Радушкевич Л.В. Курс статистической физики (1185139), страница 38
Текст из файла (страница 38)
Поэтому полагаем: 1 Я= —— В Ю с(чв = сопв1 ° е в ° сИ (4,5') Константа в этом выражении легко определяется из условия нормирования (4,3): е ~е(е=сопв1 ~е ' .сИ=1, откуда сопв1 = 1 (4,6) ~е ело Следовательно, Е е е но с(яе = (4,7) )е аЯ Постоянная величина, входящая в знаменатель формулы (4,7), носит название интеграл а состоя,н и й (нлн интеграла по состояниям): Я = )' е в сИ. (4,8) где 0 — положительная величина, которую Гиббс называет м одулем канонического распределения.
Физический смысл этой величины будет выяснен позднее. Пока следует отметить, что принятие обратной константы 1/О является целесообразным потому, что в экспоненте показатель степени всегда должен быть безразмерным, а между тем в (4,5) в него входит размерная величина энергии. Для получения безразмерной величины показателя при любых единицах энергии необходимо ввести делитель с принятой размерностью энергии.
Тогда (4,5) принимает вид: !90 Глава Лт. Виды статистического распределения Она имеет весьма важное значение при решении задач статистики. Необходимо заметить, что в формуле (4,8) ннтегрирова. ние ведется по всем фазам, т. е. е л Е= ~в 'й га = ~ . ° . ~с в с(д,сУд ... г(р, ар, зсз фазы Следовательно, |величина Я является определенным интегралом по всем состояниям и величиной конечной; она не зависит от избранного состояния ансамбля, а относится ко всему ансамблю. Поэтому для удобства расчетов можно положитьс Ф Е=д ', (4,9) где зр — постоянная, имеющая, как видно из (4,9), размерность энергии.
Величина зр определена ниже и будет показана допустимость обозначения (4,9). Вводя чыражения (4,8) и (4,9) в формулу (4,7), находим: ф-в г1тв=в в с(Я. (4,10) Сравнивая полученное соотношение с (4,2), находим формулу для плотности вероятности: ф-в у=е е (4,1! ) представляющую собой формулу Гиббса для канонического распределения систем в фазовом пространстве.
Очевидно, число систем в единице объема фазового пространства легко найти из (4,2); оно равно: (4,12) С помощью выведеннйх соотношений решаются многие задачи статистики (см. главу Ч) и прежде всего важнейшая из них, состоящая, как было сказано выше, в распределенииэнергии вансамбле из тождественных систем. В самом деле, в главе П1 было отмечено, что объем (с является функцией энергии, так что сИ = — ФЕ. дИ дВ 4 2. Каноническое раснредееение но Гиббсу 191 Вводя это соотношение в формулу (4,10) для вероятности состояния с энергией от Е до Е+с)Е, находим: э-л — д1с с(тв=д а йЕ.
дЕ Отсюда получается функция распределения энергии в ансамбле: ~-Е Ч~=а е (4,14) Перейдя к анализу формулы (4,14), необходимо отметить весьма характерную черту канонического распределения по энергиям для макроскопических систем. Можно показать, что функция распределения энергии Ч' в формуле (4,14) характеризуется очень о с т р ы м м а к с и м ум о м, соответствующим некоторому значению энергии.
Иначе говоря, для ансамбля из очень большого числа частей дисперсия энергии при каноническом распределении весьма мала, ~г. е. уклонение от величины энергии, соответствующей максимуму, ничтожно мало. Это очень важное свойство канонического распределения можно установить анализом формулы (4,14), если обратить внимание на оба множителя в правой части, которые являются функциями энергии Е.
Первый множитель представляет собой монотонно убывающую функцию Е (так как ф и 8 — постоянные). Второй множитель — весьма быстро возра- дЕ стает с энергией, причем особенно резко увеличивается с увеличением числа частиц (систем) У ансамбля. Об этом было сказано в главе Ш, и это свойство было показано на примере идеального газа в Г-пространстве (стр. 182). Очевидно, произведение двух функций Е, из которых одна монотонно убывает, тогда как другая чрезвычайно резко возрастает, неизбежно приводит к образованию очень острого максимума для величины Е. Таким образом, согласно (4,!3) вероятность сйр для систем обладать энергией как больше, так и меньше некоторой величины Е „„соответствующей максимуму, ничтожно мала.
Следовательно, отклонения от состояния с энергией Е„,„, встречаются исключительно редко в системах из очень большого числа частиц. Мы пришли к этому выводу прямым анализом гиббсовой функции распределения энергии, но в этом можно убедиться также путем применения основной теоремы о флюк. туациях. Ранее было показано в самом общем случае (стр. 20), что если система состоит из большого числа Ф одинаковых частиц, 192 Г л а в а г т'. Вида статистического расаределеиии то для аддитивной величины М относительная флюктуация убывает обратно пропорционально 3~ге'. Для нашей реальной макроскопической системы из огромного числа частиц энергия является аддитивной величиной, и на этом был основан весь вывод канонического распределения.
