Матвеев А.Н. Квантовая механика (1185136), страница 46
Текст из файла (страница 46)
Волновая функция Ч' при этом зависит от координат обоих электронов, т. е. от шести переменных. Таким образом, вместо уравнения (71.2) получаем следующее уравнение Шредингера для определения волновой функции Ч" = Чг(гь г,): 7',Ч'+ Р,'Че+ — „,о- [К вЂ” 0 (г,) — 0 (г ) — Усе[ Чг =- О, (71.4) 5 72. Решение задачи в случае пренебрежения взаимодействием между электронами и без учета спинов электронов Точное решение уравнения (71.4) — очень сложная задача. Первым шагом в ее решении является выделение главных, определяющих, взаимодействий. Энергия взаимодействия каждого из 16 заказ го 1оое 241 электронов с ядром больше, чем энергия взаимодействия электронов друг с другом. Поэтому в первом приближении можно пренебречь энергией взаимодействия [),з и вместо уравнения (71.4) рассматривать следующее уравнение: Р;'Р+Ч;'Р+ ф [[Р— и,— и,) Ч =О, где (/, = [/ (гь) и (7ь — (7 (гь) являются потенциальными энергиял1и первого и второго электрона.
Поскольку взаимодействие между электронами не учитывается, каждый из электронов считается движущимся в поле ядра совершенно независимо от движения другого электрона. Следовательно, вероятность его нахождения в той или иной точке пространства и его энергия не зависят от соответствующих вероятностей и энергии другого электрона. Это означает, что энергия двух электронов равняется сумме энергий каждого из электронов, т. е. [Ра ( ! ) + [Р ь (2) (72.2) где [Р' (1) — энергия первого электрона, находящегося в состоянии а, Кь (2) — энергия второго электрона, находящегося в состоянии Ь. Из теории вероятностей известно, что вероятность осуществления двух независимых событий равняется произведению вероятностей осуществления каждого из событий. Учитывая интерпретацию волновой функции Ч' и независимость движений электронов, мы можем сразу написать Ч' (1,2) = Ч'~ (1) Ч'ь (2), (72.3) где Ч', (1) = Ч', (г,), Ч'ь (2) = Чгь (гь) — соответственно волновые функции первого и второго электронов, находящихся в состоянии а и Ь.
Подставляя выражения (72.2) и (72.3) в уравнение (72.1) находим Ч ь(2) ( 7~Ч а (1) + аь — [[Га (!) (7~1 Ч а(1)) + -[-Ч',(1) ~Ъ',Чь(2)+-аь — '[Юь(2) — [7з[ Чь(2))~=0. (72 4) Учитывая, что функция Ч', (!) независима от Ч'ь (2), из уравнения (72.4) получаем 1,'Ч~ (1)+ —,- [Ю' (1) — (7,)Ч',(1)=--ЛЧ' (1), (72.5а) 7',Ч'ь(2) + —,,' !Фь (2) Юь1 Ч"ь (2) = — ЛЧ'ь(2) (72 5б) где Л вЂ” произвольная постоянная.
Можно считать, что эта постоянная включена в величины [Р' и Фь. Поэтому уравнение (72.5а) н (72.56) для определения волновых функций Ч', (1) и Ч'ь (2) и соб- 242 ственпых значений 1Р', (1) и 1Рь (2) принимают следующий вид: Т,'Ч' '(1)+ — „,0 (К вЂ” (l,) Ч",(1) = О, (72.6а) У,'Чь(2)+ — ~ —,(Юь — (7,) Чь(2) =б. (72. 66) Это есть уравнения движения электрона в кулоновском поле ядра с зарядом +2а, которые были подробно рассмотрены в задаче о водородоподобном атоме. Собственные функции и собственные значения даются формулами (47.39) и (47.24). Электроны могут находиться в различных состояниях совершенно независимо друг от друга.
Распределение вероятностей местоположения электронов независимо друг от друга н для каждого электрона совпадает с распределением вероятностей в водородоподобном атоме. Полная энергия равняется сумме энергий электронов. Энергетические уровни каждого из электронов совпадают с энергетическими уровнями водородоподобного атома. Однако такая сравнительно простая картина существенно изменяется, если принять во внимание взаимодействия электронов и их спины.
Ч' (2 1) = Ч'~ (2) Ч'ь (1) принадлежащая тому же собственному значению (Р' =- (Р; + В'„. Непосредственная подстановка выражения (73.1) в уравнение (72.1) показывает, что это действительно так. Таким образом, имеются две волновые функции, принадлежащие одному и тому же собственному значению, т. е. собственное значение энергии выро- 16~ 243 5 73. Математическая формулировка принципа Паули Тождественность различных электронов.
Электрон рассматривается как точечная частица, имеющая определенную массу и спин. Все физические свойства различных экземпляров электронов совер. шенно аналогичны друг другу. Поэтому, если один нз электронов заменить другим, то в рассматриваемой ситуации ничего не изменится. Обменное вырождение. Волновая функция (72.3) является решением уравнения (72.1) с собственным значением энергии В' = Уг; + + )Рь. Очевидно, что ввиду идентичности электронов ничего не изменится, если электрон 2 поместить в состояние а, занимаемое электроном 1, а электрон 1 поместить в состояние Ь, занимаемое электроном 2, т. е. ничего не изменится, если электроны поменять местами.
