История и методология прикладной математики. Русанов, Росляков (2004) (1185895), страница 11
Текст из файла (страница 11)
Помимо Декарта и Ферма вопросы аналитической геометрии р*:зрабатываэись в ХЧП веке и другими математиками, в частности, английским ученым Валлисом. Однако существенное развитие аналитическая геометрия получила лишь в работе Ньюи на "Перечисление кривых 3-го порядка", вышедшей в 1704 голу, где введена современная классификация кривых по порядку уравнения.
В ХЧП1 веке француз Клеро распространил аналитическую геометрию на трехмерное пространство, а петербургский академик Леонард Эйлер придал ей облик, близкий к современному в сочинении "Введение в анализ". 3. Важнейшим достижением математики ХЧП века являет- ~ я разработка основ математического анализа, который к концу века получил название анализа бесконечно малых. Возникновение математического еагествознания, в частности, развитие такой ветви механики как динамика связано с введением в математику переменной величины и разработкой новых, инфините1имальных методов, основанных на понятии бесконечно малой величины.
Подобный подход восходит еще к Архимеду. В ХЧП веке многие крупные ученые проводили исследования, относящиеся к анализу бесконечно малых: Кеплер, Галилей, Кавалье- ри, Торричелли„Паскаль, Валлис, Ферма, Декарт, Барроу. Они подготовили основу, на которой в конце века Ньютон и Лейбниц создали независимо друг от друга дифференциальное и интегральное исчисление. Смысл бесконечно малой еще не был ясен в то время. Тогда под ней понимали не изменяющуюся неотрицательную величину, меныпую любой конечной величины и не равную тождественно нулю (актуально бесконечно малая) .
К пониманию бесконечно малой как переменной величины, которая в процессе своего изменения становится меньше любой конечной величины, математика придет значительно позже. Одной из первых работ в этом новом направлении была работа Кеплера 1615 года "Новая стереомегрия винных бочек, преимущественно австрийских, как имеющих самую выгодную форму и исключительно удобное употребление для ннх кубической линейки с присоединением дополнения к архимедовой стереометрии".
В этой работе Кеплер для вычисления объемов тел пользуется алгоритмом оперирования с бесконечно малыми, следуя Архимеду, однако не заботясь особенно о строгости доказателы:тв, свойственной Архимеду. Он исходит из того, что фигура или тело состоит из множества бесконечно малых частей. Так, круг состоит из бесконечно большого числа бесконечно малых секторов, которые можно считать равнобедренными треугольниками. Треугольники имеют одинаковую высоту — радиус круга„а сумма их оснований составляет окружность Точно также шар состоит из бесконечного множества пирамид с общей вершиной в центре.
Метод суммирования бесконечно малых Кеплер распространил на тела вращения. Например, в случае тора он проводит меридианальные плоскости. Образующиеся ломтики он заменяет цилиндриками с общим основанием и средней высотой. Сумма их объемов составляет объем тора и равна объему цилиндра с высотой равной длине окружности, описываемой центром круга.
В своем труде Кеплер вычислил объемы 87-ми новых тел вращения. Известный итальянский ученый Галилей, внесший значительный вклад в астрономию и механику, оказал большое влияние и на развитие математики. Будучи профессором университетов в Падуе и Пизе, он активно содействовал распространению а 1,„+г х" г1х = — а гл+ 1 о (7.1) Кавальери понимал логические труднск:ти, возникающие при составлении площади из отрезков, не имеющих ширины, а объема — из фигур, лишенных толщины. Еще Торичелли показал, ~то если суммировать отрезки, то из правила Кавальери следует, что высота любого треугольника делит его на две равнове- знкие части, Несмотря на логическую неясность и незавершенность теории неделимых, работа Кавальери послужила началом неслед ; ований многих видных математиков над проблемами анализа идей Архимеда, пропагандировал применение математики для изучения природы.
Изучая ряд задач механики о движении тел, ~е пришел к математическому описанию движения, к зависимоти меж,лу скоростью, ускорением и расстоянием, и, с полным нравом, считается предшественником Ньютона. Ученики Галима — Каввльери и Торричелли -- внесли свой вклад в разработку метода суммирования бесконечно малых. Бонавентура Кввальери (1598 — 1647), родом из весьма знатной итальянской семьи, возглавлял кафедру математики в Болона ком университете, будучи одновременно настоятелем монастыря. Большую известность получил его метод неделимых, разработанный в трудах "Геометрия, изложенная новым способом неделимых непрерывного" и "Шесть геометрических опытов", вышедших в свет соответственно в 1636 и 1647 годах. О попуеярности "Геометрии" свидетельствует тот факт, что к двухсотлетию ее опубликования в Милане был сооружен памятник Кавальери. Метод неделимых был изобретен Кавэльери для вычисления площадей плоских фигур и объемов тел.
