Радушкевич Л.В. Курс статистической физики (1185139), страница 73
Текст из файла (страница 73)
термодинамика на основе квантовой теории Таблица 9 Медь 0,0390 0,0726 0,1155 0,32 14,51 17,50 20,20 27,7 2,35 2,39 2,42 2,47 Железо 0,152 0,288 0,325 0,522 32,0 38,1 42,0 46,9 1,67 1,73 1,64 1,71 Алюминий 0,066 0,162- 0,301 0,33 19,1 27,2 33,5 35,1 2,12 2,01 2,00 1,97 $ Б.
Статнотнна фотоннога газа в теории Бозе-Эйнштейна В первоначальной теории Планка рассматривается статистика излучения, однако вывод его основной формулы, приведенный ранее (стр. 294), не вполне безупречен, так как, допуская, с одной стороны, классические представления о природе света, Планк вводит гипотезу о квантах, чуждую классическому непрерывному распределению энергии. Теперь, когда мы достаточно ознакомились с методами квантовой статистики, полез. ждает этот вывод для многих веществ, причем не только для простых тел, но и для химических соединений (рис.
46), Эти результаты убедительно показывают близкое соответствие между данными опыта и следствиями из теории Дебая. Пользуясь представлениями Дебая о распределении собственных частот в твердом теле, удалось подробно описать целый ряд свойств кристаллов, рассматривая не только атомарныерешетки, но и решетки химических соединений. Оказалось возможным вывести основные термодинамические функции и уравнение состояния для твердых кристаллических тел. З 6. Статистика фотонного газа в теории Бозе — Эйнштейна н ш д'и Б ройе/ио» 'ез 392 Г л а в а Ий Статиетич. термодинамика на основе квантовой теории но дать последовательный статистический вывод законов излучения, рассматривая световой газ, состоящий из фотонов, находящихся в равновесии внутри полости, при постоянной температуре.
Фотоны, как микрообъекты, характеризуются свойствами, отличающими их от других частиц: электронов, нейтронов и т, д, Отметим прежде всего, что фотоны могут двигаться только со скоростью света с. Отсюда следует, что масса покоя те их всегда равна нулю, так как общее'выражение Эйнштейна для массы всякого тела: тна имеет смысл при о=с только тогда, когда в нем с самого начала положим то=О. Заметим, что фотоны даже в условиях равновесия внутри конечного объема могут легко исчезать и появляться за счет процессов поглощения и испускания стенками полости, т. е.
для системы, состоящей из фотонов («световой газ»), не соблюдается закон постоянства числа частици потому: ~ч.", Лг, = Лг эь сопз1. Как известно, энергия фотона квантована и равна: причем каждый фотон обладает импульсом р, который определяется соотношением, вытекающим из формулы де Бройля (стр. 304): то=в е Напомним еще, что поведение фотона описывается симметричными волновыми функциями (стр. 325) как для всех микрочастиц, обладающих целыми спинами. Отсюда следует, что фотон не подчиняется запрету Паули и ведет себя как типичная частица Бозе. Поэтому свойства статистической системы, состоящей из множества фотонов, описываются формулами статистики Бозе — Эйнштейна.
Говоря о волновых свойствах фотона, следует еще указать, что для данной частоты и направления распространения волн их необходимо охарактеризовать еще положением плоскости з б. Статистика фотонного газа в теории Бозе — Эйнштейна 393 поляризации. Отсюда видно, что одной н той же частоте и данному направлению движения волны могут соответствовать два фотона со взаимно перпендикулярными плоскостями поляризации. После этих предварительных замечаний о свойствах фотонов дадим последовательный вывод статистических формул для фотонного газа в условиях равновесия, применяя статистику Бозе — Эйнштейна.
Пусть фотоны находятся в полости объема У. Найдем плотность энергии с частотой от ч; до че+<Ьа т. е, количествоэнергии в единице объема полости, заполненного фотонами с частотой от чг до чг+й~ь Введем фазовое р-пространство импульсов, т. е. фазовое пространство одного фотона. Размер фазовой ячейки равен, очевидно, йз, так как фотон имеет три степени свободы. Размер элементарного фазового объема агг в пространстве импульсов пропорционален У и ширине интервала Нрь Так как в движении фотонов при тепловом равновесии нет преимушественных направлений, то величину элементарного объема сЯ мы можем найти, как ранее, в статистике обычного идеального газа (стр. 180), а именно, ввести объем шарового слоя между сферами радиусов р; и ре+Нрь Тогда, очевидно, 2= У сс 3 яре= У 4яр',йрг Так как Йнг А р; = — и Ыр,= — агчп то имеем: А ~И = АУ' сг ° — агчг Эту величину необходимо удвоить потому, что одной частоте и одному направлению могут соответствовать два фотона с взаимно перпендикулярными плоскостями поляризации.
