Радушкевич Л.В. Курс статистической физики (1185139), страница 37
Текст из файла (страница 37)
Найдем для нашей системы величину действия за один период. Элемент действия равен р с(д. Очевидно, «полное действие» за весь цикл представляется криволинейным «фазовым интегралом», соответствующим площади, ограниченной эллипсом: К=~р.~). Площадь эллипса равна, как известно, г=паЬ. Подставляя сюда найденные выше значения величин полуосей, получаем: При постоянной частоте и различных энергиях находим различные подобно расположенные эллипсы, площади которых относятся как энергии соответствующих частиц: К~ Е1 К, Е, ' Рассматривая непрерывное распределение энергии, можно сказать, что в промежутке между обоими эллипсами площадь заполнена множеством систем с разными энергиями от Е, доЕ,, ГЛАВА 1У ОИйЫ СТАТИСТИЧЕСКОГО РАСПРЕДЕЛЕНИЯ $ 1.
Раепрвдвпвиив еиетвм в фааевем преетраиетве. Педвиетвма в тврмеетатв Методы статистики в настоящее время широко применяются для решения самых разнообразных вопросов физики, однако, как отмечает Шредингер, ев статистической термодинамике имеется в сущности лишь одна проблема: распределение заданного количества энергии Е между У тождественными системами» |. При решенци этой задачи особенно важное значение имеют два наиболее простых случая: )) когда выделяемая система легко обменивается с окружающей средой, т. е. находится в термостате, 2) когда система является изолированной. Первый частный случай приводит к так называемому каноническому .распределению по энергиям, тогда как второй отвечает микро- каноническому распределению (оба термина были введены Гиббсом).
Далее они будут рассмотрены подробнее, но здесь необходимо подчеркнуть, что эти распределения легко переходят друг в друга, так как в реальной природе идеально полного обмена между телами не происходит, так же как и не существует абсолютно изолированных систем. Все сводится к тому, в течение какого промежутка времени мы рассматриваем систему и ка.ковы ее относительные размеры среди других систем, Представим себе какую-нибудь макроскопическую систему, состоящую из очень большого числа элементов (частиц). К таким системам относятся газ, раствор и т.
п. Эту сложную систему мы мысленно расчленяем на отдельные более или менее мелкие части, называемые п о д с и с т е м а м и. Каждая такая подсистема, находясь в большой системе, обычно взаимодействует с остальными окружающими ее подсистемами. Взаимодействие всегда является сложным и вообще. носит случайный характер. Когда, например, в качестве исходной системы выбран газ, состоящий из молекул, которые рассматриваются как подсистемы, то очевидно, что взаимодействие одной молекулы с другими представляет собой вообще сложное явление.
Если следить за избранной подсистемой в течение длительного промежутка времени, то следует учесть, что состояние ее ~ Э. Ш редин ге р, Статистическая термодинамика, ИЛ, 1948, стр, д 186 Г я а в а т"т'. Виды статистического расаоедеяеиия в начальный момент времени должно как-то зависеть от первоначального состояния, или, как говорят, от начальных условий. Однако благодаря многократным и случайным взаимодействиям данной подсистемы с окружающими подсистемами, когда она ~в продолжение большого промежутка времени сумеет «побывать» во многих состояниях, яачальные условия, в которых она когда-то находилась, будут уже ею «забыты», оки окажутся как бы «затерянными» среди последующих событий. Поэтому состояние каждой системы с данной энергией Е осуществляется с одинаковой вероятностью, каковы бы ни были начальные условия. Это положение вполне эквивалентно гипотезе элементарного беспорядка (стр.
23) или равновероятности в статистике Больцмана (стр. 111). Каждая подсистема за длительный промежуток времени должна пройти через все фазы, как следует из эргодической типо. тезы (стр. 159), но в любой момент времени будет существовать некоторое пространственное распределение подсистем, отвечающее статистическому равновесию, причем фазовая плотность их в разных частях фазового пространства будет различной. Следовательно, вероятность разных состояний подсистемы является различной.
Так, можно ожидать, что вероятность данной подсистемы обладать (за счет случайных взаимодействий с окружающими подсистемами) очень большой энергией будет малой, так как эти взаимодействия-должны неоднократно подряд обеспечивать приток энергии к подсистеме, что маловероятно. Также мала и вероятность очень малой энергии,так как при этом подсистема должна часть энергии отдавать другим окружающим подсистемам. Все это очень легко усвоить, если в виде примера представлять себе движение и столкновения молекул газа. Таким образом, за счет случайных взаимодействий с «окружением» состояние выделенной подсистемы меняется, и можно найти вероятность того, что она обладает данной энергией. Разделение исходной системы на малые подсистемы может быть вообще произвольным, но для дальнейшего необходимо ввести ббльшую определенность в этот выбор.