Согласно этому методу фигуры состоят из параллельных отрезков прямых, а тела — из плоских фигур. Это и есть неделимые, их бесконечно много и они не имеют толщины. Идею Кавальери о неделимых мы находим еще у Архимеда в работе "Послание к Эратосфену", которая была обнаружена лишь в 1909 году, так что Кавальери о ней не ~пал. В "Геометрии" Кавальери на основе теории неделимых еришел к следующему результату: бесконечно малых. Дополнительным импульсом послужила публикация Декартом своего труда по аналитической геометрии.
Формула (7.1) была получена рядом математихов. При этом Торричелли, Барроу н Гюйгенс пользовались, в основном, геометрическими построениями, а Ферма, Паскаль, Валлис — новой алгеброй, разрабатываемой Декартом и Ферма. Метод неделимых совершенствуегся — вместо суммы неделимых рассматриваются суммы элементарных площадок, образованные бесконечно близкими, одинаково отстоящими друг от друга ординатами, т.
е. суммы вида 2 уй х. Ферма ввел неравномерное разбиение абсциссы. Он же дохазал формулу (7.1) для рациональных показателей гп. Наиболее отчетливо понятие определенного интеграла выявляется у французского ученою Блеза Паскаля (1623 — 1662). Он был известным математиком, физиком и философом. Последние годы жизни провел в монастыре, не бросая, однако, занятий наукой и философией. В работе "Общий трактат о рулетте", посвященной исследованию неалгебраической кривой циклоиды (рулетты), Паскаль при вычислении площади использует зависимую и независимую переменные и суммирует значения функции, умноженные на приращения независимой переменной. В этой же работе появляется "треугольник Паскаля" — прообраз дифференциального треугольника (бх, бр, дэ) Лейбница.
Паскаль получил также значительные результаты в области проективной геометрии, теории вероятностей, теории чисел, алгебре. Другая ветвь анализа бесконечно малых получила развитие в связи с задачей о касательной и определением наибольших и нанменыпих значений функции. В решении этих задач пионером был Ферма. В наших обозначениях он получил условие экстремума 1'(х) = 0 и выражение для подкасательной Я, = 1(х)/7"'(х) . Аналогичным путем, используя "треугольник Паскаля", находит касательную к кривой и Барроу.
Торричелли, а позже и Барроу для определения касательной использовали кинематические соображения, раскладывая скорость движения материальной точки по траектории на горизонтальную и вертикальную составляющие. Впервые на связь двух основных задач анализа бесконечно малых — построением касательной (дифференцирование)и ква- — 54— ~ратурами (интегрирование) указал в 1670 году в ' Лекциях по оптике и геометрии" Исаак Барроу (1630-1677) — профессор математики Кембриджского университета, у которого учился Ньюгоп.
Наиболее полно развитие анализа в рассматриваемый период представлено в работах Валлиса "Арифметика бесконечного" (1655) и Гюйгенса "Маятниковые часы" (1673). Джон Валлис (1616-1703) — профессор геометрии Оксфордского университега, член-учредитель Лондонского королевского общества, учитель Барроу. В своих игхледованиях он широко пользовался бесконечными рядами и произведениями. В частности, он получил для числа х разложение я 2.2.4-4.6.6 8.8....
2 1.3 3.5-5.7.7 9.... Валлис представил отношения л-х степеней неделимых Кавальери как отношения сумм чисел: 0ь+ 1ь+ 2" + ° - + пь пь+пь+пь+ .+пь при неограниченно возрастающем п и получил формулу (7.1). Христиан Гюйгенс (1629 — 1695) .— голландский математик, шен первого состава Французской акцдемии наук. Он был выдающимся физиком и астрономом, социал волновую теорию света, обнаружил кольцо Сатурна, Гюйгенсу принадлежат значительные результаты и анализе и теории вероятностей.
В упомянутой книге он не только разработал теорию маятниковых часов, которые решили важнейшую проблему определения географической лолготы, но и исследовал эволюты и эвольвенты плоской кривой. Усилиями многих математиков к 70-м годам ХЧП столетия были заложены основы анализа бесконечно малых. На этом фундаменте Ньютон и Лейбниц построили теорию интегрального и дифференциального исчисления. Работая независимо друг ~ т друга, они примерно в одно время создали теорию интегрирования и дифференцирования и установили, что эти процессьэ являются взаимно обратными. Возникшая в свое время дискусия о приоритете открытия постепенно заглохла. Оба выдающихся ученых вошли в историю науки как создатели интегрального и дифференциального исчисления. 55— 4.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
