Радушкевич Л.В. Курс статистической физики (1185139), страница 40
Текст из файла (страница 40)
Множители, зависящие от р„, р„, р„вполне аналогичны тем, которые мы нашли в предыдущей задаче. Это значит, что в силовом поле в каждой части реального пространства при равновесии имеет место максвелловское распределение скоростей, независимо от того, где находится молекула и, обратно, независимо от скоростей молекул существует определенное распределение числа молекул в пространстве.
Действие внешнего поля сказывается, таким образом, на распределении молекул в объеме газа, не нарушая максвелловского распределения скоростей. При этом видно, что температура во всех частях объема газа должна быть одной и той же. Рассмотрим в виде примера действие силы тяжести на однородный газ. Эта задача связана с важной проблемой геофизики о равновесии в земной атмосфере. Допустим, что газ состоит из одинаковых молекул. На каждую из них действует сила тяжести и, следовательно, молекула обладает потенциальной энергией, равной работе подъема на некоторую высоту.
Считая для не очень больших высот силу тяжести постоянной и пренебрегая зависимостью от широты места, возьмем начало координат на уровне моря и направим оси х и у горизонтально, а ось г вертикально вверх. Тогда потенциальная энергия молекулы равна; (у=таз, ю~ Г ли е а т'К Виды статистического расаределенаа причем она не зависит от х и д. В этом случае из общей фор- мулы (4,20) легко получить частное выражение, если выделить все множители, зависящие от импульсов: с'твс тву г т г (4,21) где величина; ае ах ау ~ а'хну е в де (4,22) Интегрируя выражение в знаменателе, получаем: тег — з е ~й = — = сои з1. чае в Тогда формула (4,22) принимает вид: О а в (4,23) Отсюда видно, что вероятность нахождения молекулы на высоте х над поверхностью земли убывает с высотой по экспоненциальному закону.
Отсюда легко получить хорошо известную б а р о м е т р и ч е с к у ю формулу зависимости плотности газа от высоты. В самом деле, величина Ии, означает вероятность нахождения молекулы на высоте х в слое толщиной с(х, Оиа пропорциональна среднему числу частиц в единице объема, т. е. чг'и,- сЬ;, представляет собой вероятность при данном х найти молекулу на площадке Ыз на данном горизонтальном уровне. Ясно, что это есть величина, не зависящая от положения молекулы на этом уровне, т.
е. все положения равновероятны. Из формулы (4,21) легко найти вероятность того, что молекула независимо от ее скорости находится на высоте между х и я+с(з над землей. Имеем: э 4. Статистика для и-лространства. Расарвд. Максвелла — Бальцнана 201 но в свою очередь изменение числа частиц в единице объема пропорционально изменению плотности газа, т. е. й'г- с(рт Итак, можно написать согласно (4,23): акл с(р, = сопз1. е о отж. Очевидно, множитель перед с(г имеет смысл плотности Р, газа на высоте г, поэтому тат р, = сопз1 е Мы получим упомянутую выше барометрическую формулу, если опять положим здесь й=йТ. Тогда тел р*= ров лт' .
(4,24) Так как й = — и таст=М (молекулярный вес газа), то фор- 11 лтр мулу (4,24) можно написать в виде: лтвт р. = Рое (4,25) Если рассматривать смесь нескольких газов, имеющих различные молекулярные веса, то не представляет затруднения провести те же выводы для каждой фракции, и тогда из формулы (4,25) легко установим, что чем больше молекулярный вес газа, тем меньше его плотность будет на данной высоте а.
Найдем, например, высоту Н, на которой плотность составляет половину максимальной ро на уровне моря. Тогда имеем по (4,25): г=гт, 1 Рн= о Ро н, следовательно, 1п2= —, Мх44 йТ Полагая здесь а=О, находим ро=сопз1, т. е. р, есть плотность газа на уровне моря. Следовательно, в|ля Р. =Ров о 202 Г л а в а Лт. Види статистического распределения откуда Н=1п2 тт т Ма ' Этот результат показывает, что чем больше молекулярный вес газа, тем меньше высота, на которой его плотность будет составлять половину от максимальной. Поэтому в атмосфере тяжелые компоненты будут находиться при равновесии преимущественно в нижних слоях, а более легкие — в верхних.
