История и методология прикладной математики. Русанов, Росляков (2004) (1185895), страница 7
Текст из файла (страница 7)
В период становления центра ведущим его ученым был Насирэддин Туси (1201 — 1274). Уже упоминались его работы по геометрии, в частности, об аксиоме о параллельных, которые в Европе использовались еще в ХЧП веке. Туси внес большой вклад в развитие тригонометрии. К этому времени тригонометрия развиввлвсь квк часть астрономии. Был накоплен большой фактический материал по тригонометрии как плоской, так и сферической. Имелись очень точные таблицы тригонометрических функций.
Туси в своих трудах, в частности, в "Трактате о полном четырехстороннике", привел в стройную систему имеющиеся данные. Из совокупности вспомогательных средств астрономии сформировалась отдельная наука о тригонометрических функциях в плоских и сферических треугольниках и о способах решения этих треугольников. Не хватало только удобной символики, чтобы тригонометрия приобрела привычный нам аналитический вид.
4. Крупный узбекский ученый аль-Каши жил и работал в Самарканде. Известна лишь дата щ о смерти — — 1436 год. Он был первым директором знаменитой обсерватории Улугбека — лучшей обсерватории в мире для того времени. Здесь были собраны лучшие ученые для разработки астрономии и математики. Аль-Каши принадлежит ряд блестящих вычислительных работ. Он нашел число н с 17-ью десятичными знаками, вычисляя для этого сторону правильного многоугольника с числом сторон 3 228 (= 800 млн.), и впервые применил для приближенного решения кубического уравнения итерационный метод.
Остановимся на этом более подробно. В обсерватории Улугбека под руководством вль-Каши составлялись таблицы синусов с шагом в одну минуту и с точностью до девятого десятичного знака. При этом для контроля вычислений необходимо было знать значение шп 1' с еще более высокой точностью. Для этого были последовательно вычислены с необходимой точностью значения вш 72" из построения правильного пятиугольника, шп60, затем шв 12, раскрывая формулу ип60" = з)п(72' — 12'), и, наконец, вшЗ' = шп(12'/4). Пользуясь известной со времен античности теоремой Птолемея о том, что произведение дцагопалей вписанного четпырехугольнина равно сумме непарных произведений прогпивополошсных сгцорогь Аль-Каши получил тригонометрическое соотношение 4шп а+8)пЗа = Зв)пп.
3 Полагая и = 1', х = 60 шп 1', он приходит к уравнению х +О=-.Рх где О = 15 3600 вгп 3' = 2826.141637118967, Р = 2700. Для нахождения решения он использует метод, названный позже методом последовательных приближений или методом итераций: ( 3+())/Р положив хо = О. Это метод простой итерации. Он сходится, так как искомое значение х ш 1, и величина производной Зхз/Р лрстаточно мала.
В результате аль-Каши получил следующее гначение яш 1' = 0.0174524064372809. В более точном значении последние две цифры равны 3 и 5, т. е. ошибка составляет 1,5 ° 10- 13 Аль-Кашн пользовался прн вычислениях шестндесятнрнчной системой. Пусть чнсло, записанное в 60-тнрячной системе, имеет внд а=а 60" +а„. |60к ~+ ° ° +во+а--160 ~+ ° ° +а лбо Запишем его в виде а = (а„,а„п...,а ~).
Аль-Кашн пользовался запнсью, в которой последовательность начиналась с первой отличной от нуля цифры, причем ее позиция (то есть номер к) в самой записи не фнкснроэался, так что числа, рэзлнчающяеся множнтелем 60, запнсывалясь цллнаково. прн этом общее число знаков в записи (то есть разность ь .— (-0 в данном примере) сохранялась примерно постоянной, н расчеты проводя- лись с постоянным числам значащих цифр, то есть с мантиссами постоянной длвны. Очевидно, что сущестаовэля какне-то приемы для фиксации порядков чисел прн вычислениях. По этим правилам коэффнцненты Р н Я запнсывалнсь с восемью 60-тнрнчяымн елфрамк: Р = (45,0,0,0,0,0,0,0), Ю = (47,6,8,29,53,37,3,43).
Точное значение шп1 = 0.0174524064372835128 в десятичной системе имеет относнтельную погрешность менее 3 10 гэ . В 60-рнчной сястеме зто значение имеет внд: зш1 = (1,2,49,43,11,14,44,16,26,18,29,12...). АльКаши получил значение в!и 1 = (1,2.49,43, 11,14 44, 16), меньшее точного еа 26 ° 60 э, гго дает относительную погрешность 1.5 ° 10' ~з. Заметим, что вычисление последовательных нрнблнженвй было органнэовано таким образом, что на навоюй итерации колнчеспю шестццесятнрнчных цяфр увеличивалась на единицу (практнческя добавлялась слазующая верная цяфра). Для ручного счета это было существенно, так как значнтельяо сокращало время счета.
