Радушкевич Л.В. Курс статистической физики (1185139), страница 34
Текст из файла (страница 34)
Если рассматривать изолированную систему, то для нее полная энергия есть величина постоянная, т. е. Е=Е(Чь с)г... рь рь ...) =сопз1, Это условие можно рассматривать как уравнение, связывающее все параметры состояния, или в фазовом пространстве как уравнение некоторой поверхности. Мы будем называть ее гиперповерхностью энергии или сокращенно просто поверхностью энергии в фазовом пространстве. Легко видеть, что она является поверхностью (2))ч' — 1) измерений, как в реальном трехмерном пространстве какая-либо поверхность является двумерной. Какие бы изменения ни претерпевала изолированная система, ее энергия остается постоянной, а это означает, что фазовая траектория данной изолированнойй системы лежит всеми точками на гип ер поверхности энергии.
В дальнейшем мы будем рассматривать не одну систему, а множество (ансамбль) систем и их взаимное расположение в фазовом пространстве. Это дает повод ввести представление о фазовом объеме, подобно тому как в геометрии трехмерного пространства мы также рассматриваем объемы, Очевидно, какой-либо объем в фазовом пространстве имеет 2~У измерений. Для удобства изучения объемного распределения систем мы разделим фазовое пространство на так называемые эле- 169 Э' д Основные элементы фовового пространства м е н т а р н ы е о б ъ е м ы, причем величина каждэго такого объема, подобно объему трехмерного параллелепипеда, выражается как с~О=тейт'сгч2' .
сецн' Яе ' фв' . Ян, где все Щ и Нрн означают достаточно малые интервалы параметров состояния. Понятие фазового объема нам уже встречалось, когда мы рассматривали кинетическую теорию газов, а также статистику Больцмана. Очевидно, элементарные фазовые объемы Г-пространства аналогичны элементарным ячейкам пространства скоростей в статистике Больцмана, хотя он пользовался ес-пространством. Величина элементарного фазового объема должна быть рационально обоснована. Как мы видели ранее, Больцман разделяет пространство скоростей на ячейки, размеры которых настолько еще велики, что в них лежит много изображающих точек — молекул, но которые по объему все же настолько малы, что микросостояние молекул в каждой ячейке можно считать одинаковым.
Этот выбор может быть принят при решении простейших задач статистики газов, хотя Больцман при переходе к пределу и считает объем бесконечно малым, т. е. имеется и виду «физически» бесконечно малая величина. Однако при решении более общих задач статистики, и особенно в связи с квантовой статистикой, соображения Больцмана нельзя считать обоснованными, к тому же они не позволяют количественно установить величину элементарного объема. Последнее можно сделать лишь на основании квантовой теории, которая дает возможность последовательно выбрать необходимую величину элемента объема. Суммируя элементарные объемы Нй по всему фазовому пространству или по его части, ограниченной поверхностью постоянной энергии, получаем котгечный фазовый объем как интеграл: ~~=~ ' ' ' ~ сзет1сзств ° тгР1 сгРг вв всем В и р Очевидно, величина й является функцией обобщенных координат и импульсов фазового пространства.
Для дальнейшего весьма существенное значение имеет то обстоятельство, что й является функцией энергии системы Е. Ранее было отмечено, что Е определяется значениями обобщенных координат и импульсов, т. е. каждой фазовой точке с координатами дь аг Рь рм... соответствует определенная энергия. Следовательно, 170 Г л а в а 1П. Основные наложения статистической фиеини фазовому объему !с, выделенному в фазовом пространстве, отвечает энергия Е, поэтому можно принять, что фазовый объем является функцией энергии: !с = (! (Е).
Тогда изменению энергии от Е до Е+с!Е соответствует приращение с!к1, т. е. слою толщиной ЫЕ отвечает объем: ссЯ = де ссЕ. дм (3,2) Характерной особенностью ансамблей из очень большого числа частиц является то, что фазовый объем очень быстро растет с энергией системы. Этот рост происходит тем быстрее, чем больше частиц в системе. Таким образом, производная — чрезвычайно резко возрастает по мере увеличения числа частиц в системе, т. е. весьма быстро возрастающая функция энергии Е. Это следствие имеет важное значение в статистике. Ниже на простейшем примере идеального газа мы покажем его справедливость (стр.
182). 5 6. лнеамблн енотам в фазовом проетранетва В параграфе ! (стр. !59) было впервые указано, что метод Гиббса сводится к рассмотрению поведения большого числа систем, тождественных по своей природе, причем они отличаются друг от друга только по начальным условиям. Такая совокупность из большого числа систем была названа статистическим м а пса м бл ем. Число систем в ансамбле велико, но совершенно произвольно и в пределе может быть принято равным бесконечности.
