Радушкевич Л.В. Курс статистической физики (1185139), страница 39
Текст из файла (страница 39)
26. была бы ничтожно малой. Как раз это. му требованию удовлетворяет рассмо. тренное ранее каноническое распределение для макроскопических систем. Мы видели, что при таком распределении средняя относительная флюктуация энергии чрезвычайно мала. Поэтому можно ступенчатое прерывистое распределение в слое, удовлетворяющее написанным выше условиям, з а м е н и т ь непрерывным каноническим распределением. Тогда на рисунке 26 взамен прямоугольной фигуры мы получим непрерывную кривую с очень острым максимумом с двумя ниспадающими ветвями, аоимптотически и очень быстро приближающимися к оси абсцисс. Иначе говоря, мы заменили прерывистую функцию непрерывной функцией, обладающей резким макснмумом в очень узком интервале энергии.
Можно дока- вать, что ошибка от такой замены при различных расчетах соответствует бесконечно малым высших порядков. Аналогичная функция рассматривалась в квантовой механике Дираком и была названа его именем '. Таким образом, поверхностное распределение для систем,на. ходящихся в изолирующей оболочке, мы свели к пространственному распределению для подсистем в термостате при условии, что интервал изменений энергии сна очень мал.
Смысл такой операции состоит в возможности с помощью единого метода рассматривать как системы, находящиеся в термостате, т. е, обменивающиеся энергией с окружающей средой, так и изолированные системы. И для того и для другого случая применимы формулы канонического распределения, откуда становится по. нятным применение термина «микроканоническое ' распределение» к случаю канонического с исчезающе малой дисперсией энергии. Нужно, впрочем, иметь в виду, что реальные системы ' Эта б-функция находит себе множество приложений в современной фнанке, а также в разных областях техники. Р 4.
Статистика длл и-пространства. Распред. Максвелла — Больцльана 195 нельзя полностью отнести к какой-либо из двух указанных абстрактных схем. Это понятно, так как абсолютно изолирующих оболочек не существует в природе и обмен никогда полностью нельзя считать исключенным, поэтому такая абстракция является искусственной, хотя и методически полезна. В связи с этим введение малой дисперсии энергии при замене поверхностного распределения на слоистое более соответствует реальным условиям и потому является вполне резонным.
С другой стороны, нельзя реально сконструировать такой термостат, где обмен для системы осуществлялся бы в полной мере, т. е. чтобы система идеально легко обменивалась бы энергией с окружающими ее телами, принадлежащими термостату. Следовательно, и распространенное на большой объем фазового пространства каноническое распределение тоже представляет собой некоторую идеализацию реальных условий. Таким образом, поверхностное мнкроканоническое распределение можно свести к каноническому с очень малой дисперсией энергии. Можзо поставить и обратную задачу, т.
е. рассматривать каноническое объемное распределение как совокупность микроканонических распределений. В самом деле, если представить себе большой ансамбль систем состоящим из многих меньших ансамблей, то ясно, что для каждого нз последних имеет место микроканоническое распределение с малой дисперсией энергии с1Еь. Этому соответствует множество тонких слоев в фазовом пространстве, близко примыкающих друг к другу. Следовательно, большой объемно-распределенный ансамбль состоит из примыкающих друг к другу микроканонически распределенных ансамблей с близкими энергиями Е» Е,, Е„, В дальнейшем мы чаще будем иметь дело с каноническим распределением, Заметим еще, что вообще система в термостате и система в изолирующей оболочке не очень сильно отличаются друг от друга, когда этн системы состоят из очень большого числа частей.
Тогда, с одной стороны, можно считать, что обмен на границе системы имеет место, но вследствие того, что он идет близ поверхности, его можно с некоторым приближением считать отсутствующим и рассматривать систему в течение малого промежутка времени как бы в изолирующей оболочке. $ 4. Статистика длп р-прсстраистаа. Распределение Максвелла — Бельцмана Вновь вернемся к простейшей статистической системе в к идеальному газу, состоящему из одноатомных точечных молекул- и вначале не подверженному действию сил внешнего поля. 13ь 196 Г л а в а ! 1У.
Виды статистического расиределения Когда газ находится в термостате в условиях термодинамического равновесия при постоянной температуре, то следует ожидать в среднем равномерного распределения молекул в пространстве, занимаемом газом, причем скорости должны быть распределены по закону Максвелла. Применяя к этому случаю статистический метод Гиббса, мы должны рассматривать газ как статистический ансамбль, подчиняющийся каноническому распределению, причем все молекулы, как составляющие системы, равноценны. Вероятность для системы находиться в объеме с(11 или иметь энергию в интервале от Е до Е+с(Е при статистическом равновесии выражается общим соотношением (4,7), т. е. е еда айв = где интеграл берется по всему фазовому р-прострянству.
