История и методология прикладной математики. Русанов, Росляков (2004) (1185895), страница 3
Текст из файла (страница 3)
Затем идет 9 — досадный случай; оно, по-видимому, не является простым числом. Но 11 и 13, конечно, простые. Возвратитившись к 9, — говорит он,-- я закпючаю, что 9 должно быть ошибкой эксперимента". 3 2. Математика Греции. Первый кризис в математике. Геометрическая алгебра. 'Гри знаменитых задачи древности. Возникновение первых математических понятий 1. К ЧП веку до н. э. Греция состояла из совокупности государств-полисов (городов), ведущих оживленную торговлю между собой и сосццними государствами: Египтом, Персией (современный Иран), Финикией (государство, расположенное на восточном побережье Средиземного моря) и др.
В это время в Греции высокого уровня достигли культура, техника, наука. До нашего времени дошли прекрасные памятники архитектуры и скульптуры. Большое развитие получила философия, астрономия, математика. Надежных источников, описывающих ранний период развития греческой математики нег. Однако наука располагает изданиями великих античных математиков Евклида, Архимеда, Аполлония, живших позднее (1Ч-П в. до н. э.). Характерной чертой греческой математики в отличие от Египта и стран Востока является стремление доказывать математические факты. Родоначальником греческой математики считается Фалес (625-547 г.
до и. э.). Ему приписывают доквзатель- ства ряда математических результатов: диаметр делит круг пополам, углы при основании равнобедренного треугольника равны и многое другое. Греки сумели в течение одного — двух столетий овладеть математическим наследием предшественников, которое накапливалось тысячелетиями, и по-новому его осмыслить. В математике этого периода практические задачи, связанные с вычислениями, геометрическими измерениями и построениями, продолжали играть большую роль. Эти задачи постепенно выделились в отдельную область математики, названную логистикой. Она включала операции с целыми числами и дробями, решение задач, сводящихся к уравнениям 1-ой в 2-ой степени, практические задачи архитектуры, земледелия и т.п. В то же время уже в школе Пифагора (580 500 г. до н.
э.) начинается процесс накопления и систематизации абстрактных математических фактов. Пифагорийцы не признавали прикладвого характера математики. Будучи аристократами, они считали, что решение практических задач —. удел лишь низших сословий. Пифагорийцами была построена значительная часть плаиимегрии прямолинейных фигур, доказана теорема Пифагора (она сюлучила имя основателя греческой гпколы, хотя была известна значительно раньше в Вавилоне). Был найден способ отыскания троек целых пифагоровых чисел, а = и, 6, с, удовлетворяющих соотношению а + 62 = с2.
Для нечетных п они имеют вид п, -(и — 1)„— (и + 1). 2 1 2 2 " 2 Для четных и пифагоровы числа были получены позже в Академии знаменитого греческого философа Платона (427-347 г. цо н. э.); они равны (2) Из арифметики была выделена в отдельную область теория чисел — все, что относится к общим свойствам операций с натуральными числами. Целые числа представлялись основополазающими универсальными объектами, к операциям с которыми должны сводится и все математические построения, и вообще .-12- 13— все многообразие явлений действительности.
"Все есть число и все из чисел" — руководящий принцип пифагорийцев. Из этого принципа следовало, что отношения меж,пу любыми количествами должны быть отношениями целых чисел (т. е, рациональными числами в современной терминологии). 2. Этому обожествлению целых чисел был нанесен сокрушительный удар самими же пифагорийцами. Оказалось, что отношение диагонали квадрата к его стороне (равное ~Г2) не является рациональным числом, т. е.
отношением целых чисел. Этот факт был доказан путем сведения к противоречию. Действительно, пусть ~2 = —, где р и д — взаимно простые Тогда г- р Я р = 24, и р — четное, а, значит, д -- нечетное. Но из того, 2 2 что р = 2г следует цэ =- 2гэ, т.
е. цэ, а, следовательно, и 4— четные. Это был, по сути, первый кризис в математике (о чем подробнее говорится в Э 19). В то время еще не было предпосылок разрешить его, расширив понятие числа вводом иррациональностей. Осознав, что совокупность геометрических величин более полна, чем множество рациональных чисел, греки создали исчисление в геометрической форме.
Новое исчисление получило в литературе название геометрической алгебры. В греческой математике возникла еще одна трудность, связанная с понятием бесконечности. Математики понимали, что за целым числом Ф следует целое число Ф + 1, затем М + 2 и так далее до бесконечности. К бесконечным процессам приводил и метод исчерпываиия (предела), о котором речь будет идти ниже. Эта концепция была важным достижением, однако, противоречила всем имеющимся тогда данным физики и философским воззрениям о конечности Вселенной. Она открывала новые широкие возможности в математике, но приводила к парадоксам. Смысл понятии бесконечности н до сих пор не раскрыт до конца, однако, в течение веков на многие вопросы, возникающие в связи с этим понятием, получен ответ. Еще одна трудность связана с тем, что греки не знали отрицательных чисел.
