Радушкевич Л.В. Курс статистической физики (1185139), страница 36
Текст из файла (страница 36)
Следовательно, условие (3,15) является одновременно и самым общим условием статистического равновесия. Плотность распределения зависит только от координат фазового пространства, но не зависит при статистическом равновесии от времени: р т (Ч! ст2 Р1 ° Р2 ' ') Условие (3,16) (при статистическом равновесии) приводит к одной принципиально важной возможности, которая и была использована Гиббсом в его статистической механике. Для одной степени свободы формулу (3,16) можно написать в виде; ~7' — + Р' — = О. др, др Я др» е др Подставляя сюда выражения производных дя' и р' по уравне- ниям Гамильтона, получим: дН др дН др (3,17) дре дре дае дае Гамильтонова функция Н представляет собой полную энергию системы Е, которая является интегралом движения я, как можно строго показать анализом интегралов уравнений Гамильтона, не содержит времени в явной форме. Плотность распределения р при статистическом равновесии также зависит только от коор= динат фазового пространства.
Естественно допустить, что в простейшем случае р зависит только от Н. Из последнего равенства видно, что такое допущение возможно. В самом деле, если р=Р(Н), З 8. Примеры описания систем в фазовом пространстве 179 то из (3,17) следует: дН др дН дН де дН дре дН дое ейя дН дре 5 й. Примеры епнеанип еиетем в фазанам преетранетве Рассмотрим простейшие примеры описания систем в фазовом пространстве. 1. Идеальный одноатомный газ. Частицы этого газа обладают тремя степенями свободы, т.
е. 1=3. Газ можно рассматривать как статистический ансамбль из составляющих его Уча. стиц. Каждая частица представляет собой в этом случае одну систему ансамбля. Фазовое пространство отдельных частиц мы назвали и-нространством. Состояние частицы здесь определяется 2Г координатами, т. е. пространство является шестимерным. Для каждой частицы имеем: Чь Чм Че~ Ро Рт Ре илн лю У~ Я~ Ре~ Ру~ Ре. Элементарный объем в общем случае равен: е)Ге= е)х йу йз йр„гор йр, с1(е = сЛ/ ° е1 Р, Ж/= ЫхЫус(г илн где что тождественно оправдывается при любой дифференцируемой функции Р(Н).
Следовательно, сделанное допущение законно. Это дает нам возможность решать в общем виде основную задачу статистики, т. е. находить р а си р е дел ение систем по энергиям. Справедливость этого положения можно доказать также путем анализа интегралов уравнений Гамильтона.
Итак, в простейшем случае плотность распределения систем не зависит от времени, она зависит только от энергии, — изменение величины фазового объема исключено. Все это заставляет думать, что при объемном распределении систем, находящихся в статистическом равновесии, существует некоторое универсальное и простое распределение систем по энергиям.
Гиббс нашел это распределение н назвал его каноническим распре. делением. 180 Глава 111. Основнзж положения статистической физики есть реальный объем, занимаемый газом, т. е. У = 1 Ых Ду Ы . Энергия одной системы в данном случае есть кинетическая энергия одной частицы, т. е. е=е,„„= (Рг+Рг+Рг) .
Рг 1 1 Элементарный объем йР здесь проще можно представить как объем слоя, образованного между двумя сферами с радиусами от р до р+с2р. Объем этого слоя, как дифференциал объема шара, равен: Но из выражения для кинетической энергии находим. 1 /2т р' = 2лге; ЫР = — 1/ — сге. Следовательно, йР= 4л ° 2лте. с г/ — сй. 1 /2нт Таким образом, Ж3 =ст"й йР=сй/ 4ллге 1I — де= г е з = сг'т/ ° 4л 1/2 тля ° ~1е де.
Отсюда имеем выражение фазового объема: з с з з 88=4л'г/2 т/ т' ') 1/е йе=Зл12т)Юе'. (3,16) о Мы видим, что фазовый объем растет с. увеличением энергии частицы. Если рассматривать весь газ из Ф частиц как одну статистическую систему, мы должны перейти к Г-пространству из бтт' измерений, где состояние газа описывается одной точкой, Статистический ансамбль в данном случае представляет собой совокупность многих газов, причем элемент фазового объема равен теперь: стй=т211Айг . сттзн 'с~РАРг ° ° стРзтт.
8 8. Примеры описания систем в фазовом пространстве 181 Этот элемент объема можно представить как произведение двух элементов, один из них иззу зависит от дифференциалов обобщенных координат и другой !зйр определяется дифференциалами импульсов, т. е. с1сз =от ' Жр, где сгзс =згд! лдггтдз сгдзм ' сздгмсздз№ с!сер = сзР! сзР2 сзРз ° ° ° с!Рве сзРгзт.тзРзм. Величина Иззу зависит от положения систем и не зависит от их энергии.
