Радушкевич Л.В. Курс статистической физики (1185139), страница 33
Текст из файла (страница 33)
Рассмотрим системы, подчиняющиеся классической механике. Обратим внимание прежде всего на отдельную систему ансамбля. Полная энергия Е такой системы является функцией обобщенных координат и импульсов, т. е. Е=Е(дь Ег,, Чн, Рь Рь ° ° Рн). Эта величина служит важнейшей характеристикой состояния системы и является функцией состояния. Энергия Е системы может быть представлена как сумма к и н е т н ч е с к о й и п отенциальной энергий составляющих ее элементов: Е-Енин+Енот 11' 164 Глава НБ Основнме нолоисения статистической физики Известно, что потенциальная энергия есть функция обоб. щенных координат, так как она зависит от .положения частиц, и поэтому Енот=юг(9ь 9г, . > Чн).
Кинетическая энергия зависит от обобщенных скоростей: Дь Яг ° ° ° Чтт или, что то же, от обобщенных импульсов, но может, кроме того, зависеть от координат. Следовательно, Е =Рг(рь рг, рн дь дг, . дн) Механические свойства системы описываются с помбщью дифференциальных уравнений движения, интегрируя которые, можно найти изменения состояния системы со временем. Наиболее общими и простыми дифференциальными уравнениями системы являются так называемые канонические уравнения Гамильтона для консервативной системы. Мы выводить 'их здесь не будем, но поясним на простом примере. Для й-й степени свободы уравнения Гамильтона имеют вид: др„дН даа ди сЫ де ' дт др (3 1) Здесь Н-функция Гамильтона, равная полной энергии системы ', т. е.
Н=Н(й,,йь..., й„, рь р„..., р, () =Е. В простейшем случае консервативной системы и при усло~вии, что кинетическая энергия зависит только от обобщенных импульсов, можно легко получить уравнения (3,!), если силу представить как производную импульса по времени. В консервативной системе силы имеют потенциал, равный йт= — Е „. В таком случае: дра дФ' двпот дг дде дае Но так как Е„„ие зависит от да, то, очевидно, дЕпсн дЕ дИ дЧ» дй две 1 Не смешнвать с применявшимся ранее обозначением Н-функция Больцмана.
д 8. Энергия системс» Канонические уравнения Гамильтона 165 Поэтому др» дИ Так мы получаем первое уравнение Гамильтона. Далее, кипе. тическая энергия выражается в простейшем случае в виде квадратичной формы: 1 Еквв= 2я, Отсюда В частном случае, когда » ° 667 Р» = пЧ» = тп— ат предпоследнее равенство дает нам дЕккв И» Но так как Е „не зависит от импульсов, то, очевидно, — =О ав, ар„ и, значит, дЕкив дЕ дИ ар» ар» ар» Следовательно, дс до дг = др„' Мы получили второе уравнение Гамильтона.
Применяя общие рассуждения, можно получить те же уравнения Гамильтона и для более сложных случаев, когда Е зависит от д» и Рю и, не РассматРиваЯ частного ~выРаженнЯ, длЯ обобшенных импульсов. Оба канонических уравнения (3,1) Гамильтона имеют, как мы видели, весьма простой смысл и удобны для решения многих задач механики, потому что являются уравнениями первого порядка.
Очевидно, для каждой частицы системы необходимо составить 1 пар таких уравнений по числу степеней свободы частицы или, следовательно, 2г уравнений, а всего для системы необходимо иметь 2)У уравнений, т. е. весьма большое число 1бб Г я а в а !П. Основные пояоасения статистическое физики их.
В механике свободной материальной точки с тремя степенями свободы необходимо составить 6 уравнений Гамильтона; решение этой системы уравнений дает нам интегралы движения, позволяющие найти положение и импульсы движущейся точки в любой момент времени. В принципе то же относится и к системе из множества частиц. Важнейшим интегралом уравнений Гамильтона является функция О, т. е. полная энергия системы.
Заметим, что в статистике о решении системы из огромного числа уравнений не может быть 'и речи, так как невозможно задать начальные условия, поэтому для решения частных задач применяется другой метод, в котором учитываются свойства уравнений Гамильтона. $ 4. Фазввзв прввтрвивтнб Системы, изучаемые в статистике, обладают различной степенью сложности. Наиболее простой является система, представляющая собой одну частицу, например молекулу, атом н так далее, имеющую ~ степеней свободы. Более сложной системой следует считать систему из однородных элементов, например из одинаковых по составу молекул, электронов в куске металла, монохроматическое излучение, состоящее из световых квант и т. д. Наконец, система может состоять из разнородных элементов одной физической природы, например смесь газов, растворы, излучение в полости и т.
