Радушкевич Л.В. Курс статистической физики (1185139), страница 75
Текст из файла (страница 75)
Для электронного газа такое пренебрежение недопустимо вплоть до очень высоких температур. Простой расчет показывает, что в формуле (7,97) можнобылобыотброситьединицу только при Т»104'К, т. е. в таких условиях, когда все металлы обращаются в пар. Таким образом, поведение электронного газа даже в первом приближении не может быть описано с помощью классической статистики. Рассмотрим основные свойства электронного газа в металлах, применяя статистикуФерми — Дирака при сильном выро. ждении. В этом случае приближенное значение параметра вырождения может быть найдено из общей формулы (7,52) для полного числа частиц системы.
Подставляя в эту формулу выражение для интеграла Р(В) из (7,51) и беря нижний знак пе. ред единицей, имеем: У 7. Применение статистики Ферми — Дирака к электронам в металле 401 Тогда а= — —. Ив 'кт ' Подставляя это значение сс в формулу (7,97), находим: (7,100) вс-и эг Анализ нового выражения для функции распределения позволяет прийти к замечательным выводам относительно свойства электронного газа в металлах. В самом деле, при абсолютном нуле температуры распределение электронов по ячейкам фазового пространства получается, как видно из (7,100), ступенчатым. Положим, Т=О в формуле (7,100). При этом условии находим: 1 при Е,<ро, )= + — — 1; 1 пРи Е,) 1ло, )= + — — О.
Это значит, что при абсолютном нуле все низшие уровни энергии до величины рв полностью заполнены, причем в каждой ячейке фазового пространства находится по одному электрону (мы говорим об электронах с одинаковым спином). Все уровни энергии со значением последней больше 1ле оказываются пустыми, так как среднее заполнение 1=0. Скачок соответствует, очевидно, значению Ет=1ле. Таким образом, величина 1лэ имеет простой и важный физический смысл. Она представляет собой значение верхней границы энергии при заполнения ячеек при Т=О, или энергию высшего занятого уровня (энергия Ферми) в этих условиях. Схематически заполнение фазовых ячеек электронами (с одним спином) можно представить в виде диаграммы, изображенной на рисунке 48.
Здесь все клетки внизу заполнены электронами вплоть до уровня Е=1ле, тогда как остальные клетки оказываются пустыми. Величину 1ле можно рассчитать н более простым путем. Если в трехмерном фазовом пространстве построить сферу, радиус которой равен максимальному импульсу электрона Р„то, оче- И видно, число электронов †, в этой.
сфере равно числу ячеек, так как в каждой из них имеется по одному электрону, если брать электроны с одним спином, или по два, если учесть оба 4О2 Глава УП. Статистич. термодинамика на основе квантовой теории Т.п Рис. 48. значения спина. Объем ячейки в пространстве импульсов равен Ло. Поэтому общее число ячеек, или число электронов (на единицу объема реального пространства), есть: 4 о д1 З Ро К (7,101) где у=2. Но импульс частицы связан с ее кинетической энергией известным соотношением, которое в данном случае имеет внд: ро= о,н ~ о~ 1 так как Ро отвечает максимальной энергии Ра электрона. Отсюда 1 еоо = (2тро) ° Подставляя это значение в формулу (7,101), находим: з Гч' = — и —,', (2тро)' 4 У ° и откуда получаем прежнее выражение (7,99) для верхней границы заполнения ячеек при Т=О. Таким образом, при абсолютном нуле энергия электрона в металле не равна нулю, и, следовательно, их движение в этом состоянии не прекращается, как можно было бы ожидать из представлений классической статистики.
э 7. Применение статистики Ферми — ллирака к электронам в металле 403 Зная максимальную энергию 1зз при абсолютном нуле для одного электрона, можно вычислить полную энергию всех У электронов, заполняющих некоторый объем металла при Т=О. Ранее мы нашли (стр. 331), что число ячеек с энергией от Е; до Ез+г)Ет в трехмерном фазовом пространстве равно: с(ж;=4яУ, ' ЫЕь (7,102) Введем в это выражение величину ро из (7,99), исключив значение )т. Из формулы (7,99) находим (опуская множитель д): з з У= — т"зрлз1з ' ° (2т) '.
Подставляя это значение в формулу (7,102), имеем: з зтя.= — РТЕ'1з з йЕ. Полная энергия Ез при Т=О всех )з' частиц может быть найдена интегрированием по всем энергиям в интервале от 0 до 1зз, т. е. по всем ячейкам. Тогда и. ка ! е,=) ел*= /е т —,ше= о о ро 3 Во 3 з — = — Мр. 3 5 о.