В рас- сматриваемом случае эта формула принимает вид: т 2 21 екр( " 1' ' Рт Ру Рт Рг+" у+'» 'аут'а гд 2тиз сати (4,15) В кинетической теории газов мы уже получили для этой системы ряд важных соотношений, описывающих поведение молекул. Выведем сначала некоторые из этих соотношений, применяя более совершенный метод Гиббса. Введем 1с-пространство, рассматривая в качествеединичной системы одну молекулу. Тогда весь газ можно представить как. ансамбль таких оистем. Одноатомная точечная молекула обладает тремя степенями свободы (1 =3), так что 1с-пространство должно быть б-мерным. В главе П1 было дано общее выражение для элемента фазового объема газа в 1г-пространстве, имеющее вид: НИ=с((У йргсУрут1р„ где объем газа АУ=с(хаус(з, или сЯ=с(с7 йс7у сну,.
Энергия одной молекулы в данном случае представляет собой кинетическую энергию, так как в идеальном газе мы пренебрегаем внешним полем. Поэтому Е= Е-. = 2 (Ф„'+рту+ рт') Ю В. Статистика длп И-пространства, Распред. Максвелла — Балвцмана 197 В числителе и знаменателе последнего выражения отсутствуют функции координат, поэтому величины объемов могут быть вынесены в виде отдельных множителей.
Кроме того, здесь можно использовать свойства показательной функции, и тогда формула (4,15) может быть представлена как 2 2 Рх 2мЪ Др е 2вв др е 2тэ р (4, 16) Рт ~ е ™~ар, ~ е '"'з др ~„, 2тэд (4,17) с1ш =21штт ' с1нтхсгшус(твх. Так как в (4,17) имеет место умножение вероятностей, то мы приходим к выводу о независимости значений компонентов им- пульсов вдоль осей х, у, з. Рассмотрим одно из подобных выра- жений, например, 2 Р„ 2 Е 2 +ее Рх 2тВ Интегрирование здесь ведем по всем значениям р, от — аа До +00. сЛ~ Выделенный здесь множитель — представляет собой вероятность для молекулы, находящейся в объеме газа )т, попасть в небольшой объем с(1т.
То обстоятельство, что эта вероятность совершенно не зависит от энергии молекулы, т. е. она одна и та же для всех молекул, дает возможность прийти далее к выводу о равномерном распределении молекул в пространстве, занимаемом газом. Этот результат мы получили еще в кинетической теории газов (стр. 28). Изучая далее структуру формулы (4,16), замечаем, что сюда входят соотношения одинакового типа, соответствующие отдельным компонентам импульса. Очевидно, эти соотношения в виде множителя представляют собой вероятности того, что значения компонентов импульса молекулы лежат соответственно в интервалах р„, р„+с(р„и т.
д. Таким образом, 198 Г я а е а 1:т'. Виды статистического расяределекия Для поступательного движения молекулы р„=ты, где и— проекция скорости на ось х. Тогда та' О со оси' (4,18) Знаменателем этой формулы является известный ранее интеграл Пуассона. Учитывая его значение, находим: +со скис ) е ' Ии=)/ —. Подставляя это выражение ~в формулу (4,18), получаем найденное ранее максвелловское распределение компонентов скоростей молекул: — ФФ ~йв = 4/ — а ~ ° сси. т ьие ' Полную тождественность этой формулы с выведенной ранее в кинетической теории газов (стр.
82) установим, полагая здесь модуль канонического распределения 8 равным: й=йТ, (4,19) где й — постоянная Больцмана и Т вЂ” абсолютная температура. В дальнейшем будет показано, что формула (4,19) является универсальной и пригодна для самых различных систем. Из (4,17) следует, что вероятность для молекулы независимо от положения в реальном пространстве иметь компоненты скорости одновременно в интервалах Ыи, асо, с(то равна; йо = йо ° с(ш ° г1ш,. Применяя здесь формулу (4,18') для и и аналогичные соотношения для о и ш, мы тем же путем, как и ранее (стр.
32), получаем окончательно общую формулу Максвелла для распределения скоростей молекул. Таков вывод максвелловского распределения скоростей с помощью распределения Гиббса. Общий прием, который мы здесь использовали, легко перенести и на решение более сложных задач для идеальных газов в 1с-пространстве. Рассмотрим, например, случай, когда газ из одноатомных точечных молекул находится под действием внешнего силового поля.
Теперь энергия каждой системы, т. е. молекулы, равна: Ес = Екии+ Еяотс э" т. Статистика длл )ь-лространства. Раслред. Максвелла — Больцмана 199 причем потенциальная энергия является некоторой функцией координат молекулы: Енот=(у(х, у, З) и не зависит от скорости. Вновь рассматривая весь газ как канонический ансамбль систем-молекул, напишем общую формулу Гиббса, которая теперь примет вид: охР[ — 2 (Р„+р,+р,) — — Гу(х,у, с)~дхдудедр„др,др, ьлцт вхр~ 2 З (Рл+Рт+Рс) — — тт(х,у,в)1дхдудедр др сьр (4,20) Аналогичная формула была получена Максвеллом и Больцманом (другим путем), поэтому распределение, выражаемое формулой (4,20), получило название распределения Максвелла — Больцмана. В выражении (4,20) стоят функции, которые распадаются на множители, причем одни из них зависят только от координат, а другие только от компонентов импульсов.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