Условимся расчленять систему на части (подсистемы), которые находятся в очень слабом взаимодействии одна с другой, т. е. можно считать, что они изменяются в первом приближении независимо друг от друга. Строго говоря, взаимодействие полностью исключено быть не может, так как мы отмечали, что в природе не существует систем, не зависящих от других систем.
Однако если энергия взаимодействия подсистем в среднем мала по срав. нению с энергией каждой подсистемы, то можно практически е 2. Каноническое распределение по Гиббсу 187 пренебречь взаимодействием. Так, например, взаимодействие может осуществляться за достаточно малый промежуток ~времени, и тогда можно принять, что подсистемы достаточно длительно находятся вне взаимодействия одна с другой. При этих условиях энергия Е всей системы, рассматриваемой как ансамбль подсистем, слагается из суммы энергий Еч, Еь..., Ен... подсистем, т.
е. Е = ~ Е», где энергиями взаимодействия подсистем полностью пренебрегаем. Выделим одну из подсистем исходной системы и поместим ее внутрь некоторого т е р м о с т а т а, представляющего собой тело больших размеров по сравнению с подсистемой и с которым она легко может обмениваться, получая от него часть энергии и передавая ему энергию. Рассматривая подсистему в термостате в течение длительного срока, допустимо считать, что распределение энергии не зависит от времени. Термостат есть внешний фактор, наложенный на подсистему, и его устройство подробнее нас не интересует. Можно рассматривать, как это часто делают, что для данной подсистемы остальные подсистемы, составляющие «окружение», представляют собой тот же термостат. От одной подсистемы в термостате не трудно перейти ко множеству подобных же подсистем, заключенных в такие же термостаты, и тогда получается статистический ансамбль подсистем (которые будем далее для краткости просто называть системами).
Задача сводится к изучению равновесного распределения ансамбля систем в фазовом пространстве. Так как в дальнейшем рассматриваются макроскопические системы, то их характеристики являются с точки зрения статистики средними из величин, относящихся к составляющим элементам. Зная микроскопическое строение системы, можно выводить средние величины, характеризующие макроскопические свойства, а также отклонения отсредних (флюктуации). Выведенныесредние являются средними по совокупности, т.
е. усредненными по всем системам ансамбля, и они приписываются данной реальной системе. 5 2. Квноннчвонов рвопрвдвнвннв по Гнббоу Для вывода формулы канонического распределения систем в фазовом пространстве следует рассмотреть систему, состоящую из почти независимых подсистем, каждая из которых находится в термостате. 188 Г л а в а т"т'. Виды статистического раслределения Число систем (подсистем) в элементе фазового объема есть: Нт'ч =р сЯ, где р — плотность распределения систем, или их число в единице фазового объема, т.
е. вероятность состояния для системы равна: 'тв = — =)( И, ддт (4,2) как было введено в главе 111 (стр. 172). Здесь у — плотность вероятности, причем из условия нормировки: птв = ~ К (И = 1. (4,3) Для ансамбля слабовзаимодействующих систем было найдено, что Е=Е,+Е,+ ... =~Е, С другой стороны, состояние всего ансамбля характеризуется вероятностью г(в, равной вероятности сложного события, состоящего из совпадения «почти» независимых событий, когда отдельные системы обладают данными энергиями, т. е. с(тв! с(юг итре (4,4) е' егИ„ где предэкспоненциальный множитель и константа а одинаковы для всех систем одной природы, составляющих данный ансамбль.
Тогда из (4,1) и (4,4) имеем: ггпг =г(тв2 ггтрр .. ° ггпге ° ° ° =сопз1 ' сев' ' ее т ° ° ° гИ2 гИ2 или ачв = сопз1. еехв» сИ = сопз1 еивгИ (4,5) где общий фазовый объем есть: гИ=ЖггИ2... с(122 .. В формуле (4,5) константа а не может быть положительной; в этом легко убедиться, учитывая, что при а)0 функция еив Оба свойства ансамбля дой системы ввести, как циальную функцию: ~йве = сопз1 будут удовлетворены, если для кажсамое общее выражение, экспонен- В 2. Каноническое распределение по Гиббсу 1В9 непрерывно возрастала бы с увеличением Е и тогда вообще не были бы соблюдены условия нормировки, требующие, чтобы сумма вероятностей состояний для каждой системы не превос- ходила единицы.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
