Радушкевич Л.В. Курс статистической физики (1185139), страница 35
Текст из файла (страница 35)
Вполне очевидно, что этому условию соответствует система, находящаяся в некоторой изолирующей оболочке (адиабатная оболочка), или система, взаимодействующая с другой в течение короткого промежутка времени при слабом взаимодействии. 5 7. Тооромп Лиувиллл н принцип поотоянотва фпзового объомп. Стптнотнчоокоп равновоонв Для непрерывного объемного распределения систем ан. самбля мы сейчас докажем одно принципиально важное положение, известное в теоретической механике подназванием теоремы Лиу вилл я.
Заметим прежде всего, что движение объемно-распределенного ансамбля в Г-пространстве очень напоминает течение жид- э" 7. Теорема Лиувилля и принцип постоянства фигового обаема 173 кости. Наша совокупность систем со временем переходит из одного объема фазового пространства в другой. Выделим в какой-либо момент времени объем г(йн в нем содержится рте(йг систем ансамбля. Спустя некоторое время эти системы перейдут в объем с(йа, где плотность распределения будет рт. Тогда, очевидно, ргс(й, =ряс(йг, (3,5) Рас. лз. так как здесь мы имеем одни и те же системы, только сначала они были в объеме с(йь а затем переместились в объем с(йа.
Это равенство заставляет нас рассматривать процессы втекания фазовых точек систем в объемы и вытекание из последних, как в гидродинамике обычных реальных жидкостей. Отвлечемся от фазового пространства и рассмотрим так называемое уравнение непрерывности Эйлера в обычной гидродинамике. Выделим где-либо в текущей жидкости неподвижный элемент в форме параллелепипеда со сторонами с(х, с(у и с(а (рис. 23). Пусть ~в этот объем втекает жид.
кость через грани, ближе расположенные к началу координат, и вытекает затем из других граней. Тогда по направлению оси х в элемент втекает количество жидкости за время Ю, равное р ° и с(( с(у с(а, где р — плотность жидкости, представляющая собой вообще функцию координат и времени, и — проекция скорости на ось х. Из другой (параллельной) грани вдоль оси х вытекает количе. ство жидкости за то же время: ((рп+ дд(ргг) с(х) сгт- г(у г(я, где учитывается, что на пути с(х величины р и и изменились.
В итоге имеем избыток, равный разности обоих количеств: — — сух с7у сга Ф. д (ри) дх Повторяя аналогичные рассуждения для других осей, нахо. дим общий избыток втекания над вытеканием: [ д (ри) + д (ро) + д (ртв) 1 „ дх ду де 174 Глава 1П. Освоение нолоасениа статистической физики Но этот избыток попросту равен приращению количества жидкости в выделенном элементарном объеме за время йс, т. е. равен: дт др Отсюда, приравнивая оба предыдущих выражения и сокращая на бЫхдуссг, находим: (д(ри) д( ), д( )1 дт ( дх ду + де (3,6) Для всей системы с ~У степенями свободы получаем общее уравнение непрерывности, аналогичное (3,6), в виде: (3,7) Выполняя дифференцирование произведений в скобках, на.
ходим: Сумма первых двух слагаемых представляет собой, как легко ви- деть, полную производную функции р, поэтому обозначим: Это и есть уравнение Эйлера в гидродинамике. Для случая дви. жения систем в фазовом пространстве можно написать анало. гичное уравнение, так как имеется формальная аналогия между этим процессом и движением реальной жидкости, а значит, можно для фазового пространства повторить те же рассуждения, как с текущей жидкостью.
В Г-пространстве можно ввести ~й7-мерный вектор, представляющий собой фазовую скорость с компонентами ~у,', ~у', ..., р,', р', ... Одной степени свободы соответствует пара значений уе' и р', поэтому для каждой степени свободы по аналогии с (3,6) имеем: у" 7. Теорема Лиувиллл и принцев аостолиства фазового обвема 175 и тогда (3,9) е Можно показать, что выражение в скобках ~в уравнении (3,9) обращается в нуль, когда наша система подчиняется уравнениям Гамильтона, т. е. является консервативной. В самом деле, приняв для й-й степени свободы: с1р„дН ду дН ас дуе дт дре найдем производные первого уравнения по рм а второго по дм Имеем: дР„' деН дче д'Н дре ~~~„др ду дре дуе ' Отсюда дд„ др„ — + — =0 дуе дре и, следовательно, Таким образом, уравнение (3,9) принимает вид: =0.
,Ор (3,1 1) Мы получили два принципиально важных результата, относящихся к нашим системам. Во-первых, уравнение (3,10) является аналогом известного в гидродинамике условия нес ж им ае мости ж и д к о от и: (3,12) Оно получается из уравнения Эйлера (3,6), если допустить, что плотность жидкости р остается все время постоянной и не задо висит от координат. Тогда, полагая в (3,6), что — =О, находим уравнение (3,12). По аналогии на основании (3 10) мы можем теперь сказать, что совокупность фазовых точек или систем, подчиняющихся уравнениям Гамиль- 176 Г л а в а !П. Основные положения статистинескоа физики тона, ведет себя в фазовом пространстве, как н е с ж н м а е м а я ж и д к о с т ь. Во-вторых, равенство (3,11) показывает, что если бы мы стали перемещаться вместе с какой- либо оистемой в фазовом пространстве, то плотность распределения р все время оставалась бы постоянной.