Поэтому а'2=8пУ вЂ”,, чг~Ьг 2 Минимальная элементарная фазовая ячейка имеет объем й', тогда как в пространстве импульсов мы получили в области че 394 Глава 1тП. Статистик. термодинамика на основе квантовой теории до чв+евче объем ввел. Поэтому число ячеек в этой области, т. е.
число квантовых состояний, есть ев йес ета, = — = 8пУ вЂ” '. е= лев св (7,94) Применяем функцию заполнения ячеек в статистике Бозе— Эйнштейна (стр. 338) с учетом В=ИТ: 1 ев 1 вет В Она представляет собой число частиц на одну ячейку с энергией еь В таком случае число фотонов в элементе объема от ре до ре+стре находим, умножая число ячеек с(зе на число частиц 1 в каждой из них: 8п 22 нее 2 1 свив = с' ев еет 1 В Каждая частица обладает энергией за Поэтому энергия всех частиц в элементе фазового объема есть: 8а стев дев 2 221евме= в )' ,ет 1 В (7,95) Эта величина представляет собой энергию фотонов с частотой от чв до чв+ееч» в объеме )т нашей полости. Плотность энеР- гни в указанном интервале частот равна энергии на 1 см' полости. Она, очевидно, равна: е,! ° йв, 8а евее дев 2 Йкч — — ° 1 1т св ев 1 свт В Заметим, что этот же результат мы получим, применяя непосредственно формулу (7,17) (стр.
338). Нетрудно показать, что параметр вырождения В фотонного газа равен единице. Это следует непосредственно из отмеченного ранее свойства фотонов исчезать и появляться, благодаря чему к газу из фотонов неприменимо условие постоянства числа частиц (7,7), т. е. ~Л', чь сопз1. ! 4 б. Статистика фотонного газа в теории Бозе — Эйнштейна 395 е =Ьин находим согласно (7,96): Бит~с и,ссч = —. с с с' сЬо (7,96) вес е — 1 гг т, е. формулу Планка, которую мы ранее получили другим путем. Рассмотренный здесь вывод является ценным потому, что в нем последовательно применяется общий статистический метод расчета и учитываются основные физические свойства фотонов как микрочастиц. Рассматривая равновесие фотонного газа, мы можем найти его полную энергию Е, а также энтропию и другие термодинамические функции состояния.
Выражение для полной энергии мы получим, интегрируя соотношение (7,96) по всем частотам от О до оо: СО Е аяйр се ) вт о еег Эта формула нам знакома; мы видели ранее (стр. 294), что после преобразования и интегрирования мы получаем из нее закон Стефана — Больцмана. Энтропию единицы объема фотонного газа мы легко находим, пользуясь общим ее выражением (7,39). В этой формуле мы должны взять знак минус (статистика Бозе — Эйнштейна) и, кроме того, положить В=1. Тогда I З= ~ — й~а,!п~! — е гг!.
Отсюда следует, что полное число фотонов является неопределенным и условие (7,13) (стр. 337) теряет смысл, т. е, ЬУчьб. Этому требованию можно удовлетворить, если при введении неопределенных множителей Лагранжа положить 1п В=О в соотношении (7,!4'). Отсюда сейчас же следует, что В=1, т.
е. величина сс равна нулю. Таким образом, фотонный газ вообще является сильно вырожденным. Учитывая далее, что энергия фотона с частотой тс есть: 386 Глава Ид Статистич. термодинамика на основе квантовой теории Заменяя здесь ае на Ыае по формуле (7,94) и переходя от суммирования' к интегрированию, находим при у=! смо: ОЭ ве Е е8а т 5= — — й ~ — 1п11 — е вт) огстт.
=т 3 се о Интеграл в этом выражении находим по частям: во ве ~ — е!п~! — е вт)тгат ~ — е!п~1 — е ет)ог~ о 00 1 8а Л т'йо о ет 1 1' — — — Е, 3 ат так как при подстановке пределов интегрирования первое сла- гаемое обращается в нуль. Поэтому Наконец, свободная энергия фотонного газа вычисляется как ,обычно: ф=Е ''~=Е з Е= з Е. 5 е. Прнмвнвнив втатнвтнкн Фврми-Дирака к злвктрвнам в мвталлв.
Твплввмкввть мвталлвв Для объяснения высокой электропроводности и весьма хоро. шей теплопроводности металлов уже давно было выдвинуто представление о так называемом «электронном газе», содержащемся в металлических телах. Предполагалось, что во всех металлах имеется множество свободных электронов, которые движутся в межатомных промежутках и обусловливают электриче.ский ток, а также передачу тепла в металле.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