Мы будем рассматривать подобные ансамбли в фазовом Г-пространстве. Так как началЬные положения систем в ансамбле различны, то в какой-либо момент времени состояние всего ансамбля в фазовом пространстве изобразится совокупностью отдельных фазовых точек. Отдельные системы ансамбля изменяются со временем и благодаря этому их изображающие точки движутся друг подле друга по некоторым траекториям, причем каждая точка перемещается так, как будто других не существует.
Этот характер движения ансамбля Гиббс сравнивает с движением взвешенных частиц или краски в ~воде. Если, например, в медленно текущую воду в канале или в трубе впустить пипеткой небольшое количество краски, то будет видно, как струя окрашенной жидкости движется в чистой воде, испытывая повороты и различные деформации. Аналогич- б 6. Ансамбли систем в фавовом пространстве 171 ным образом движется весь ансамбль систем в фазовом про.
странстве. Необходимо обратить внимание на то, что в действи. тельности нас интересует лишь одна система, которая и является реальным изучаемым объектом. Остальные системы являются вспомогательными, представляя собой как бы мысленные копии данной системы, взятой в разных возможных состояниях. Следовательно, все эти различные вспомогательные системы представляют собой изображения различных состояний данной реальной системы в разные моменты ее перемещения. Необходимость введения искусственных построений Гиббса вытекает из того, что хотя движение отдельной системы описывается точными законами динамики, тем не менее из-за неопределенности начальных условий мы не можем знать точно, где мы застанем систему в определенный момент времени.
Поэтому и приходится, вводить многочисленные возможные копии данной системы с разным начальным состоянием. Отсюда путем применения теории вероятностей можно вывести состояние реальной системы (Гиббс сравнивает этот метод с принципом возможных перемещений механики). Не зная точно начальных условий системы, мы будем взамен этого всюду пользоваться основной гипотезой о р авновероя т ноет и, т.
е. будем всегда допускать, как это уже делали в статистике Больцмана, что наша система может с одинаковой вероятностью попасть в любую ячейку фазового пространства. Системы, составляющие ансамбль, могут быть вообще раз. лично распределены в фазовом пространстве. Мы будем далее рассматривать объемное распределение фазовых точек или систем, т.
е. объемно-распределенны й а н с а м бл ь, когда системы, обладающие различными энергиями, находятся в виде объемного «многомерного облака», границы которого вообще могут быть удалены в бесконечность. Число систем йЧ в каком-либсл-выделенном элементарном объеме ЫИ фазового пространства пропорционально величине этого объема; оно, кроме того, вообще зависит от той области Г-пространства, где мы выбрали объем ствс, и от времени, т. е. тттЧ=)(Чь Чь ° °, Рь Рь ° ., 1) ~И. Функцию 1, стоящую в этом выражении, мы будем называть плотностью распределения систем и обозначать через р, т. е. Р =1(Чь Чъ, Рь Ръ .. °, 7).
Следовательно, число систем в элементарном фазовом объеме есть ИМ=р ° стьс., (3,3) 172 Г л а в а 1И. Основные положения статистической физики Плотность распределения указывает, какое число систем находится в единице фазового о б ъ е м а. Вероятность попадания одной системы в фазовый объем Ю можно представить из (3,3) как сспз = — = ~~ с(й =)(сИ, (3,41 где функция )( есть и л о т н о с т ь в е р о я т н о с т и )(= ~. Вводя Р интеграл нормировки, находим: Понятие статистической плотности нам уже встречалось, когда мы выводили максвеллов закон распределения скоростей газовых молекул. В дальнейшем мы будем рассматривать н слоистое распре. деление ансамбля, т. е.
случай, когда системы лежат в тонком слое толщиной ЬЬ с поверхностью Р. Тогда число систем в та. ком слое равно: бйГ=Ре Р К. Наконец, далее мы обратим внимание на поверхностное р а с п р е д е л е н и е, т. е. будем рассматривать ансамбли систем, лежащих на одной поверхности. Если системы ансамбля обладают одной и той же энергией, т. е. Е=!дет (одно и то же), то, очевидно, весь ансамбль окажется расположенным на одной гиперповерхностн энергии, так как все системы движутся по различным фазовым траекториям, лежащим на одной и той 1ке поверхности, удовлетворяющей условию: Е=сопз1.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
