История и методология прикладной математики. Русанов, Росляков (2004) (1185895), страница 12
Текст из файла (страница 12)
Исаак Ньютон (1642 — 1727) родился близ Кембриджа в семье землевладельца. Учился в Кембриджском университете у Барроу. В 1669 году, всего лишь через год после получения Ньютоном звания магистра, Барроу передал ему свою кафедру. В университете Ньютон работал до 1696 года, после чего поступил на службу в ведомство монетного двора вначале в качестве инспектора, а затем директора. В 1672 году он «сэбирается членом Лондонского королевского общества, а с 1703 года становится его президентом. Ньютон пользовался в научных кругах исключительным авторитетом как автор фундаментального научного труда "Математические принципы натуральной философии" „вышедшей в свет в 1687 году.
Ньютон получил исключительной важности результаты в механике, физике, астрономии и математике. Он сформулировал три основных закона механики, известные всем еще со школьной скамьи. Установил фундаментальный закон всемирного тяготения, который гласит: две материальные точки притягиваются с силой, пропорциональной произведению их масс и обратно пропорционально квадрату расстояния между ними, т е. 1г Сгл«глг гг где С вЂ” гравитационная постоянная. Строго математически из закона тяготения вывел законы движения планет вокруг Солнца, установленные Кеплером опытным путем. Дал объяснение приливов, заложил основы теории движения Луны, решил задачу двух тел для сфер.
В физике он получил основополагающие результаты о распространении световых волн, исследовал интерференцию и дифракцию, открыл дисперсию света и хро. матическую аберрацию. К интегральному и дифференциальному исчислению Ньютон пришел при разработке математического аппарата механики, который учитывает движение и связанные с ним понятия скорости и ускорения.
На Ньютона оказало влияние сочинение Валлиса "Арифметика бесконечных". Изучая его, Ньютон обобщил понятие бинома и пришел к биномиальному ряду, который расширил область применимости его теории дифференцирования. Свой метод Ньютон назвал методом флюксий. Он был разработан в 1665 — 1666 годах, а опубликован лишь в 1736 году уже после смерти Ньютона в трактате "Метод флюксий и бесконечпых рядов". Кстати, в течение этих же двух лег, которые Ньюгон провел в деревне в связи эпидемией чумы в Кембридже, он получил основные результаты по теории тяготения и о сложном , остапе света.
Они тоже были опубликованы с большой задержкой в 1687 году. Ньютон ве спешил публиковать свои открытия. С большим опозданием вышла в свет и "Всеобщая арифметика", содержащая важные результаты по алгебре. Ньютон вводит переменные величины — флюенты (текущие), ~елисящие от времени, и обозначает их латинскими буквами и, х, у. Скорости их изменения обозначаются теми же буквами, но с кочками: и, х, у; это производные по времени от флюент— флюксии. Бесконечно малые Ньютон называет моментами. Момент времени обозначается о, момент флюенты у есть уо— произведение флюксии на момент времени (т.
е. дифференциал флюенты) . Первая основная задача, которую формулирует Ньютон, заключается в определении соотношения между флюксиями по «аданному соотношению между флюентами. Это прямая зада:«н теории флюксий — задача дифференцирования и получения дифференциального уравнения. Ньютон демонстрирует ее решение на примере соотношения х — ахг + аху — у = О. з г з (7.2) Подставим сюда х+ хо и у+ уо вместо х, у, тогда получаем х + Зх хо+ Зххохо+ (хо) — ах — 2аххо — ахахо+ аху з г .. з г +ахуо+аухо+ахоуо — у — Зу уо — Зууоуо — (уо) =О. з г- Члены, не содержащие флэжсий, взаимно уничтожаются со«ласно (7.2). Оставшиеся члены разделим на о и отбросим все п«ены, содержащие о, как бесконечно малые.
В результате поэучаем Зх х — 2ахх+ пух+ аху — Зугу = О. г. Позднее Ньютон ввел вторую флюксию х, т. е. флюксию от флюксии, и флюксии более высоких порядков. Если в ссютношееии, связывающем флюенты встречаются дроби или радикалы, Ньютон действует по правилам дифференцирования сложной — 57— функции. С помощью рядов он распространяет свою теорию на трансцендентные функции. Исчисление флюксий 11ьютон применяет также для нахождения наибольших и наименьших значений функций, построения касательной к кривой, определения кривизны кривой. Все зти задачи методом флюксий решакггся без труда. Вта рая основная зццача заключается в определении соотношения между флюентами по заданному соотношению межэу флюксиями.