При этом равенство (3,8) показывает, что в данном месте пространства р вообще изменяется с течением времени, т. е. — зь 0 и др дс следовательно, вообще могут иметь место локальные изменения плотности распределения. Так же и в один н тот же момент времени в различных точках пространства плотности могут быть различными. Однако из (3,11) следует, что полного изменения р со временем в процессе движения не происходит.
Поэтому в уравнении (3,5) для некоторого числа систем мы должны положится Рс=рг (3,13) Следовательно, сИс = Ж)г. (3,14) Этот окончательный результат можно сформулировать как принцип сохранения элементарногофазовогообъема (по Гиббсу), т. е. п р и д в и ж е н и н с и с т е м в ф а з о в о м п р остранстве элементарные объемы являются постоянными и могут меняться только по форме, с о х р а н я я с в о ю в е л и ч и н у (теорема Лиувилля). Это положение является одним из главных предложений статистической механики.
Обобщая полученные нами результаты, мы можем сказать, что совокупность систем в фазовом пространстве перемещается без изменения плотности распределения, причем фазовый объем остается постоянным по величине, но может деформироваться, изменяясь по форме. Значит, если точки в какой-то момент занимали объем с((сс с плотностью рь то они спустя некоторое время так переместятся в другую область фазового пространства, что будут там занимать тот же объем й2г=сгйг и с той же плотностью заполнения рг=рь Не меняется как бы «кучность» движущихся точек.
Подобным образом движется с места на место пчелиный рой. Следует заметить, что теорема Лиувилля остается верной для любой механической системы, в том числе для самых простых систем. (Рассматривая теорию упругих соударений моле- д 7. Теорема Лиувилля и принцам яостоянства фазового объема 177 — с — — О. др дс (3,15) Тогда из (3,8) и (3,11) следует, что (3,16) 12 л.
В. Радушневнч кул газа (стр. 57), мы уже пользовались без доказательств этой теоремой, как теоремой обычной механики, и полагали, что фазовые объемы с(ео, до удара и с(ео,' после удара одни и те же, тогда как компоненты молекул ди в момент удара не изменяются.) Теорема Лиувилля имеет важное значение в статистической механике и прежде всего потому, что уверенность в постоянстве фазового объема и в сохранении плотности дает возможность упростить многие расчеты.
Поэтому рассмотрение объемного распределения систем представляется наиболее простой задачей. Такими объемно-распределенными ансамблями пользуется Гиббс при решении различных вопросов статистической механики. Заметим, что для поверхностного распределения систем теорема Лиувилля не оправдывается и анализ такого случая вызывает осложнения в расчетах. Кроме того, принципиальное значение выведенной теоремы состоит в том, что ею доказывается сделанное ранее предположение (стр. 171), что число систем в каком-либо фазовом объеме всегда пропорционально величине объема.
Если бы мы не могли доказать сохранения величины фазового объема то наше предположение осталось бы недостаточно надежной гипотезой. Следовательно, мы не могли бы считать, что и вероятность найти систему в каком-то объеме всегда пропорциональна величине этого объема.
Но так как теперь доказано в самом общем случае постоянство объема и плотности, то всегда чем больше выбран объем, тем при одной и той же плотности в нем будет больше находиться систем. Наконец, из теоремы Лиувилля вытекает еще одно следствие, дающее возможность выделить круг задач, к которым приложим рассматриваемый здесь статистический метод. Мы доказали, что для наших систем полная производная плотности по времени согласно (3,11) всегда равна нулю, хотя частная производная д вообще отличается от нуля.
Это значит, что в кадр ком-то неподвижном выделенном нами фазовом объеме плотность распределения движущихся фазовых точек систем вообще со временем изменяется. Рассмотрим теперь частный случай, когда 178 Г л а в а НД Основные положения статистической физики Услеэие (3,15) соответствует с т а ц и о н а р н о м у д в и ж ению, так как согласно этому уравнению плотность распределения изображающих точек систем в данном месте фазового пространства остается неизменной со временем.
Это значит, что сколько фазовых точек систем |втекает в данный объем за единицу времени, столько же и вытекает из него за то же время. Следовательно, при стационарном течении фазовая плотность всюду остается неизменно распределенной в пространстве. Очевидно, это условие отвечает р а в н о в е с н о м у состоянию ансамбля. Поэтому можно сказать, что ансамбль находится в постоянном статистическом равновесии, когда фазовая плотность всюду не зависит от времени. В статистической физике, как было сказано, наиболее полно рассматриваются именно такие системы.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