Онн имели дело с отрицательными числами только в терминах алгебраических выражений для площадей квадратов и прямоугольников, например, (а — Ь)э =- аэ — 2аЬ+Ьэ. Отрицательные числа впервые использовались, по-видимому, китайцами, однако окончательно вошли в математику после работ Кардано в 1545 году. 3. Вернемся к геометрической алгебре греков. Первичными ~лементами ее являются отрезки прямой. С ними определены вге операции исчисления. Возникающие при этом геометрические построения осуществляютсн циркулем и линейкой без деэепий.
В геометрической алгебре сложение это приставление отгхпков, вычитание — отбрасывание от отрезка части, равной вычнтаемому отрезку. Результатом умножения принимается прямоугольник со сторонами а и Ь, равными перемножаемым отрезкам.
Произведение трех отрезков дает параллелепипед. Произведение большего числа отрезков, естественно, не рассматривается. Деление наиболее сложная операция и возможно только, если размерность делимого больше размерности делителя, л =- аЬ/с. Оно интерпретировалось задачей приложения плон~адей: приложить к отрезку с прямоугольник, равновеликий данному а6. Задача решается так (рис. 2 1).
Рис. 2.1 Рис. 2.2 Построим на стороне Ь прямоугольник Ьс. Проведем див~опель в Ьс и продолжим ее до пересечения с продолжением отрезка 6. Прямоугольники аЬ и сх равновелики: а6 =- сх и л = иЬ/с. Геометрическими построениями можно интерпретировать алгебраические формулы. Например, рис. 2.2 выражает тождество (в + Ь)э = аэ -~ 2аЬ+ Ь вЂ” 14 15— Сначала прямоугольник аЬ заменяется разностью квадратов: (а+Ы Уа — Ы з у ~2 аЬ = — ) — ~ ) . Для этого сделаем построение, изо~г) (,2)' браженное на рис. 2.3. (Ь+(2 А 2 С О В С,В, 8, а Рис. 2.3 Рис. 2.4 Из этого рисунка видно, что АР ° РС = площади фигуры СВСРзВ В = С — ЕСз, (а+Ь\ га — Ы 2 г Ь2 т.
е. аЬ = — — ~ — ) . Далее применяется формула Пифагора и находится решение х (см. рнс. 2.4). Метод приложения площадей использовался для решения задач, сводящихся к квадратным уравнениям. Примерами таких задач являются определение сторон правильных вписанных многоугольников, "золотое мнениев отрезка, т. е. деление отрезка а на части х и а — х, удовлетворяющие соотношению а/х = х/(а — х), построение среднего геометрического а/х = х/Ь и др. Решение этого класса задач проводилось с помощью единого канонического метода, имеющего несколько разновидностей в зависимости от вида квадратного уравнения. Вот одна иэ таких задач: построить квадрат, равновеликий заданному прямоугольнику аЬ.
Другими словами, нужно решить уравнение хз = аЬ. Метод заключается в слелующем. Очевидно, что такой геометрический подход дает только один (положительный) корень уравнения. Отметим также, что уже на таком простом примере проявляются неудобства и громоздкость методов геометрической алгебры.
Особые неудобства вызывала необходимость оперирования с неоднородными объектами — отрезками, прямоугольниками, параллелепипедами. Такое положение сохранялось вплоть до ХЧП века, когда Декарт окончательно отбросил требования, связанные с однородностью, стал рассматривать х, хз, ху, х как отрезки, а алгебраическое з уравнение как соотношение между числами. 4. Созданному греками геометрическому исчислению свойственны помимо неудобства и более существенные недостатки. Довольно скоро выяснилось, что существует класс задач, не поддающихся решению с помощью циркуля и линейки. К ним относятся три знаменитые задачи древности: — задача о трисекции угла, т.
е. разделение произвольного угла на три равных части; --задача об удвоении куба, т. е. определение ребра куба, объем которого вдвое больше объема заданного куба; — задача о квадратуре круга, т. е. нахождение такого квадрата, площадь которого была бы равна площади заданного круга. Попытки решить эти задачи методами геометрической алгебры приводили к тому, что полученные решения оказывались или неверными или приближенными.
Последние безусловно имеют ценность, но не являются точными решениями. Эти задачи стимулировали развитие математики. С ними связано развитие конических сечений, были открыты некоторые кривые 3-го и 4-го порядков, кривая, получившая название квадратрисы. Задача об удвоении куба сводится к решению кубического уравнения хз = 2аз. Равносильной задачей является построение отрезка ~/2. Она была решена греками с помощью конических сечений.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
