Радушкевич Л.В. Курс статистической физики (1185139), страница 74

Просмтор этого файла доступен только зарегистрированным пользователям. Но у нас супер быстрая регистрация: достаточно только электронной почты!

Текст из файла (страница 74)

С помощью представлений об этом электронном газе в теории Друде выводятся основные законы электрического тока в металлах, дается объ. Выведенные соотношения дают полное представление о тер« модинамике фотонного газа в условиях равновесия и показывают, что к свету применимы многие термодинамические и статистические понятия, которые мы привыкли применять по отношению к веществу, например к газу, состоящему из молекул.

У 7. Применение статистики Ферми — Дарана к електранам е металле 397 яснение термоэлектрических явлений н контактной разности потенциалов. Таким же путем было выведено хорошо известное из опыта соотношение между теплопроводностью и электропроводностью металлов. Теория электронного газа в металле была далее развита Лорентцем, применившим к описанию его свойств классическую статистику, из которой, в частности, следовало, что при тепловом равновесии скорости электронов в металле распределены по максвелловскому закону.

Известное явление испускания электронов накаленными металлами получило хорошее качественное объяснение в усовер. шенствованной теории электронного газа. В самом деле, этот эффект можно рассматривать как своего рода «испарение электронов» из металла. При низких температурах энергия подавляющего большинства электронов недостаточна, чтобы преодолеть сильное притяжение их к положительно заряженным атомам металла, но при достаточно высокой температуре средняя энергия электронов велика и многие из них вылетают наружу.

Экспериментальные исследования показали, что начальные скорости вылетающих из металла электронов распределены по максвелловскому закону; отсюда естественно было заключить, что и внутри металла имеет место такое же распределение скоростей. Развитие теории строения атома укрепило представления об электронном газе в металлах, так как'атомы последних всегда имеют по одному и более слабо связанных валентных электронов, которые в металле ведут себя как «свободныеэлектроны».

Поэтому следует считать, что число электронов в данной массе металла по порядку величины близко к числу составляющих атомов, т. е. в одном грамм-атоме металла число электронов примерно равно числу Авогадро. Объемы грамм-атомов различных металлов близки друг к другу и составляют примерно 10 сме. Поэтому следует считать, что число электронов 1 сме металла не менее -10™, т. е.

концентрация электронного газа чрезвычайно велика. Напомним, что число молекул в 1 сме обычного газа при атмосферном давлении составляет 2,7 ° 1О". Несмотря на успешные результаты в объяснении многих явлений, полученные с помощью классической теории электронного газа, она в настоящее время не может быть принята как основа для дальнейшего развития электронной теории металлов. Это связано с тем, что в классической модели электронного газа имеется ряд противоречий и полученные из этой теории значения теплоемкостей металлов резко противоречат опытным данным. Свободные электроны внутри металла обладают значительно меньшей потенциальной энергией, чем внешние электроны, 398 Глава Р11.

Статистик. термодинамика на основе квантовой теории В благодаря силам взаимо- действия с положительно а заряженными атомами металла. Поэтому в грубом приближении можно счиРнс. 47. тать, что электроны находятся внутри глубокого потенциального ящика и для вырывания их необходимо затратить некоторую работу. Однако при уточнении поведения электронного газа следовало бы учесть еще взаимодействие электронов между собой и с окружающими атомами металла. Движение отдельных электронов в металле не является вполне свободным. В идеально однородном куске металла электроны движутся в периодическом электрическом поле, образованном кристаллической решеткой металла.

Поэтому в общем случае между движением молекул газа и движением электронов в металле имеется существенная разница. Периодическое поле в металле можно себе представить, если рассмотреть линейное расположение атомов и движение электронов среди них. На рисунке 47 приведена схема распределения потенциальной энергии в линейной цепочке атомов. Электроны находятся в потенциальных ямах между отдельными максимумами.

Если энергия электрона существенно меньше высоты потенциальных барьеров и отвечает, например, уровню энергии аа, то все электроны связаны с атомами и не являются свободными. Когда энергия электронов больше высоты барьеров и соответствует на схеме уровню ЬЬ, то электроны практически являются свободными и периодические взаимодействия с атомами следует рассматривать как некоторое слабое возмущение их движения. Таким путем можно принять во внимание взаимодействие электронов с атомами в металлах.

