Радушкевич Л.В. Курс статистической физики (1185139), страница 76
Текст из файла (страница 76)
в. Иалушааевич Ограничиваясь для обычных температур одним членом ряда, так как остальные члены малы, преобразуем выражение (7,106), исключая Е, с помощью равенства (7,103). Тогда при М=Мэ имеем: 406 Глава тП. Статистик. термодинамика на основе квантовой теории не позволяет дать объяснения, почему теплоемкость должна обращаться в нуль при абсолютном нуле, и теорема Нернста должна была бы рассматриваться как эмпирическое положение, Теперь мы видим, что электронный газ является полностью вырожденным при абсолютном нуле, откуда следует, что его теплоемкость в пределе должна быть равной нулю.
Остальные требования теоремы Нернста также следуют из представления о поведении электронного газа при Т=О. Так, мы видели, что в этих условиях энергия электронов постоянна и не равна нулю; можно показать также, что газ обладает некоторой нулевой энтропией. Уравнение состояния электронного газа легко может быть получено с помощью соотношения (7,60), куда мы можем подставить выражение (7,!05) для полной энергии. Находим: () 1) 1 (7,108) Это выражение легко преобразовать, вводя так называемое давление при абсолютном нуле ре. Имеем: р= — +[1+ — 12 пт( ) — ...1.
(7,108') Очевидно, при Т=О давление электронного газа не равно нулю, что становится понятным, если мы учтем, что при абсолютном нуле электроны находятся в движении. Тогда Ее Р = 3 'т' (7,109) ="11+4"'(Е)'- 1 Вводя, наконец, значение энергии Ферми из (7,99), приводим последнее соотношение к виду: Заменяя Ее его значением нз формулы (7,103), находим из выражения (7,109): 2 ттт Ро= б т.т Ро.
э 7. Применение статистики Ферми — дирака к электронам в металле 407 откуда следует, что ро)лэ = сова!. (7,110) 27е Формула (7,!10) является уравнением состояния электронного газа при абсолютном нуле. Мы видим, что нулевое давление изменяется обратно пропорционально объему в степени э/э прн постоянном числе электронов У. Мы видим, что уравнение состояния (7,110) совпадает с уравнением адиабаты обычного идеального газа. Заметим, что давление электронного газа в металле весьма велико. Расчеты по формуле (7,!08') показывают, что оно составляет значение около !Ол или 10э агм. Это давление при обычной температуре уравновешивается значительными силами притяжения электронов к атомам металла.
Большая величина давления связана с огромной концентрацией электронов в металлах. Кроме того, следует отметить, что скорости электронов в металле весьма велики. Рассматривая электроны как частицы газа, обладающие некоторой кинетической энергией, можно вычислить максимальную скорость нх при Т=О по уравнению (7,99). Тогда, например, для серебра находим и„,„,= 1,39 . 10э см/сек; эта 'величина в десятки тысяч раз превосходит среднюю скорость молекул обычных газов. МАТЕМАТИЧЕСКИЕ ПРИЛОЖЕНИЯ Приложение 1 Вывел фврн)улы Стнрллнга Хотя Ьх является величиной конечной, но оно весьма мало по сравнению с х, которое по условию весьма велико.
Поэтому отношение приращений можно заменить производной, и тогда формула (1,1) примет вид: и'(1их!) =1и х. Интегрируем это уравнение: 1пх! =) !пх!1х=х!их — х, 1 ег(1п х1) — )и хегх! или /х!х !их(=х(1пх — 1)=х(!пх — 1пе)=!п ! — ), (е) откуда окончательно: х)~( — ) . (1, 2) Это выражение представляет собой формулу Стирлинга для больших х (более чем 1О!и). Если х не очень велико, то при разложении в ряд получается другое выражение, которое мало отличается от предыдущего: ! х! — у'2ях ( — ) =- у'2яе( — ) 1 так как во всяком случае х ) 2 и корень перед скобкой представляет собой небольшое число.
Вывод последней формулы дается в курсах высшей математики, Рассмотрим логарифм факториала большого числа х и да~ дим х приращение ох=1. Тогда отношение приращений равно: Ь (!и х!) !и х! — 1и (х — 1) ! — 1п х. (1, 1) Математические пРиложения Приложение 2 Интвгралы Пуавввна Найдем значение интеграла: СО ,/, = ~ Е- елс С2Х. о Величина определенного интеграла не зависит от перемен. ных интегрирования.