Это обратная задача — задача интегрирования дифференциального уравнения, в частности, нахождение первообразной. В общем случае зта задача представляет бблыпие трудности. Постепенна сформировалась самостоятельная математическая дисциплина — теория обыкновенных дифференциальных уравнений. Нькпон находил решение отдельных дифференциальных уравнений, как правило, с помощью бесконечных рядов. Задачу нахождения перв»юбразной Нькпон трактует геометрически как задачу квццратуры кривой. Обозначим х(х) переменную площадь фигуры, ограниченной кривой р = у(х), ординатой х = а, текущей ординатой х и отрезком оси х Ньютон пользуется следующим утверждением: производная от г(х) по конечной абсциссе равна конечной ординате у = у(х). Иначе, переменная»»лощадь х(х) является первообразной для данной функпии р = ~(х) . Это утверждение обычно называют теоремой Н ьютона-Лейбница, хотя оно было получено ранее Барроу.
И спользуя зто утверждение, Ньютон решает задачу определения кривой, площадь под которой задается с помощью конечного уравнения. Он исходит из некоторого уравнения между х и г, находит уравнение между х и й =- р и отсюда определяет кривую. Он формулирует и решает с помощью подстановок и более сложную задачу определения кривой, площадь под которой связана с площадью под некоторой данной кривой конечным уравнением. С помощью таких приемов Ньютон получил большое число квадратур.
Н ьютон пытался обосновать теорию флюксий. В своем основном труде '"Математические начала натуральной философии" он строит своеобразную теорию пределов, которая называется "Метсц первых и последних отношений". Пользоваться этой теорией было трудно; Ньютон, по-видимому, не был ей удовлетво- рен. По крайней мере, в "Началах" нет никаких упоминаний о » .ории флюксий, хотя по утверждению самого Ньютона многие »»сзультаты, вошедшие в эту книгу, получены с помощью мето»в флюксий. Создавая теорию первых и последних отношений, 1 Ь ютон подошел к современному пониманию бесконечно малой. Он пишет: "Если в последующем для простоты речи я буду говор»ггь о величинах весьма малых или исчезающих или зарождающихся, то не следует под этим разуметь количеств определенной величины, но надо их рассматривать как уменьшающиеся беспредельно".
6. Другим путем при создании интегрального и дифференци;»льного исчисления пошел Лейбниц. Готфрид Вильгельм Лейбниц (1646 — 1716) родился в Лейпциге в семье профессора универ< итета. Учился в Лейпцигском и Йенском университетах. Многие годы находился на службе при дворе ганноверских герцогов. » 1о делам службы посетил ряд европейских стран, где встречалгя с видными учеными. Был членом Лоццонского королевского общества и Парижской академии наук. Основал Берлинскую :»кадемию и научный журнал в Лейпциге. Оказал заметное влияние на развитие науки в России. Он был знаком с Петром 1, 1бсуждан с ним проекты организации Академии наук в Петербурге, планы развития науки в России.
Лейбниц был видным дипломатом, политиком, философом и ученым в области'физики, права, литературы и языкознания и, конечно, крупнейшим математиком. Идеи дифференциального исчисления изложены в маленькой журнальной заметке 1684 года "Новый метод для максимумов и минимумов, а также для касательных, для которого не являютгя препятствием дробные и иррациональные количества, и особый вид исчисления для этого". Он мыслил в терминах харак»еристического треугольника (ах, »1р, »1э), ранее встречавшегося в работах Паскаля и Барроу. Дифференциал аргумента 6 х Лейбниц понимает как бесконечно малую разность.
Дифференциал функции»1 р определяется из соотношения бр = — »1 х, где Р Я» »У» — подкасательная. В статье даны правила дифференцирования суммы, произведения, частного, степени. Получено условие 1у =- О для экстремальных значений функции и»1 р =- О для г »очек перегиба.
Через два года вышла статья Лейбница "О глубокой геометрии", в которой были даны правила интегрирования. Следуя Паскалю и Кавальери, он представлял интеграл как сумму "всех" ординат, которых бесконечно много. Он вводит для интеграла современный символ ) дх. Для трансцендентных функций использует ряды. Получает формулу многократного дифференцирования произведения функций, которая носит его имя.
Символика и термины Лейбница оказались хорошо продуманными, удобными, и многие из них дошли до наших дней. Лейбниц ввел термины: дифференциал, дифференциальное и интегральное исчисление, дифференциальное уравнение, функция, координаты и др. С появлением двух статей Лейбница о дифференцировании и интегрировании начался исключительно плодотворный период для математики. Начиная с 1687 года с Лейбницем стали активно сотрудничать братья Якоб и Иоганн Бернулли. До конца века они втроем разработали значительную часть современного интегрального и дифференциального исчисления.
В 1696 году появился первый учебник по дифференциальному исчислению ученика Иоганна Бернулли маркиза Лопиталя "Анализ бесконечно малых", как результат обработки лекций своего учителя. Здесь уже встречается известное правило Лопиталя раскрьггия О неопределенности типа — Это правило сообщил Лопиталю в 0 одном нз писем Бернулли. Проблема обоснования анализа бесконечно малых не была решена и Лейбницем, так же как и Ньютоном. Этим занимались многие видные ученые, такие как Даламбер и Лагранж. Окончательное решение пришло, когда в Х1Х веке была создана строгая теория пределов, в основном трудами Коши.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
