История и методология прикладной математики. Русанов, Росляков (2004) (1185895), страница 14
Текст из файла (страница 14)
Считалось, что функция бесконечно дифференцируема и разлагается в степенной ряд. Точка зрения Эйлера со временем претерпела изменения. В споре Эйлера с Даламбером о трактовке полученного ими решения задачи о колебании струны, Эйлер — 65— уже допускал "смешанные" функции, которые на разных участка задаются различными аналитическими выражениями, и даже функции, заданные графически.
Эйлер широко пользовался аппаратом степенных рядов для исследования функций. Он первым ввел показательную р = а и логарифмическую р = — 1об я функции. Он ввел функции многих переменных и рассмотрел нх дифференцирование. Доказал теорему о независимости значения частной производной от порядка дифференцирования. Доказал, что для однородной функции и(хм хе,..., х,э) степени р справедливо соотношение ди ди ди я1+ ха+' + — х =ри дх~ ' да д Эта теорема носит имя Эйлера. Он также установил, что усло- дР д1з вне — =- — — — необходимо и достаточно для того, чтобы выдр дя ражение Р Ь х + Я б у было полным дифференциалом некоторой функции.
Этот результат независимо был получен Клеро. Начиная с Лейбница и И. Бернулли в анализе применяются комплексные числа. В 1702 году Лейбниц в связи с рассмотрением интегралов от рациональных функций поставил вопрос о возможности разложения многочлена произвольной степени с действительными коэффициентами на множители первой и второй степени и дал на него отрицательный ответ. Над этой проблемой много работали Даламбер и Николай Бернулли (племянник Я. и И.
Бернулли). Даламбер пытался доказать возможность такого разложения, но безуспешно. Н. Бернулли придерживался точки зрения Лейбница и пытался построить примеры, подтверждающие ее. Эйлер в письме к Н. Бернулли сформулировал теорему о рэз:- ложимости многочлена, а в своем труде "Введение в анализ бесконечно малых" дал доказательство для многочленов четвертой степени и некоторых специальных многочленов высоких степеней. Эйлер и Н. Бернулли пришли к мысли, что комплексные корни многочлена всегда встречаются парами как комплексно сопряженные, н их произведение дает действительный много- член второй степени. Однако доказательства этого факта дано не было.
Правильные идеи, высказанные Даламбером и Эйлером, были позднее использованы Гауссом (1799) при доказательстве основной теоремы алгебры. Эйлер и другие математики, рассматривая функцию как аналитическое выражение, свободно пользовались степенными разложениями, распространяя их и на комплексные переменные. Их усилиями, и в первую очередь Эйлера, к середине ХУ!П века была разработана теория элементарных функций комплексного переменного. Английский математик Муавр получил в комплексной форме связь ия у и сов п|р, а Эйлер придал ей современный вид (освар + 1нш~~) = сгятур х131птмр. Отсюда он получил знаменитые формулы — формулы Эйлера: еья+е ир .
еьи — е е'"' = сов~о+!вшу, ожу = 2 зину = 2. 1 Лаг анж назвал их "одним из самых прекрасных аналитических р открытий, сделанных в этом веке". Эйлер получил также связь меж,лу тригонометрическими и логарифмическими функциями, например, 1+|,р агсФя<р = —, 1и —. 2! 1 — 1~р Эта связь в неявном вице была установлена еще в начале века И. Бернулли. Даламбер и Эйлер показали, что функция комплексного переменного всегда представима в виде и+ 1е „и для ее аналитичности достаточно выполнения условий Позднее Эйлер доказал и необходимость этих условий. В литературе атуре они больше извеогны как условия Коши-Римана, но часто их называют и условиями Даламбера-Эйлера, что более справедливо, поскольку Даламбер и Эйлер пришли к ннм раньше.
5. Первым полным руководством по интегральному исчислению явилось "Интегральное исчисление" Эйлера, вышедшее в 1768 — 1770 гадах в трех томах. Еще один дополнительный том — 67— появился в 1794 году. Здесь собран огромный материал по инте. грированию функций, решению обыкновенных дифференциальных уравнений, первые результаты по уравнениям в частных производных и вариационному исчислению. В этом труде соб. отвеина интегральное исчисление дано уже в современном виде. Академик Н. Н. Лузин в 1933 году в книге "Эйлер" пишег: ..
