История и методология прикладной математики. Русанов, Росляков (2004) (1185895), страница 4
Текст из файла (страница 4)
Задача о трисекции угла также сводится к решению кубического уравнения 4хз — Зх = а, следующего нз тригонометрического соотношения 4 соз — — 3 соэ — = сов <р. Она была з'р Е 3 3 решена греческими математиками с помощью квадратрисы (см. ниже рис. 2.7), а также методом вставок. — 17— о к ц а,) Рно. 2.7 а) Приведем это геометрическое решение методом встанок (рис. 2.5).
Обозначим сВСО = 2гг. Тогда лВАО гВОА = а. Очевцв; й но, что со = За. Здесь АВ =  — — вставка. ТаЛ кое построение легко осуществить циркулем и лиРис. 2.5 нейкой, на которой отме- чен размер вставки. Невозможность решения этих задач методами геометрической алгебры с помощью циркуля и линейки без делений была доказана только в 1837 г. Ванцелем. Решение задачи о квадратуре круга было получено греками с помощью квадратрисы, а также приближенно, прн этом круг заменялся вписанными или описанными правильными многоугольниками. Невозможность точного решения этой зцдачи с помощью циркуля и линейки была установлена в работах Ламберта и Лежандра (Х ьг)П в.), и Линдемана (конец Х1Х в.). Неудачные попытки греческих математиков решить в рамках геометрической алгебры задачу о квадратуре круга послужили поводом усомниться в возможности построения прямолинейной фигуры с площадью, равной площади криволинейной фигуры.
РИС. 2.6 Такое предположение было опровергнуто Гиппократом ( у' в. до н. э.), который указал квадрируемые фигуры — луночки— образованные дугами окружностей. Например, таковой являгсн луночка, образованная половиной окружности радиуса Л н дугой окружности радиуса ~/2В, опирающийся на диаметр (рнс. 2.6 а). Площадь ее равна площади треугольника АВС. Следствием этого результата является утверждение, что если па сторонах прямоугольного треугольника АВС (рис 2.6 б) построить как на диаметрах окружности, то сумма площадей абраюнавшихся луночек будет равна площади треугольника. 5. Многие результаты, связеиные с решением трех знеменитых греческих зедвч стели известны благодаря Пеплу, жившему в ГП веке в Алексецлрни. Открытие кведретрисы, вероятно, первой трансцендентной крююй, известной математикам, Пепл прнписывеет Гиппию (г' в, до н.
э.) и Динострету (!Ъ' в. до н. з.). Пепи утверждает, что около 420 г. до н. з. Гнлпий изобрел кривую„которвя могла служить двойной цели, именно, для трисекции ую;э н для квадратуры круга. Из-зв второго свойства онв позже получила еезеэлие кведретрнсы Кривее строится следующим образом. Рэссмотрнм четверть круга радиусе Я с центром О, зеключенную в квадрат ОАВС (рис. 2.7 в).
Будем равномерно вращать радиус ОА вокруг центра О и оеновременно. также рееиомерно, леремещеть отрезок АВ переллелыго семому себе, 1оглесовев скорости движение, тек чтобы ОА и АВ одновременно достигли положения ОС. 'Гочка пересечения /Ч отрезков ОР н МЬ описышмт кривую АО, которая и является кевдрвтрисой. Достаточно очеющно, квк кожно воспользоваться квлдрвгрисой для де:в.ння произвольного угла, меньшмо 90ь, не любое число рэвных частей. Пусть двн угол РОС и требуется разделить его нв три равных части (рнс. 2.7 б). Для этого нз точкн и пересечения ОР с кввдратрясой опя о опустям перпендикуляр !Ч К, рвзделнм его на трн равных части н через тачки деления проведем линии Ьт! Ьз, й/гбг, параллельные ОС, пересеквзощне квадрвтрксу в точках !Чд, )чз .
Проведенные через этн точкн ралнусы ОР н О ! н Рг делят угол РОС на трн равных угла. Заметим, что с помощью циркуля я линейки можно построять бесчнсленное множество точек квадратрясы, деля, например, ОА н дугу АС на 2" частей, где и любое. Однако для пронзвольного угла РОС постронть точку и невозможно. Таким образом, карясовавная на бумаге кввдратряса может быть нспольэоввна кзк некий практический прибор для приближенного деления угла, но не может решнть проблему в точной постановке. Обрзеямся теперь ко второму свойству кввдрвтрнсы, давшее ей нвзввняе. Пвпп указывает, что оно было обнаружено Днносгратом н сосзокт в выполненян соотноюеняя Я/й = й/г, где З вЂ” длина дуги АС, 1 — от е- реэок ОО (рнс.
2.7). Дннострат доказывает (по Пвппу) это равенство методом от противного. Отсюда следует, что ! = 2й/я „я прнмоугольннк со сторонамя о = 2й н Ь = Я = й /! равновелнк кругу радиуса й: Чтобы построить г равновелнкяй квадрат, нужно решить уравненяе аЬ = хг, что греческие мвтематнкн умели делать методами геометряческой алгебры. В этом рвссужденнн предполагается, что точка О существует, хотя н не может быть построена точно. На современном языке в денар говых координатах с осямн з, у, направленными соответственно вдоль ОС н ОА, урввненне квадрату 2 трнсы имеет вкд р = я!к —. Очевидно, что з-+ — й прн р-+ О.
