Радушкевич Л.В. Курс статистической физики (1185139), страница 28
Текст из файла (страница 28)
Частицы дыма в воздухе обладают гораздо более интенсивным броуновским движением, чем частицы того же размера в воде, вследствие очень малой вяз. кости воздуха. В работах Эйнштейна и Смолуховского дано полное объяснение механизма броуновского движения, и выводится также общий закон этого явления, допускающий экспериментальную проверку. Сущность этой теории, как известно, состоит в том, что броуновское движение объясняется неуравновешенными ударами молекул среды о поверхность мельчайших частиц, находящихся в этой среде. Если частица имеет большие (макроскопические) размеры, то при постоянной температуре число ударов молекул о поверхность частицы со всех сторон практически одно и то же. В этих условиях равнодействующая всех сил, действующих на частицу со стороны молекул, равна нулю.
Это находится в согласии с требованиями второго начала термодинамики, так как при тепловом равновесии энтропия максимальна и полезная работа равна нулю. Для частиц весьма малых размеров качи* пает сказываться беспорядочность движения молекул среды, вследствие чего удары их о поверхность частицы не могут урав. Э тО. Отступления от второго на«ала и краткая теория флюктуаций 141 повесить друг друга. Под действием возникающей здесь ре.
зультирующей силы всех ударов молекул частица приходит в движение, которое носит неупорядоченный характер вследствие хаотичного движения молекул. Поэтому броуновское движение есть наглядная демонстрация хаотического движения молекул н оно представляет собой как бы копию теплового молекулярного движения. Замечательно, что при установившемся броуновском движении имеет значение не масса частицы, а геометрический размер последней. Это становится понятным, если принять во внимание, что частицу большей массы труднее привести в движение, но также и труднее остановить.
При установившейся молекулярной бомбардировке оба фактора как раз компенсированы. Действительно, опыты Перрена с частицами разных веществ, когда масса изменялась в широких пределах при одном и том же размере, показали, что, интенсивность броуновского движения оставалась одной и той же. Переходя к теории броуновского движения, необходимо обратить внимание на связь его с диффузией и с флюктуациями числа частиц в малых объемах. Эта связь впервые была подчеркнута Смолуховским, указавшим, что «одно и то же явление в зависимости от принятой точки зрения проявляется тремя различными способами: если рассматривать его макроскопически, то оно называется «диффузией»; микроскопически, если следить за историей отдельной материальной частицы, то это «броуновское молекулярное движение», и, наконец, если не те.
рять из виду определенный элемент объема и отмечать каждое изменение числа находящихся в нем частиц, то здесь речь идет о «флюктуациях концентрации». Таким образом, по существу все эти явления представляют собой единый процесс, который может быть описан с разных точек зрения.. Будем следить за движением отдельной частицы и рассмотрим краткую теорию броуновского движения, развитую Ланжевеном. Находясь в какой-либо среде, частица испытывает действие отдельных беспорядочных молекулярных толчков, возникающих при общем действии силы трения, или сопротивления среды. В первом приближении силу сопротивления среды можно рассматривать как непрерывную силу и величина ее пропорциональна первой степени скорости. Поэтому при движении частицы вдоль оси х на нее действует сила сопротивления, равная: ах сИ ' 142 Глава П, Статистическая физика, механика и термодинамика где ь — коэффициент, зависящий от размеров частицы и вязкости среды.
Для сферической частицы радиуса т согласно закону Стокса: ь = бпГ1к, (2,30) где 1к — коэффициент внутреннего трения жидкости. Результирующая сила молекулярных толчков в направлении движения частицы характеризуется компонентой Х по оси х. Поэтому дифференциальное уравнение движения частицы имеет вид: и —, = — ь — +Х.
дтх дх (2,31) Это уравнение могло бы описать нам движение частицы, если бы величина Х была известной. Однако, как мы знаем, молекулярные точки являются беспорядочными, вследствие чего изменения величины Х носят случайный характер, и мы не можем, решая уравнение (2,31), найти траекторию броуновской частицы.
Можно найти только некоторое среднее перемещение частицы по оси х за какое-либо время. Поэтому в уравнение (2,31) необходимо ввести средние величины. Сначала преобразуем это уравнение, умножив обе части на х. Тогда получим: (2,31') Легко показать простой проверкой, что дех 1 дг / дх1г х — = — — (х') — ( — ) .
