Радушкевич Л.В. Курс статистической физики (1185139), страница 72
Текст из файла (страница 72)
Каждый из М атомов твердого тела обладает в простейшем случае тремя колебательными степенями свободы, и, следовательно, в твердом теле имеется ЗУ собственных частот, распределенных среди его атомов. Так как это число весьма велико и соответствует наличию самых разнообразных частот, то можно ска- 384 Глава И1. Статистик. термодинамика на основе квантовой теории зать, что твердое тело обладает очень широким спектром ча. стот, в котором присутствуют как очень низкие, так и достаточно высокие частоты. Следует обратить внимание на то, что низким частотам колебаний атомов твердого тела соответствуют обычные упругие колебания кристалла, отвечающие звуковым (или ультразвуковым), т.
е. механическим колебаниям. Движение частиц твердого тела является только коллективным, так как все его атомы связаны друг с другом упругими силами, и, следовательно, колебания одного из них вызывают за собой колебания остальных атомов. Эти колебания обусловливают собой появление и распространение упругих волн в кристалле. Вследствие того, что кристалл имеет обычно конечные размеры, то эти волны интерферируют одна с другой и потому являются стоячими волнами. Сравнительно низкиечастоты колебания атомов соответствуют волнам большой длины волны, значительно превышающей размеры кристалла, и они могут возникать при механических деформациях тела.
Все эти соображения позволяют рассматривать твердое тело как сплошную среду, заполненную стоячими волнами. Заметим, однако, что, пользуясь представлениями о волновых свойствах любых частиц, возможно дать другой подход к статистике твердого тела, если считать, что энергия упругих колебаний в кристалле квантована. Таким путем иногда вводят понятие о звуковых квантах, или фононах, которые представляют собой как бы частицы (квази- частицы), движущиеся в решетке кристалла.
Энергия фонона пропорциональна частоте звуковых волн и выражается как энергия соответствующего кванта, т. е. в=йч, тогда как скорость фонона определяется величиной импульса. В первом приближении принимают, что фононы не сталкиваются друг с другом. В решетке'кристалла число фононов является произвольным и можно встретить любое число одинаковых фононов, т, е. их поведение подчиняется статистике Бозе — Эйнштейна. При анализе теории теплоемкости твердых тел мы не будем касаться представлений о фононах, а остановимся на основных положениях исходной теории Дебая, обратив внимание на тот прием, который он использовал при нахождении распределения собственных частот твердого тела, рассматривая его как непрерывную среду, заполненную волнами.
На первый взгляд этот метод кажется не имеющим отношения к статистике, так как в сплошном теле, как модели реального тела мы не различаем атомов и не можем говорить об их поведении. Однако в данном случае речь идет о расчете только числа собственных колебаний, вызванных поведением атомов твердого тела, присутствия которых мы не учитываем в сплошной среде. д Б. Статистика твердого состоянии. Теаеоемкость твердых тех 385 В твердом теле могут распространяться продольные и поперечные волны. Если выбрать какое-либо направление в теле,то в этом направлении может распространяться три рода волн: продольная волна сжатия и разрежения и две поперечные волны с взаимно перпендикулярными плоскостями колебаний.
Мы указали, что любое твердое тело представляет собой среду, заполненную множеством стоячих волн разной длины, т. е. разной частоты. В таком случае для расчета числа частот в интервале от и до и+с(и можно применить те же рассуждения, которые мы проводили ранее (стр. 286), рассматривая излучение в полости абсолютно черного тела. Мы нашли, что число частот в интервале от и до и+Ни в среде с объемом )т равно: сг'в = — ччто, 4и1т св (7,82) где с — скорость распространения волн.
Детальный анализ процесса связанных колебаний атомов в твердом теле показывает, что при колебаниях отдельных атомов скорость распространения упругих волн зависит от длины волны; если же перейти к сплошной среде, то эта зависимость пропадает и все волны данного рода распространяются с одной и той же скоростью, зависящей от упругости и плотности вещества. Далее мы рассматриваем только изотропное тело.
Все продольные волны в нем распространяются со скоростью с, и все поперечные — со скоростью сг. Поэтому, учитывая, что в данном направлении могут распространяться всегда две поперечные волны и одна продольная, мы должны формулу (7,82) написать в виде: сУл= — итаЪ+2 — изгои=4яУ~ — + — )и'сЬ. (783) ЫУ 4и1т /1 21 25 л. в. Ракушкевич В общем случае в континууме число собственных колебаний, т.
е. число стоячих волн, должно бы быть бесконечно большим. Однако мы должны помнить, что тело состоит из )Ч атомов и поэтому число частот хотя очень велико, но является конечным и равным ЗФ. Это значит, что, принимая нашу модель твердого тела, мы должны отбросить колебания с очень высокими частотами, которым отвечает длина волны, соизмеримая с расстояниями между атомами в решетке. Поэтому в теории Дебая уравнение (7,83) применимо до некоторой максимальной частоты ии,„„выше которой в данной модели нет колебаний. Сле. 386 Глава Пй Статистик.