Поэтому мы можем сказать, что для такого распределе6и г ния относительная флюктуация р„, 2ч энергии обратно пропорциональна квадратному корню из числа частиц и для макроскопических систем составляет ничтожную величину порядка !О-' — 10-"%. Это значит, что с вероятностью, исключительно близкой к достоверности, можно утверждать, что в термостате макроскопическая система при равновесии будет обладать определенной'энергией, уклонения от которой почти невозможны.
Если вновь обратиться к схеме фазового пространства, вводя воображаемые системы, копирующие нашу реальную систему, то можно сказать, что подавляющее число систем находится при статистическом равновесии близ, области пространства (рис. 25), соответствующей энергии Е„„„и лишь ничтожное число систем лежит вне этого ограниченного объема, так что при очень большом числечастицвкаждойсистемеэтими последними системами можно пренебречь.
Можно также заметить, что согласно каноническому распределению реальная макроскопическая система при всех своих изменениях ~в условиях равновесия проводит больше всего времени в очень узкой области фазового пространства, редко от нее удаляясь. Этот окончательный итог наводит на мысль о практической непреложности второго начала термодинамики для макросистем.
Причиной наблюдаемой неизбежности второго начала является огромное число частиц в таких системах. Следовательно, вообще вйводы статистики для макросистем являются вполне строгими, несмотря иа случайность, лежащую в основе поведения отдельных частиц. $ 3. Мнкрокаиокичвоков равпрвдоивнив онотви в фазовом проотраиотвв Допустим, что система находится в оболочке, где она полностью изолирована от внешней среды и потому энергия ее при всех процессах остается постоянной. Условимся называть распределение энергии для одной пол.
постыл изолированной системы м и к р о к а н о н и ч е с к и м Э Д Микраканвникескае распределение систем в фазовом прастринстве 193 распределен нем по фа за м. Так как при этом распределении Е = сопз1, то, очевидно, в фазовом пространстве траектория системы лежит всеми точками на определенной гиперповерхности энергии, причем на ней же расположены траектории и всего ансамбля систем.
Движение таких систем по поверхности энергии не может быть описано с помощью теоремы Лиувилля, так как последняя соблюдается только при объемном распределении систем. Однако если данная система состоит из большого чиела частей, то практически не нарушая условий микроканонического распределения, его можно заменить объемным распределением, удовлетворяющим следующим требованиям. Пусть системы расположены в очень т о н к о м с л о е фазового пространства, так что толщина слояопределяетсянебольшим отклонением от заданного постоянного значения. Тогда для такого слоистого распределения соблюдйются следующие условия: 1) при Е<Ес фазовая плотность р=О, 2) при Ее+с1Ее)~Е)Ее фазовая плотность рным, причем р ро=сопз1, 3) при Е)Ее+с(Ес фазовая плотность р=О.
Этим условиям, короче говоря, соответствует такое распределение систем, когда плотность р, отлична от нуля только в слое, ограниченном весьма близкими друг к другу поверхностями энергий в интервале значений от Е, до Ев+сеЕе. Всюду вне этого слоя р=О. Задавая с(Ес сколь угодно малым, мы считаем, что плотность систем в тонком слое всюду является постоянной. К такому объемному «тонкослойному» распределению вновь применима теорема Лиувилля, и все прежние возможности и упрощения, вытекающие отсюда, становятся законными. Число систем, лежащих в этом слое, можно поэтому выразить соотношением: е,+ве, Росукс =Ро ) вы=рс ые„ Ео так как р, постоянно.
Этому скачкообразному тонкослойному распределению энергии соответствует на диаграмме (У, Е) весьма узкий сильно вытянутый прямоугольник (рис. 26), горизонтальное основание которого равно ЬЕс. Таким образом, ми. кроканоническое распределение можно рассматривать как пре. дел объемного распределения, когда дчЕс-+О, Однако еще более 13 л. в. Радушкевкч 194 Г л а в а 1У.
Виды статистического распределения Э целесообразно прерывистое слоистое распределение заменить непрерывным рас. пределением, считая, что системы распределены по всему фазовому пространству, а яе только в условно ограничен— ном слое. Для того чтобы распределение и при непрерывности расположе. ния систем в пространстве являлось по- прежнему микроканоническим, необхоосе ~ димо выбрать такое объемное распре- деление, при котором дисперсия энергии Рнс.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