д. Состояние простейшей системы с ~ степенями свободы определяется 2г независимыми параметрами. Так, состояние молекулы идеального газа определяется шестью параметрами. Сложная система из М однородных элементов имеет ~М степеней свободы, и ее состояние определено 2~У независимыми параметрами. Для изображения эволюции системы во времени целесообразно ввести условное фазовое пространство, причем координатами этого пространства являются введенные ранее независимые параметры состояния. Этот метод следует признать в принципе удобным, потому что описание поведения системы из большого числа частей ~в реальном трехмерном пространстве наталкивается на огромные трудности.
С другой стороны, как правило, для всех перечисленных систем фазовое пространство оказывается м н о г о м е р н ы м. Так, фазовое пространство простейшей идеальной молекулы является шестимериым, для двухатомной молекулы с пятью степенями свободы оно десятимерно, а для сложных систем оно вообще 2Гзт'-мерно. В кинетической теории газов вводят пространство скоростей, которое представляется достаточно наглядным, так как напоми- в 5. Основные элементы фазового пространства 167 пает 3-мерное реальное пространство, хотя является чисто условным.
Может показаться, что введение многомерного фазового пространства в статистику сразу лишает теорию какой бы то ни было наглядности, так как многомерного пространства мы вообразить себе не можем. Однако, напротив, применение такого пространства в статистике Гиббса оказалось весьма плодотворным для изучения статистических систем из очень большого числа частей. Это понятие отвечает, может быть, требованиям наиболее широких обобщений, когда мы отвлекаемся от упрощенной и опасной аналогии с повседневными образами и в то же время имеем возможность применять известные абстрактные геометрические понятия (точка, линия и пр.). К тому же надо заметить, что в простейших случаях, например для систем с одной степенью свободы', пространство фаз становится двумерным, т. е. опять опрактически» наглядным.
В статистической физике рассматривают два вида фазового пространства: 1) 1х-пространство и 2) Г-пространство'. Первое из них, 1э-пространство, есть пространство одной частицы, например одной молекулы. Следовательно, рассматривая поведение одной молекулы идеального газа с 3-мя степенями свободы, мы вводим 6-мерное 1э;пространство с 6-ю координатами (параметрами), и тогда состояние такой системы определяется одной точкой в этом 1л-пространстве.
Второй вид фазового пространства, Г.пространство, вводится для системы из большого числа элементов, например для газа в целом. Это пространство 21тт' измерений. Состояние сложной системы определяется, как мы знаем, 2)'У параметрами с)» и р» и, следовательно, «изображается» одной точкой в Г-пространстве. Для макроскопических систем У, как правило, очень велико и, значит, как правило, Г-пространство является пространством очень многих измерений. Так, для газа в целом Г-пространство имеет величину порядка 16зз измерений. Ясно, что 1с-пространство можно считать частным случаем Г-пространства, когда У= 1. В дальнейшем мы главное внимание обратим на Г-пространство и лишь для простейших примеров воспользуемся понятием 1х-пространства. 5 о.
Овнов«ые ввемеиты фазового проетрвиотвв Состояние системы определяется значениями всех обобщенных координат и импульсов и изображается в фазовом пространстве одной т о ч ко й, которая называется фазовой точ- ' Оба термина введены ддя фазовых пространств П.
Эренфестом. 168 Г л а в а Ш. Основные ооломсения статистической фиэики кой и является простейшим элементом этогопространства. Если состояние системы с течением времени изменяется под действием тех или иных факторов, то изображающая точка в фазовом пространстве движется, описывая некоторую кривую, называемую ф а з о в о й т р а е к т о р и е й, причем каждой точке ее отвечает определенное мгновенное состояние системы.
Заметим, что, конечно, фазовая траектория не имеет ничего общего с реальной траекторией движущейся системы, а является условной, как и само фазовое пространство. Изменение состояния системы происходит в соответствии с уравнениями Гамильтона и начальными условиями. Так как указанные уравнения всегда однозначно определяют поведение системы, то отсюда следует, что фазовая траектория данной системы не образует точек пересечения в фазовом пространстве, т. е. она сама себя ие пересекает, иначе точке пересечения отвечало бы двузначное решение уравнений Гамильтона, если эту точку отнести к начальному состоянию. Через каждую точку фазового пространства, следовательно, проходит только одна фазовая траектория.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