Приблизительно это соответствует действительности. Зависимость от массы частицы имеет значение при изучении броуновского движения в коллоидных растворах, в которых взвешены частицы с очень большой массой по сравнению с массой молекулы; обычно, как показывают наблюдения, масса коллоидной частицы во много миллионов раз больше массы молекулы. Эти частицы обладают тепловым броуновским движением, аналогичным движению молекул, и находятся под действием постоянной силы тяжести. Для них можно провести все аналогичные расчеты и прийти к барометрической формуле, которая здесь соответствует седиментационному равновесию. Исследования Перрена с коллоидными растворами гуммигутта показали справедливость формулы (4,25), однако опыты показали, что высота слоя Н оказалась равной всего нескольким сотым долям миллиметра для частиц радиуса 0,1 1г.
Изучая распределение числа частиц по высоте, Перрен смог определить число Авогадро Уе, так как оно входит в формулу (4,24). Для составных частей атмосферы высота Н, напротив, весьма велика вследствие малой массы частиц. Так, для кислорода Н=б км, а для водорода Н=80 км. Предыдущие расчеты привели к выводу, что в тяжелом газе во всех слоях господствует максвелловское распределение скоростей, независимо от высоты слоя.
Так как й=йТ, от отсюда мы приходим к выводу, что температура во всех слоях одна и та же, а следовательно, средняя кинетическая энергия молекул не зависит от высоты. Этот результат в свое время вызвал ряд возражений. В самом деле, если какая-нибудь молекула на высоте з1 имела кинетическую энергию-к.тппг а затем такая молекула поднялась вверх до высоты зг, то ее кинетическая энергия по законам механики должна уменьшиться за счет увеличения потенциальной энергии, так как гпо1 п~отт т — = тпК (зт з1). 2 2 д т.
Статистика для р-аространсгва, Расаред. Максвелла — Болвцмана 203 Следовательно, должно быть ое(от. Отсюда как будто следует, что в верхних слоях газа присутствуют более медленные молекулы, чем в нижнем слое, а значит, и температура в верхних слоях должна быть ниже. Однако это заключение неверно, так как оно относится лишь к одной молекуле и не учитываются столкновения ее с другими молекулами газа. За счет столкновений энергия молекулы может увеличиваться и уменьшаться, но в среднем она остается постоянной во всех слоях. Это следует также и из термодинамических соображений, так как возникновение разности температур в отдельных слоях за счет теплового движения означало бы нарушение второго начала и приводило бы к возможности регре1пшп шоЫ!е второго рода. Заметим еще, что барометрическая формула (4,25) должна соблюдаться только при статистическом равновесии системы.
Исследования показали, что на различных высотах в атмосфере наблюдаются отклонения от предельной формулы (4,25), что указывает вообще на отсутствие статистического равновесия в земной атмосфере. Кроме того, эта формула относится только к идеальному газу, тогда как в воздухе всегда присутствует водяной пар, свойства которого могут отличаться от свойств идеального газа. Поэтому эта формула может быть неверной. На дальнейших вопросах состояния атмосферы мы не можем останавливаться. Напомним, что во всех выводах мы рассматривали в каче. стае системы одну-единственную молекулу газа и описывали ее состояние в 1л-пространстве.
Принципиально безразлично, как рассматривать при этом остальные молекулы: можно в 1л-пространстве поместить все остальные молекулы, и тогда состояние газа определится размещением его молекул в фазовом пространстве; но можно иметь в виду лишь одну какую-либо молекулу как систему, тогда в 1л-пространстве остальные молекулы будут копией данной, т. е. фиктивными системами, указывающими разные состояния данной молекулы в разное время.
Мы считаем при этом, что одна взятая нами молекула пройдет за достаточно большое время через все состояния, которые заняты фиктивными молекулами. Наконец, можно получить те же формулы, если прибегнуть к описанию в Г-пространстве. Тогда исходной системой будет данный газ в целом и состояние его будет изображаться одной точкой в этом пространстве. Другие системы здесь будут являться копиями данного газа в разных состояниях. ГЛАВА У ОСИОВНЫЕ ВОПРОСЫ СТАТИСТИЧЕСКОЙ ТЕРМОДИНАМИКИ $ !. Вводные аамечаннн Общий статистический метод описания систем в равновесии находит себе применение в разных областях физики. В совре. менной физической науке является, бесспорно, установленным тот факт, что в основе поведения физических систем различной природы лежат законы квантовой теории.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