2й я 2 3. Математика Греции. "Начала" Евклида. Творчества Архимеда 1. Наибольший расцвет греческой математики связан с нменами Евкпнда, Архимеда н Аполлония. Этн успехи во многом были определены более ранними открытиями в математике Грецнн, о которых частично шла речь в предыдущем параграфе. Онн также связаны с работами Архнта (428 — 365 г. до н. э.), Теэтета (ум. в 369 г. до н. э.) я Евдокса (406 — 355 г. до н. э.).
Архиту приписывают большую часть математнческнх результатов школы Пифагора. Он доказал, в частности, иррациональность чнсел вида ь/п(п+ 1). Два других математика были связаны с Академией Платона, Теэтет дал первую классификацию иррациональностей.
Евдокс разработал теорию отношений н пропорций. Это строгая геометрнческая теорня, изложенная в аксноматнческой форме я прнменнмая как к соизмеримым, так н несоизмеримым величинам. Она оказалась предшественницей современной теории нррацнональных чисел, разработанной в Х1Х веке Дедекнндом н Вейер- штрассом. Евдоксу приписывают изобретение метода нсчерпываняя, который стал стандартным методом доказательства прн пычнсленнн площадей фигур н объемов тел с криволинейными ~ раннцамн н содержал уже элементы предельного перехода.
Магематнческая сущность метода заключаетск в следующем. Пусть необходимо найти площадь В сегмента, образованного некоторой кривой Г н хорщ>й ас (рнс. 3.1). В сегмент последовательно впнсываютсн фигуры Аг, Аг, Аз, .... Например, в качестве А! берется треугольннк аЬс, Аг получается добавлением к А! треугольников а!(Ь н Ьес. Важно, что площадн фнтур Аг, Аг, б( Аз, ...
монотонно озрастают н г могут быть определены. Фигуры Аь выбирают так, чтобы разность  — Аг, > О могла быть сделана сколь угодно малой прн больших П С /с. Далее нз каких-либо соображе- ннй находится предел А послцдоРис. 3.1 вательностн Аь я доказывается, что А=В. Доказательство ведется от противного. Пусть А ф В, тогда А>Вяля А<В. Если В>А,тогда — А>О Выберем )с такое, чтобы выполнялось  — А >  — Аа.
Но тогда Аь > А, что невозможно. Если А > В„то выберем Аь так, *!тобы выполнялось А — В > А — Аа. Но тогда Аа > В, что также невозможно. Значит А = В. Таким образом доказывается единственность предела. Вопрос о существованнн предела этот метод ае решает.
Надо как-то заранее знать В, может быть, с помощью нестрогих рассуждений. Мы вернемся к этому вопросу прн знакомстве с работами Архимеда. 2. Несколько слов об эпохе, в которой творили великие греческне математики. В 334 г. до н. э. Александр Македонский начал свои завоевания с Персии. Им были покорена! государства, расположенные на территории современных стран Ближнего Востока, включая Египет н Ирак, а также Афганистан, Пакистан, Средняя Азия, часть Индии до реки Инд. Огромная империи, пс имеющая внутренних связей, после смерти в 323 г.
до н. э. Александра в Вавилоне была разделена между его полководца- ми. Со временем возникли три империи: Египет, Месопотамия и Македония. Следствием походов Александра явилось проникновение греческой цивилизации на Восток. Тесное соприкосновение греческой культуры и науки с Востоком оказалось очень плодотворным. Фактически почти все крупные достижения так называемой '"греческой математики" были получены в сравнительно короткий срок с 350 до 200 г. до н. эч от Евдокса до Аполлония. Наибольшего расцвета эллинистическая математика достигла в Египте в период царствования династии Птолемеев в 330-305 г.
до н. э., основанной Птолемеем 1 — другом н полководцем Александра Македонского. Центром математики была Александрия, построенная в 332 году до н. э. и названная в честь великого полководца. Здесь при Птолемеях был создан учебно-научный центр Музейон (прибежище муз), нли Музей, с огромной библиотекой рукописей научного характера, включающей около полумиллиона единиц. По-видимому„там появились первые профессиональные ученые, получающие за свою работу вознаграждение.
Они умножали научное и литературное наследие греков и добились выдающихсн успехов. В Музее в разное время работали Евклид, Архимед и Аполлоний. Влияние Музея на развитие науки продолжалось около 7 веков. Оно начало падать со времени образовании Римской империи, вследствие завоевательной политики Рима. В 30 г. до н. э.
был покорен Египет, в 146 г.— Греция. Эти страны были низведены до положения колоний, управляемых римскими администраторами. 3. Одним из первых крупных ученых, связанных с Александрией, был Евклид, живший около 300 г. до н. э, Ничего, кроме научных трудов, о его биографии не известно. Евклид — один из наиболее влиятельных математиков всех времен. Наиболее знаменитое его произведение — "Начала".
Это первое значительное произведение, дошедшее до нас полностью. В истории Западного мира это, по-вндимому, второе после Библии произведение по числу изданий. После изобретения книгопечатания (в Европе в ХЧ веке) оно издавалось более 1000 раз. Большая часть школьной геометрии заимствована из "Начал".
Логическое построение "Начал" повлияло на научное мышление больше, чем какое-либо иное произведение. Оно основываетсн на строго логическом выводе теорем нз системы определений, постулатов и аксиом. "Начала" состоят из 13 книг. В первых четырех книгах рассматривается геометрия на плоскости. В 5-ой и 6-ой книгах изложена теория отношений Евдокса н ее применение к подобию треугольников. Книги 7 — 9 посвящены теории чисел (теория делимости, алгоритм Евклида, теория простых чисел).
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