математика в течение 150 лет после смерти Эйлера не могла пробить бреши в том кольце интеграций, которое было выкопано Эйлером и, таким образом, добавить новые квадратуры". Заметим, что термин "определенный интеграл" ввел Лаплас, ь а символ ) у (х) «1 х появился лишь в 1819 году в работах Фурье. О В 1770 году Эйлер ввел в математику двойное интегрирование, а через два года Лагранж — тройные интегралы. В 1773 году Клеро обобщил операцию интегрирования, рассмотрев криволинейные интегралы ( Рб т+ «л««1 р. С именем Эйлера связано создание первых специальных функций. Это бета-функция илн эйлеров интеграл 1-го реда В(а, Ь) = / та «(1 — х)ь ««1х, (а, Ь > О) о и гамма-функция или эйлеров интеграл 2-го рода ОР Г(а) = ~е х ~«1х, (а>0).
о Так как Г(а+ 1) = аГ(а) и Г(1) = 1, то полагая а = и, где и -- целое положительное число, Эйлер получает обобщенное определение факториала п! = Г(и + 1) = / е * х" й х. о К специальным интегралам относится и интегральный логарифм 1«(х) = / — ~ ,/ ~ 1 о о~ирако используемый в аналитической теории чисел. Инте- ~ ральный логарифм связан с интегральной показательной функ««иеи 1«(х) = Е«(1пх), 2 з /' еь«11 х х х Е1( ) = 1 — = С+ 1п Ц+ — „+ 2 2, + 3 Уго разложение получил Эйлер, здесь С вЂ” постоянная Эйлера (С ш 0,5772). 6. Задача определения соотношения между флюентами по заданному соотношению «иенс««у флюксиями, сформулированная Ньютоном, есть задача интегрирования обыкновенного дифференциального уравнения. Термин "дифференциальное уравнелее" ввел Лейбниц.
Для решения дифференциальных уравнееей Пыотон, а часто и Лейбниц использовали бесконечные ряды. Начиная с братьев Бернулли формируется тенденция получэ:гь решение в конечном виде с помощью элементарных функций. В создание теории обыкновенных дифференциальных уравоеяий в ХЧП1 веке большой вклад внесли также Эйлер„Клеро, Даламбер, Лагранж. Эта теория приобрела прочную основу, когда в Х1Х веке Коши, а затем Пеано получили теоремы суще~твования (и единственности). В начале ХЧП!века ученые сконцентрировали внимание на разработке методов решения классов уравнений, которые поставляло им естествознание.
Начинали с уравнений первого порядка, стремясь прежде всего разделить переменные. Еще в конце ХЪ"П века И. Бернулли применил мегод интегрирующего множителя. Дальнейшее развитие метод получил в работах Эйлера и Клеро, которые установили условия интегрируемости уравнекия М(х,р) дх+ 1у(х,у) «11« = О.
Нахождение интегрирующего множителя иногда оказывалось трудно осуществимым. Для нелинейных уравнений делались попытки заменой переменных свести их к линейным. Так, уравнение Бернулли (предооженное Я. Бернулли) Лейбниц и И. Бернулли свели к линейному подстановкой х = 1-а Итальянский ученый Риккати исследовал уравнение, названное его именем, — + ау = йх". Йр йх Риккати и Д.
Бернулли показали, что это уравнение при а = — 2 4й и о = — (Й вЂ” целое) интегрируется в элементарных 2й — 1 функциях. Французский математик Лиувилль в Х1Х веке показал, что только при этих значениях а (и а = О) решение уравнения Риккати выражается через элементарные функции. Эйлер обобщил уравнение Риккати, и, рассмотрев уравнение — ~ = Р(х)уз+ О(х)п+ Л(х), Йх обнаружил, используя ряды, что при наличии двух частных решений интегрирование этого уравнения сводится к квадратурам. Если известно одно частное решение и, то уравнение сводится к 1 линейному подстановкой у = и+ —.
Термины "частное решение" х и "общее решение " принадлежат Эйлеру. В 1743 году Эйлер разработал метод решении линейного однородного уравнения с постоянными коэффициентами произволь. ного порядка при помощи подстановки р = е~*. Он рассмотрел случаи кратных и комплексных корней характеристического уравнения. Показал, что общим решением уравнения иго порядка нвляется линейная комбинация и его частных решений. Даламбер в 1766 году установил, что общее решение неоднородного уравнения есть сумма общего решения однородного уравнения и частного решения неоднородного. Лагранж в это же время разработал метод вариации постоянных для неоднородного уравнения. С особыми решениями впервые столкнулся Тейлор в 1715 году, он же и ввел этот термин.
Особыми решениями занимались позднее Клеро, Даламбер и Эйлер. Наиболее глубокие исследования принадлежат Лагранжу, который предложил геометрическую интерпретацию особого решения как огибающую семейства частных интегральных кривых. — 70 Д п,а' — =а— И' дх (8.1) сравнение колебаний мембраны лзп пзп бап дР дФ дуз (8.2) и уравнение объемного расширения жидкости Уи дзп дгп Бзп ~~~г дхз дух дзз (8.3) Уравнения (8.2) — (8.3) получил Эйлер в 60-х годах.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