Очевидно, трехмерные объемы с1К=йд! с1дг Ндз: ЫЧг=йдз... и т. д. можно ввести в общее выражение, тогда У С~~ 1 ' З~~ 2 ' ' ' С" 1 3№ Отсюда ~~у ~ с~~ 1 а~ 2 ' ' ' ~2~ зм Здесь 1т — объем одного газа, а ун — многомерный объем, занимаемый ансамблем. Энергия одного ансамбля из идеальных газов равна сумме энергий всех составляющих систем, т. е.
Е (рг+Рг+Рг+ .+ р2 +Рг + р2 ) 1 или 2шЕ=Рг+Ргг+Ргп+ " +Рз. При вычислении элемента фазового объема сзззр можно его рассматривать как элемент слоя между двумя мйогомерными шарами радиусов Я до 12+сУс, подобно тому как в трехмерном пространстве, когда мы рассматривали один из газов. Фазовый объем йр в общем виде можно представить как 11 р = ~ с1РАРг с1Рз ° ° с1Ргм с1Ргм с1Рззт. Если в трехмерном фазовом пространстве радиус сферы был Д = р = "у' 2те, причем объем ее был пропорционален 1тз, то теперь в многомерном пространстве ЗМ измерений фазовый объем пропорционален 122"', причем я = 'рт2тЕ.
182 Г л а в а И/. Основные нолоасенил статистической физики Следовательно, величина (ср равна: йе Я2тЕ ) . Таким образом, в целом фазовый объем в Г-пространстве есть: Я=ЯаЯ =сопз1 У'» (2пс) ' Е Отсюда получаем: — сопз1. 1т»т(2лг) г . Е г (3,19) Этот пример приводит к тому результату, который был отме» чен в этой главе на странице 170. Мы указывали, что в ансамблях из очень большого числа частиц фазовый объем быстро возрастает с энергией системы, причем этот рост чрезвычайно усиливается по мере увеличения числа фазовых точек, т. е.
с ростом ?т'. Последнее соотношение показывает для идеального д11 газа, что — растет пропорционально энергии в степени дЕ ( ° Ф 3 — — 1), где У очень велико, т. е. возрастание весьма значи тельно. 2. Линейный осциллятор. Мы называем линейным осциллятором частицу, совершающую гармонические колебания отно. сительно некоторого центра. Изучение такой системы представляло в свое время большой интерес, так как осциллятор является простейшей моделью атома, колеблющегося в твердом теле. Мы потом еще вернемся в теории квант к этой схеме. Если частица с массой т совер» шает гармонические колебания с частотой ч, то циклическая частота есть: 2я оз = — = 2но. Т Энергия осциллятора Е состоит из суммы энергий кинетической Е, и потенциальной Е„„причем первая является функцией только скорости, а вторая — только координаты.
Осцилля. тор представляет собой систему с одной степенью свободы. Вводя обобщенные координаты и импульсы, мы имеем в данном случае: д — смещение от положения равновесия, р=тс?' — импульс, или количество движения. ПоэтомУ Екии = 2 = 2 ?ггю кроме того, известно, что Енот я ат ~? З В. Примеры описании систем в 4авовом пространстве 183 Отсюда (3,20) Для незатухающих колебаний энергия есть величина по- стоянная, т. е.
Е=сопз(. Далее нам известно, что частица со- вершает периодические колебания вокруг положения равнове- сия. Закон движения можно вывести непосредственно из рас- смотрения действующей здесь упругой силы. Но его можно также получить, применяя уравнения Гамильтона. Так как у нас система с одной степенью свободы, то необходимо составить всего два уравнения. Мы имеем: и=,' (Ф + Ф), следовательно, — = — = Ч ' — = тита Ч= р ° др та да Из первого уравнения р=тд', и, следовательно, второе уравнение примет вид: пе«Рд = — пте)", или Мы получили известное дифференциальное уравнение гармонического колебательного движения, откуда находим интегралы движения: д= — „з1п Ы+досоз оМ, Чо р= — „' з1пта1+росозео~, если для 1=0 положить: ')!е о=~ус " Ч !е=о=Чо.
Перейдем к описанию движения осциллятора в фазовом пространстве, которое.в данном случае представляет собой просто плоскость с координатами р и д. Так как Е=сопз(, то из (3,20) находим простую связь между обеими обобщенными координатами: — + — '= 1. т~ Р 2Е 2аеЕ ение 184 Глава !П. Основное положения статистической физики Легко видеть, что это есть уравнение эллипса с полуосями а = ( — в„ее ) ' и Ь = (2тЕ) ' .
Итак, в фазовой плоскости движение осциллятора отображается эл! липсом (рис. 24). За один период, когда точка совершает одно полРис. 24. ное колебание по .отрезку прямой, ее изображающая точка фазовой (д, р) -плос)сости описывает один оборот по эллипсу, который представляет собой фазовую траекторию, соответствующую постоянной энергии частицы. В механике произведение р ° д иногда называют «действием».
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