При этом предполагается, что сами электроны между собой не взаимодействуют. Однако главное возражение против классической электронной теории металлов связано с опытными значениями теплоемкостей металлов. Опыт показал, что металлы при обычных температурах близко следуют закону Дюлонга и Пти, т. е. для них атомная теплоемкость обычно близка к б кал/град. Этот результат находится в соответствии с выводами теории теплоемкости твердых тел, где показано, что приведенное выше значение обусловлено соответственными степенями свободы атомов или молекул в решетке твердого тела. Таким образом, вся теплоемкость металла зависит от энергии только атомов в металлической решетке и на долю электронного газа не остается составляющей теплоемкости. Следовательно, приходится допустить, в 7.

Применение статистики Ферми — дирака к влектранам в металле ЗЭ9 что теплоемкость электронного газа в металле равна нулю. Между тем в простейшем случае, если рассматривать электроны как частицы одноатомного газа, то следует считать, что тепло- емкость электронного газа должна быть равной по крайней мере 3 кал/град на ! г-атом и в целом теплоемкость металла должна составить 9 кал/град. Этот вывод находится в резком противоречии с опытом, которое невозможно устранить с помощью классических представлений, и только применение квантовой статистики приводит к решающим положительным результатам. Переходя к квантовой статистике электронного газа, мы прежде всего должны обратить внимание на свойства электрона как микрочастицы.

Известно, что электрон обладает весьмамалой массой: его масса покоя составляет всего 9 10 " г. Отрицательный заряд электрона постоянен и равен е=4,8 10-" ед. СОБЕ. Далее опытным путем установлено, что электрон обладает собственным моментом количества движения, который характеризуется спином, причем его квантовое число может принимать, значение +'/т или — '/а. Это свойство указывает, что электрон является типичной частицей Ферми, т. е. подчиняется запрету Паули. Для описания системы из множества электронов, например для описания термодинамических свойств электронного газа в металлах, необходимо пользоваться статистикой Ферми — Дирака.

Это значит, что в каждой фазовой ячейке !к-пространства может содержаться не более одного электрона с.заданным спином или ячейка может быть незаполненной. Среднее число заполнения, как было показано ранее, выражается функцией распределения вида: (7,97) а+вс ект +! где константа ск связана с параметром вырождения В простым соотношением В = е-'. При всевозможных значениях а для всех условий величина /, как видно из формулы, лежит между Ои1. Большая плотность электронного газа в металлах и весьма малая масса отдельных электронов обусловливают сильное вырождение электронного газа в металле, в чем легко убедиться, воспользовавшись формулой (7,49) (стр. 352).

Так, например, Ф полагая для серебра л = †„, = 5,9 10тл электронов на 1 см' н принимая у=2 (так как спин может иметь два значения), на- 400 Глава УП. Статистик. термодинамика на основе квантовой теории ходим с грубым приближением по формуле (7,497 при Т=ЗОО'К значение а — — 8, откуда получаем: В=в-"=2330. з си 1 (2нотЛТ) 2 1 ." й» М= дУ лз г' я ел+1 о 8 Входящий сюда интеграл может быть найден разложением в ряд (стр.

411), и тогда из этого выражения получается приближенное выражение для параметра вырождения В, пригод. ное только для сильного вырождения. Опуская эти расчеты, приводим окончательную формулу: з Ьз ! ЗеГ из 1пВ= — а= 2 лт 14 1т (7,98) где у=2. Введем обозначение: 2от (4яуУ ) (7,99) Этот результат показывает, что электронный газ в этом металле весьма сильно вырожден. Аналогичные результаты получаются для всех других металлов, т. е. всегда В» 1. Сильное вырождение электронного газа имеет место в широком интервале температур порядка до 104 вК, и, следовательно, практически при всех условиях состояние электронов в металле описывается уравнениями статистики Ферми — Дирака. Мы ранее видели, что предельный случай классической статистики получается, если возможно в функции распределения пренебречь единицей.

Характеристики

Список файлов книги