). 2. Остановимся вначале на двух ученых, которые заложили основы аналитической геометрии — Декарте и Ферма.
Рене Декарт родился в 1596 году во французском городе Турени в семье, принадлежащей древнему дворянскому роду. Образование получил в иезуитском колледже. Некоторое время служил в армии. Из-за разногласий с церковью долгое время жил в Голландии, и за гсд до смерти переехал по приглашению шведской королевы в Стокгольм.
Декарт был ученым-знциклопедистом, работающим в области математики, философии, физиологии, физики. Целью деятельности Декарта была разработка общего математического подхода к изучению естествознания. В труде "Геометрия", вышедшем в 1637 го ду он осуществил свои подход сбьедннив алгеб у метрию. В основе изложения лежат понятия переменной нели.
чины и прямолинейных координат, которые сейчас нэзывазстсг декартовыми. В самом труде они введены еще недостаточно чет. ко. Большая часть "Геометрии" посвящена теории алгебраических уравнений. Там содержится и известное правило Декарта определения числа положительных корней уравнения. Однако главная заслуга Декарта состоит в систематическом применении уже хорошо развитой алгебры к геометрии, что существенно расширило область ее применения и создало основу для формирования самостоятельной математической дисциплины — аналитической геометрии. Большое значение для дальнейшего развития математики имело и окончательное освобождение Декартом от ограничений, связанных с размерностью величин, идутцнх е е дутцнх еще от геометрической алгебры древних греков.
В "Геометрии" Декарта дана неудобная классификация кривых, нет, по существу, еще "декартовых координат", кривые изучаются лишь в первом нны и друквадранте. Некоторые из этих недостатков свойственны и гим ученым, занимающимся подобными исследованиями, в том числе и Ферма. Пьер Ферма родился в 1601 году на юге Франции в семье торговца. Окончил юридический факультет Тулузского университета и работал юристом в Тулузе да конца ж2гзни.
Ферма самостоятельно знакомился с математикой, творчески работал в этой обл асти и получил значительные результаты в разных математических дисциплинах, которые были опубликованы лишь после его смерти. Результаты Ферма по аналитической геометрии изложены в небольшой работе "Введение в теорию плоских и пространственных мест", опубликованной лишь в 1679 году.
Здесь уже содержатся уравнения у=-тх, ху=й, х +у =а2, хэ~п2 2 62 для прямых линий и конических сечений отнаситель ю ительно перпендикулярных осей. В отличие от Декарта он рассматривает и общие уравнения 2-га порядка и сводит их сдвигом и поворотом осей к каноническому вцпу. Пространственной координаты у Ферма еще не было, но он изучает пересечения поверхностей плоскостями.
Говоря о Ферма, нельзя не упомянуть о его других открытиях атематике. Он, по-видимому, пеРвым предложил метод апре. веления максимума и минимума функции. Ферма и Паскаль читаются основателями теории вероятностей. В 1654 году они ~стаповили ряд основных положений теории вероятноагей на примере азартных игр. Когда об этих результатах узнал Гюйгенс, аи также увлекся новыми задачами и в 1657 году опубликовал книгу "О расчетах при азартных играх", которая явилась первым трудом по теории вероятностей. Изучая перевод работ Диофанта, Ферма сформулировал на волях этой книги ряд утверждений по теории чисел, которые известны как теоремы Ферма. Ферма их не доказывал, вернее пет сведений об этом. Некоторые из них позже были доказаны другими математиками.
Одна из теорем, так называемая Великая теорема Ферма гласит: диофантово уравнение х" + у" =- 2" при и > 2„целом, не имеет решения в натуральных числах. Сформулировав эту теорему, Ферма дсбавляет: "Я нашел поистине удивительное доказательство этого предложения, но поля книги слишком узки, чтобы его изложить". Если Ферма и знал доказательство, то оно никогда не было опубликовано.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