3 но 3 тзГ 2 5 2 (7403) Отсюда средняя нулевая энергия на один электрон составляет: — 3 ео = 5 Зсо. (7,! 04) Мы рассмотрели полное вырождение электронного газа, существующее при абсолютном нуле, когда электроны обладают движением, которое, однако, нельзя назвать тепловым. В самом деле, оно не связано с температурой, и средняя кинетическая энергия электрона по формуле (7,104) выражается квантовым соотношением, тогда как в классической статистике мы получили бы аз=О. Когда температура металла не равна нулю, то распределение электронов по ячейкам изменяется, как видно из формулы 404 Глава 1дй Статистик.
термодинамика на основе' квантовой теории (7,97). При Ет(1ле и конечном Тчьб показатель степени отрицателен и среднее заполнение близко к 1, как и ранее. Для обычных температур это распределение относится к большинству электронов. При Ее=по теперь получается Г='/т, т. е. клетки с энергией Ферми теперь наполовину пусты. Для значений Ес>1ле фУнкциЯ заполнениЯ постепенно Убывает, и пРи очень больших Е~>>ре можно отбросить 1 и получить приближенно максвелловское распределение (см. рис. 42 на стр. 363). Этот характер заполнения ячеек схематически представлен справа на диаграмме рисунка 48.
Таким образом, в обычных условиях, когда Т~О, обычным тепловым движением обладают только наиболее быстрые электроны в металле. Именно для таких электронов выполняется максвелловское распределение скоростей. Напротив, подавляющее число прочих электронов вовсе не участвует в тепловом движении, они движутся среди атомов металла с большими скоростями„ но это движение носит иной характер.
Эти представления позволяют легко объяснить, почему на опыте установлено максвелловское распределение скоростей электронов, вылетающих из накаленных металлов. При высоких температурах происходит выделение из металла только тех электронов, энергия которых в металле была особенно велика. Но как раз скорость этих электронов распределена по закону Максвелла, как это следует из анализа функции распределения (7,97). На опыте регистрируется, следовательно, распределение скоростей не всех электронов, а только наиболее быстрых. Таким образом, наблюдая максвелловское распределение скоростей вылетающих электронов, мы не можем заключить, что таково же распределение скоростей всех электронов внутри металла.
Полная энергия электронного газа Е при Т+О может быть найдена из общего выражения (7,53), если соответствующий интеграл 6(В) представить в виде ряда и подставить значение В из формулы (7,98). Опуская промежуточные преобразования, остановимся на окончательном выражении полной энергии, полученном таким путем: Е=Ео ~1+ — и'( — ) — — '( — ) + ...~. (7,105) Из этого выражения мы видим, что энергия электронного газа является сложной функцией температуры, причем по- прежнему приходим к выводу, что при абсолютном нуле энер. У 7.
Применение статистики Ферма — Дарана к электронам в металле 405 гия не обращается в нуль, а принимает значение Еэ. Кроме того, соотношение (7,106) позволяет вычислить теплоемкость электронного газа С». Пользуясь обычным приемом, находим: У дЕ~ 5 — каТ С = — = — и'Š—— к ~ ~ о г 'адТ~ б Ис (7,106) Си= 2 Увуо— иа А~Т Ие или ивв Т 3 та лааТ Силаев (7,106') где Сгиавес — теплоемкость газа по классической теории. Из (7,!06') находим, что: С, каугТ Силаев 3 Расчеты по формуле (7,99) для всех металлов показывают, что энергия Ферми Иэ достаточно велика.
Так, например, для серебра И,=9 ° 1Огм эргов, для платины Ив=9,6 ° 10 'г эргов, для натрия И,=6,1 1Орм аргон, тогда как энергия кТ при обычных температурах до 2000'К составляет величину порядка 10 " или 1О " эргов. Подставляя эти значения в формулу (7,107), находим, что теплоемкость электронного газа в металлах составляет сотые доли теплоемкости невырожденного классического газа, т. е. много меньше 3 кал/град на моль. Таким образом, действительно вклад теплоемкости электронного газа в теплоемкость металлов весьма мал и практически вся тепло- емкость последних обусловлена тепловым движением атомов решетки.
Отсюда в согласии с опытом получаем классический закон Дюлонга — Пти при обычных температурах, т. е. 6 кал град моль Из общей формулы (7,106) вытекает еще принципиально важное следствие, что при Т=О теплоемкость электронного газа равна нулю. Это заключение находится в полном соответствии с развитыми выше представлениями о вырождении электронного газа и с известной теоремой Нернста, Классическая статистика 27 л.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