Аль-Каши впервые ввел в науку десятичные дроби, без которых немыслима современная математика. Это произошло на 175 лег раньгае чем в Европе. Шестидесятиричная система испольювалась арабами для сложных, в первую очередь, астрономических вычислений, причем вычислителю приходилось все время пользоваться таблицами умножения и сложения, содержавшими все 1770 произведений и сумм двух 60-ричных цифр.
Это ускорило вычисления, однако в обыденной жизни в практику вошла более простая для счета десятичная (индийская) система записи целых чисел. В своем трактате "Ключ арифметики" Аль-Каши систематически изложил правила действий с 60-ричнными числами и правила их перевода в десятичные. При этом он сделал принципиально важный шаг — ввел аналогично десятичным 60- ричные дроби.
Изложение правил действий с ними, рассчитанное на широкий круг ученых н вообще образованных людей, а не только на астрономов, способствовало распространению десятичной системы в арабском мире, а затем и в Европе. Добавим еще к сказанному, что Апь-Каши знал метод вычисления значений полиномов высших степеней, который теперь носит название схемы Горнера. В его трудах встречается формула бинома для произвольных целых положительных показателей. Он умел извлекать из чисел корни высокого порядка.
Говоря об арабском периоде развития математики, следует упомянуть еще о двух научных центрах — Египте и Испании, длительное время находившихся под властью арабс ж В Египте продолжались математические исследования, однако значительных результатов и крупных ученых рассматриваемый период не дэл. В Испании замечательный астроном Х1 века апь-Заркали создал так называемые Толедские планетные таблицы, которые стали широко известны в Европе.
Арабская математика в средние века развивалась преимущественно в алгоритмическо-алгебраическом направлении. Она внесла много нового в мировую науку после блестящих успехов античной математики в Греции. В заключение еле,пуст уточнить понятия "арабская наука", "арабская математика". Имеются в виду не только и не столько арабы, а ученые самых разных национальностей: персы, таджики, узбеки, египтяне и многие другие. Происхождение этих терминов связано с тем, что арабский язык в этот период был международным языком исламского мира.
3 5. Математика в Европе. Период упадка науки. Эпоха Возрождения. Достижения в алгебре 1. После разделения Римской империи на Западную и Восточную 1Византию) Западная империя просуществовала недолго. Из-за внутренних трудностей, обусловленных рабовладельчеством, и постоянных набегов варваров с севера она в Ч веке распалась. Постепенно в Европе стали формироваться национальные государства и складываться феодальные отношения. В 'Л1 веке арабы завладели византийскими землями на севере Африки и восточном побережье Средиземного моря, в результате чего были надолго нарушены экономические и культурные связи Европы со Средним и Дальним Востоком.
Начиная с Ч1 века в Европе в развитии науки наступил застой вплоть до эпохи Возрождения. Чрезвычайно низкий уро- — 36— псвь культуры и науки сохранился до ХП века. Единственнымн хранителями научных знаний были ученые-монахи. Об атон я ~похе русский математик В. А. Стеклов так писал в книге Матечатика и ее значение для человечества, вышедшей в 19 3 году: Ь й 1о33 — — "Век разума сменяется веками непробудного умственного гна, продолжавшегося почти без перерыва полторы тысячи лет. Б истории человечества не найти более грандиозного и ужасаю- в щего по своим проявлениям бедствия, чем это . И далее: -- "До чего дошло отупение людей можно судить по тому, что даже через 7 веков после Р. Х.
чудом учености в Европе считался монах Беда за то только, что он был единственным чепоееко, понимавшим четыре правила арифметики и способным применять их на практике. И это более, чем через тысячу лет после евклидовых "Начал" и великих открытий Архимеда, ко~ орый дерзал сосчитать число песчинок на дне океана и даже во всей Вселенной, т.
е. в шаре, центр которого находится в центре :1емли, а радиус равен расстоянию от Земли до Сириуса. (Бела Достопочтенный — английский монах, ученый-историк. Он говорил: — "В мире есть много трудных вещей, но нет ничего труднее, чем четыре действия арифметики"). Расцвет феодализма в Европе падает на Х1 — Х1Ч века. В ХЧ- Х'ЛП веках происходит постепенный переход к капитапистиче. гким отношениям. Начало этого периода, т. е. ХЧ вЂ” ХЧ1 века в центральной и западной Европе известен под названием Возрокдения. Это период становления щюизводительных сил, расцвета культуры и науки.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