Поэтому, взяв второй интеграл: СО / ~ Е-ае' Осу о мы получим то же значение. Используя известное свойство про. изведения интегралов, напишем: СО СО А= ~ ~ е-'< *+ел Асегу. о о хе+уе=г'; йхс1у=гйгйр. Так как х и у изменяются от О до оо, то интегрирование ве. л дем по г от О до оо и по ср от О до —. Имеем 2' СО 'T СО А= Г Г е-'"гаг ьр=— " 1 е-"* гсег. 2,/ о о Этот интеграл легко вычисляем подстановкой х= — аге, Тогда Г-" 1 е-'" ° г дг = —.
2а ' С (11, 1) Итак и л' и е1= — или / = — ~~ —. 4а 2е' а' Здесь переменные х и- у можно рассматривать как декартовы координаты на плоскости. Перейдем к полярным координатам, применяя известные формулы перехода: 410 Математические ариложения Следовательно, СО / 2 1/ а' о (11, 2) Пользуясь этим выражением первого интеграла Пуассона, находим дифференцированием Хе по-параметру а последовательно другие интегралы Пуассона с нечетными индексами.
Значения их приводим без вывода: СО ./ = ) Е-е Х'дХ= — 1т/ —. 3 ' — 4 ~ ав1 о ОЭ .Уо= ) е ~хеНх= — 1/ —, и т. Д. 3-/ я а' о Вообще при тп нечетном: 1-3 ... (2А — 1) „ / я 'ет ~ е 'х ссх,е е 4/ ато ~ 1 о (й=О, 1, 2, 3...). Интегралы Пуассона с четными индексами находятся проще. Первый из этих интегралов представляет собой промежуточное выражение (11,1), которое нам встречалось: У = ~ е-'"' ° хс(х = —. 1 2а ' о (11, 1') у = ) е- ' ° хоЫх= —. 1 2а' ' о (11, 3) Поступая с этим интегралом аналогичным образом, находим следующий интеграл Уо и т.
д. Вообще при еп четном: / ~~ а-ек*хоо+~ сех а! м 2а о-~-1 (А=О, 1, 2, 3, ...). Из этого интеграла дифференцированием обеих частей по пара. метру находим следующий интеграл: 411 Математические лоиложенил Приложение 3 Иитвграяы, ввтрача!вщивая в фармулак квантовая втатистики В формулах квантовой статистики встречаются интегралы общего вида: к (П1, 1) о — ек~! в Здесь т)0 и может быть как дробным, так и целым; кон.
станта В)0. Написанные интегралы вычисляются с помощью рядов, получаемых простым делением дробей. В частности, прн В = 1 имеем: е-к й е-те+ е-ох~ — е-. ~ ~), е-<л+ак (1П 3) 1 ек ~! л=о или при ВФ1: Ве к чч Вл+ е-(л+т!к — ек~! л О (П1, 4) Рассмотрим определенные интегралы типа (111,2) при зна- 1 3 чениях т,= — и то= —. Им соответствуют интегралы В(В) и 6(В), встречающиеся в основном тексте (стр. 355 и 356): со 1 2 ~ х ах о В сл 4 ~ ххйх Зг и о при конечном верхнем пределе х, а также определенные интегралы аналогичного вида, когда верхний предел равен бесконечности: у хл' ах (Ш, 2) о — ек х 1 в 412 Математические лрипоаеенип ОО о Входящие здесь интегралы приводятся к интегралу Пуассона типа кз = ) у'е-'е* (ту = — 1/ —, о путем подстановки х=уз в каждый член суммы интегралов Ус, т.
е. имеем СО е, 1 Гп х'е- (зх=2) узе-е'((у= — 1( —, 2 У и вообще СО СО хзе-(и+2)к((х 2 ) у2е-(и+2)О~Ду г, 1 / и 2 у (и+2)з о о Следовательно, СО з1 т"= ~ В+~~)~~Вп+' ° (п+2) '~. п=о Таким образом, СО з Р (В) = В + ~~'„', В(п+2) (и+ 2) п=о (Ш, 5) з з У~ = В Г хо е-к ((х — Ч В + ° ~ х 2 . е-(и+2) к (зтх.
+ псе и О о Путем аналогичной подстановки х=уз, как ранее, эти интегралы приводятся к интегралу Пуассона типа СО из= ~ узе-аз*а(у= — 1 зги'' о Оба интеграла вычисляются с помощью (П1,4) и получаемых рядов из известных интегралов Пуассона (приложение 2). Имеем СО 1 ОО СО 1 1) й(=В~ х е "О(хТ '~~Вп+2 ° ~' х е (и+" Нх, 413 Математические приложения Таким путем находим: з ОΠ— -3 хзе-«с(х 2 Г узе-и ззу )/я„ 4 о о или вообще з СО х'е- с(х=2~ уча-ае'ату= — 1~ —,, (Ш,6) 4Г аз' гдеа=1,2,3...