Дге 2 Дгг (Д1) ' Подставляя это выражение в формулу (2,31'), находим: тя Д' ! Дх1г Дх — — (х') — и ( — ) = — ьх — + Хх = — — — х'+ Хх. 2 Дгг 1ДГ) И 2 Дг Переходим к средним значениям переменных Х н х: — д„(хг) — и1 — ) = — — —,(х')+Хх. (2,32) (А~~г В это соотношение входит величина и 1 — „), которая представляет собой удвоенную среднюю кинетическую энергию частицы, приходящуюся нц движение по оси х, т.
е. на одну степень свободы. При постоянной температуре между броунов. ской частицей и молекулами среды происходит вследствие толчков непрерывный обмен энергией, в результате которого ча- Э Дх Отступления от второго начала и краткая теория флюктуациа 143 стица (согласно теореме о равномерном распределении энергии по степеням свободы) имеет на одну степень свободы среднюю энергию, равную энергии молекулы также на одну степень свободы, т. е. — 1 = — йт. 2 Следовательно, т. ( — „, 1 = 2е, = й Т.
Средняя результирующая сила Х молекулярных ударов равна, очевидно, нулю, так как удары эти беспорядочны и за достаточно долгое время не могут дать постоянно направленной слагающей. Поэтому формула (2,32) принимает вид: ел ив 2 М' — — (х') — И Т = — — — (х'). 2 й1 В это,выражение входит среднее квадратичное смещение частицы по оси х, которое является неизвестной функцией времени. Обозначим: нх' и= —. т Тогда т — = — (ь и — 2йТ), ги или Это уравнение легко интегрируется, и общее решение имеет вид: 2яТ и= — + Се где С вЂ” константа интегрирования. Анализ второго слагаемого в правой части показывает, что оно весьма мало и для сравнительно больших промежутков времени им вполне можно пренебречь, так как при радиусах частиц менее 10-4 см масса их порядка <!О-'Я г и отношение — велико.
Поэтому с достаточной с степенью точности: 2йТ и= —. 144 Глава П. Статистическая физика, механика и термодиналсика Заменяя и его значением и интегрируя это выражение, находим: — х1еТ хт = — 4. (2,33) Здесь постоянная интегрирования равна нулю, если рассматривать х' как среднее квадратичное смещение частицы по оси х от начального условного положения.
Из (2,33) находим корень из среднего квадратичного смещения, как меру интенсивности броуновского движения: (2,34) и Для сферической частицы ь выражается формулой (2,30). Поэтому (2,35) Мы получили формулу Эйнштейна — Смолуховского, которая была выведена также различными другими способами. Она показывает, что смещение броуновской частицы пропорционально квадратному корню из времени наблюдения и, кроме того, зависит от температуры и вязкости среды, а также от размеров частицы. С повышением температуры Лх растет, так как удары молекул становятся интенсивнее; с увеличением вязкости среды Лх уменьшается, что можно объяснить возрастанием силы внутреннего трения.
Наконец, уравнение (2,35) показывает, что чем больше радиус частицы, тем меньше ее смещение Ьх в броуновском движении. Формула (2,35) была весьма детально проверена Ильиным, Перреном, Зигмонди и другими исследователями и.получила блестящее подтверждение для самых разнообразных условий опыта. Заметим, что, кроме простейшего случая броуновского движения, Смолуховский дал также теорию для более сложных процессов, когда частица совершает броуновское движение, находясь под действием разнообразных внешних сил (поле силы тяжести, упругая сила и др.). Рассмотрим теперь поведение коллоидного раствора, представляющего собой жидкость, в которой взвешены мельчайшие.
частицы, обладающие броуновским движением. В такой макроскопической системе мы не различаем отдельных частиц и процесс броуновского движения множества таких частиц может быть представлен как диффузия ~в растворе. Так, например, если в сосуд поверх коллоидного раствора осторожно налить чистой жидкости, то можно наблюдать диффузию взвешенной фазы в чистую жидкость. Макроскопический процесс диффузии д !О.
Отстулления от второго начала и краткая теория флюктуачид 145 происходит вследствие разности концентрации в разных частях системы, но микроскопический механизм диффузии состоит в броуновском движении отдельных частиц, которые «случайно» попадают в области пониженной концентрации, н происходит перенос массы. Если первоначально в слое с координатой хе имеется ло частиц в коллоидном растворе и процесс протекает в направлении х, то простейшее дифференциальное уравнение такой одномерной диффузии имеет вид: дл дгл — =Е) —, дг дхг ' где л — число частиц в слое с координатой х в момент времени 1 и 0 — коэффициент диффузии коллоидного раствора.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