тернодиномика на основе квантовой теории довательно, общая сумма всех чисел собственных колебаний, равная Зй!, может быть найдена суммированием (7,83) по всем частотам от 0 до чм,„„т. е. макс ЗЖ=4яУ~ — + — ) ) чееач= — ~ — + — )че . (7,84) т! 21 Г 4ятт т! 21 ~сз э) 1 2 о 3 ~еч е) 1 2 Отсюда можно вычислить ч„„„если известны плотность тела и скорости распространения упругих волн. Таким образом, задача распределения числа частот собственных колебаний твердого тела с известным приближением может считаться разрешенной. Найдем теперь полную энергию твердого тела и его тепло- емкость.
Каждый атом мы рассматриваем как линейный квантоваииый осцнллятор. Пренебрегая нулевой энергией, мы можем среднюю энергию осциллятора на одну степень свободы (на одну частоту) рассчитать по формуле Планка: ач е — ! ат и,",ч о еег или, учитывая (7,83): макс Е 4я'а'( — + е) ) ач' е(ч. лч е "г — 1 (7.85) Пользуясь формулой (7,84), выражение (7,85) можно представить в форме: чмакс Е = — ) «ча е(ч. (7,85') ч макс О ач е — ! 1Г Для удобства анализа вводим так называемую х а р а к те р и ° с т и ч ее к ую температуру Деба я: Тв соотношением: ачмакс Тю = — "' а (7,86) Тогда полная энергия равна сумме всех з„взятой по всем частотам: в' д. Статистица твердого состояния.
Теплоемкость твердь~к тел 387 и в подынтегральном выражении формулы (7,85') делаем за- Ь» мену переменных, полагая $=~~ Тогда формула (7,85') принимает вид: з по где положено; Т х= —. о Т (7,87) Формула (7,87) носит название формулы Дебая. Дифференцируя это выражение по Т, находим теплоемкость твердого тела: л оо (7,88) В это соотношение входит сложная функция температуры Т. то Поэтому будем рассматривать величину х= — о как перемен- Т ную и назовем ф у н к ц и е й Д е б а я выражение вида: к О(х)=З вЂ” — )— и т тйзц нт 713 ~1 — 1 ос (7.89) Х 3Т о л (' $ДВ 3 =12х ' — — =12х ' — — — (7,91) ° ~ ! ! го ~ ее — 1 е» вЂ” 1 о е — 1 о Интеграл в этой формуле может быть найден только приближенно. Соотношения (7,90) и (7,91) позволяют вычислить .Тогда для й(=Мо.
Си = ЗМой О (х) = ЗЯ . 77 (х). (7,90) Выполняя дифференцирование в формуле (7,89), находим: з П(х)=12( — ')' ~ ~'"~ +'„" о в — 1 г б б. Статистика твердого состалкил. Теалоемкость твердьгх тел 380 Таблица 8 лучаем определенный интеграл в пре. делах от 0 до ео. Значение его дано в приложении (стр. 413): то Вещество йг с!ав ве l= о та — 1 15 Кроме того, при большом х можно пренебречь единицей в знаменателе второго слагаемого формулы (7,91) и тогда: 402' К 332о К 214' К 73' К 2000' К А! Си Ая РЬ Алмаз О(х) = 12х-з .
' — Зхе-х — плх-з Зхе-х яе 4 15 5 Второе слагаемое в этом выражении при большом х стремится к нулю, в чем легко убедиться обычным путем. Поэтому можно принять для больших х=— т О (х) = — плх-з. Тогда из (7,90) получаем: С»=Зсс — плх з= — ° —,Та=пуз. (7,93) 5 5 топ 26 л. в. Ралушкеввч Следовательно, в области очень низких температур тепло- емкость твердых тел должна возрастать пропорционально кубу абсолютной температуры.
Этот вывод блестяще подтверждается на опыте и носит название з а к о н а Д е б а я. Теория Эйнштейна дает менее удовлетворительные результаты для низких температур, так как требует экспоненциального (более крутого) повышения С» с температурой.
Заметим еще, что закон куба получается также непосредственно из (7,87), если взять верхний предел ео и затем найти обычным путем С» из вы. ражения для энергии. Насколько хорошо оправдывается закон Дебая при низких температурах, видно из,таблицы 9, составленной по опытным данным для некоторых металлов. Наконец из формул (7,90) и (7,91) следует, что если по- Т строить зависимость С» от —, то для всех веществ должна пото' лучиться единая универсальная кривая, так как в 0(х) не входит никаких констант вещества. Опыт очень хорошо подтвер- 390 Глава ЛА Статистик.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