Следовательно, СО 0(В)=В Т ~ В'+з ° (и+2) н=о (1П, 7) Из теории рядов известно, что Х(. 1 1 1 1 (л+ 1)з 1з + 3з + Зз я=о лз 6 ' поэтому о (Ш, 8) Пусть из=3; имеем: СО СО 1 е'а (л 1-1)С) п=о ~хзе (+ н=о о 1(. )- 1 1 1 1 лс. (л ) + + + (л+1)с 1 3с 3 ''' 3О' н о отсюда «з с(«тс е =) е„. 1 —— 6® — — 13 о (Ш, 9) Проведем расчет интегралов типа (П1,2) для случаев т=1 и из=3 при В=1, когда в знаменателе стоит нижний знак при единице.
Вычисление осуществляется применением формулы (П1, 3). Имеем т=1, тогда Ое 1 х~х Х 1 (нчп„с( ХИ 1Ц о п=о о .ПОО ПРЕДМЕТНЫЙ УКАЗАТЕЛЬ Абсолютная температура 47, 211 Абсолютно черное тело 287 Авогадро постоянная 48, 139, 202 Аддитивность 19 Ансамбли статистические 159. 170 Априорная вероятность 10 Барометрическая формула 200 Бозе газы 358 — частицы 325 Бозе — Эйнштейна статистика 335 Больцмана — Максвелла распределение !99 Больцмана постоянная 48, 120, 210 — статистика 114, 223 — формула (принцип) 114, 117 Броуновское движение 140, 144 Ван.дер-Ваальса константы уравнения 255' — уравнение 255 Вариация, варьирование 115 Вероятность 8 Вероятности плотность 16 — теорема сложения 11 — — умножения 12 Вероятность термодинамическая 112 Вес статистический !12, 308 Вина закон 299 Внешние параметры 215 Внутренние параметры 215 Внутреннее трение (в газах) 78 Возврата теорема Пуанкаре 94, 134, 135 Волновая функция 305 Волновое уравнение Шредингера 305, 309, 313 Волновые функции (симметричные, антисимметричиые), 321 Время возврата состояний 135 — релаксации 133 Второй закон термодинамики 94, 117 Второго закона статистический смысл 120 Вырождение 308, 332 — газов (вырожденные газы) 351 Вырожденные состояния 308, 315 Вырождения фактор 351 Газовые законы 46 Газ идеальный 22, 179 — неидеальный 244 — вырожденный 351 Газы Бозе 358 — Ферми 361 Гамильтона уравнения 163, 164 Гауссово распределение 38, 284 Гейзеиберга принцип 303 Гиббса — Гельмгольца уравнение 233 — каноническое распределение 187, 190 — минроканоническое распределение 192 — статистика 158 Гипотеза элементарного беспорядка 23 Голубой цвет неба 15! Г.пространство 167 Давление газа в молекулярной теории 41 Дебая температура 386 — теория теплоемкости 383 — формула 387 — функция 387 Де-Бройля формула 304 «Действие» в механике 184 Демон Максвелла 130 Дискретные величины 14 — уровни энергии 306, 307 Дисперсия 18 — энергии 212 Диффузии теория 74, 144 — коэффициент 76, 146 Длина свободного пробега молекул 62 Дюлонга и Пти закон 243, 379 Дырочная теория жидкости 268 Жидкости статистические теории 257 Закон второй термодинамики 94, 117 — Вина 299 — Дебая 389 — Дюлонга и Пти 243, 379 — Клапейрона 46 — Стефана — Больцмана 293, 298 Предметный указатель 415 Закон равномерного распределения энергии 81, 83 Законы идеальных газов 46, 47 Запрет Паули 324 Идеальный газ (в р-пространстве) 179 Изображающая точка 167 Изолированная система 185, !92 Импульсы обобщенные 162 Интегралы движения !66 Интегро-дифференциальное уравнение Больцмана 51 Интеграл состояний 189 Интегралы Пуассона 409 Информации количество 128 — теория 127 Парадокс Лошмидта 93, 134 Парадокс 1(ермело 94, 134 Параметры внутренние и внешние 215 Паули запрет (принцип) 324 Переноса процессы (в газах) 7! Канонические уравнения Гамильтона 163, 164 Каноническое распределение 187, 190 Канонического распределения модуль !89 Квазиэргодические системы 160 Квазикристаллическан теория жидКостей 259 Квант действия 160, 303 Квантовая теория теплоемкости 365 — статистика 301 Квантовые числа 312 Квант энергии 160, 294 Кинетическая теорие газов 22 — энергия (молекул газа) 48 Классическая теории теплоемкости газов 8! Количество информации 128 Комплексия !12 Конденсации газа Бозе 363 Конденсированные системы 258 Константа Больцмана 48, 118.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