Следовательно, волновая функция, получающаяся в результате такой перемены мест электронов, также является решением уравнения (72.1). Таким образом, наряду с волновой функцией (72.3) решением уравнения (72.1) является также волновая функция ждено, что является результатом идентичности эвектронов. Зто вырождение называется обменным вырождением. Симметрия волновых функций. Ввиду тождественности электронов очевидно, что плотность вероятности найти первый электрон в точке го а второй — в точке гз равняется плотности вероятности найти второй электрон в точке г,, а первый электрон— в точке гз. Поэтому можно написать ! Ч" (1,2) ~э = ! Ч" (2,1) ~'. (73.
2) Отсюда следует, что должно соблюдаться одно из равенств: Ч"(1,2)==- Ч"(2,1) (73. 3) либо Ч" (1,2) =- — Ч" (2,! ), (73.4) т. е. волновая функция должна быть либо симметричной, либо антисимметричной. Волновые функции (72.3) и (73.1) не годятся для описания движения электронов с учетом их тождественности, потому что эти волновые функции не обладают определенными свойствами симметрии, т. е. они не являются ни симметричными, ни антнсимметричными. Однако с помощью их можно построить искомые симметричные и антисимметричные функции.
Уравнение (72.1) — линейное дифференциальное уравнение. Поэтому сумма решений этого уравнения с произвольными постоянными коэффициентами является также решением. Следователыю, функции Ч"'+'(1,2) = Ч" (1) Ч'ь(2)+ Ч' (2) Ч'ь(1), (73 5) Ч'< '(1,2) = — Ч" (1) Ч'ь(2) — Ч"„(2) Ч'ь(1) (73.6) являются также решениями уравнении (72.1), удовлетворяющими требованиям, налагаемым на волновые функции, т. е. являются волновыми функциями. Но в отличие от функций (72.3) и (73.1), волновые функции (73.5) и (73.6) обладают определенными свойствами симметрии: Ч"+' симметричная волновая функция, а Ч"' '— антнсимметричная.
Поэтому эти функции в принципе пригодны для описания движения электронов с учетом их тождественности. Выше мы говорили о тождественности электронов. Но, конечно, различные протоны также тождественны друг другу, различные нейтроны также обладают свойством тождественности и т. д. Поэтому все, что говорилось о тождественности электронов и выводы нз этой тождественности, относится также и к другим элементарным частицам. В частности, для описании системы элементарных частиц пригодны не любые волновые функции, а лишь волновые функции с определенными свойствами симметрии: либо симметричные, либо антисимметричные. Какие конкретно, т. е.
симметричные или антисимметричные функции, должны быть взяты для описания той или иной элементарной частицы, зависит от ее спина. Зта зависимость будет пояснена несколько позднее. 244 Непосредственно видно, что волновые функции (73.5) и (73.6) принадлежат одному и тому же собственному значению (Р' = (Р' + + Иь. Однако это не имеет место, если учитывается взаимодействие между электронами. Обменное вырождение и симметрия волновых функций с учетом взаимодействия между электронами. Если учтено взаимодействие между электронами„то волновая функция двух электронов уже не может быть представлена в виде произведения волновых функций каждого из электронов, т.
е. в виде (72.3) или (73.1) или в виде их линейных комбинаций (73.5) и (73.6). Благодаря этому обменное вырождение при учете взаимодействия между электронами не имеет места. Свойства же симметрии волновых функций (73.3) и (73.4) должны сохраниться и при учете взаимодействия между электронами, поскольку эти свойства симметрии являются следствием тождественности частиц, которая сохраняется и при наличии взаимодействия между частицами. Однако в общем случае при наличии взаимодействия симметричные и антисимметричные волновые функции принадлежат различным собственным значениям. Волновые функции спина.
В 2 53 были приведены физические соображения, доказывающие существование спина у электрона, и описаны основные физические свойства спина. Теперь необходимо дать способ математического описания спина. Спин может 1 иметь две проекции на избранное направление, т. е. и, = +— 1 и, = — —.
Поэтому можно сказать, что электрон может нахо- 2 диться в двух спиновых состояниях — в состоянии с проекцией 1 и, = + — на некоторое избранное направление и в состоянии 1 с проекцией ги, = — — на это же направление. Состояние движения электрона описывается волновой функцией, которая зависит от координат электрона. Совершенно аналогично спиновые сотояния электрона следует описывать спиновой волновой функцией. Однако эта волновая функция не может зависеть от координат электрона, потому что спин есть внутренняя степень свободы электрона, не зависящая от его местоположения в пространстве. Поскольку имеется два различных спиновых состояния электрона, должно быть две различных спиновых волновых функции.
Обозначим их через У" и У '. Волновая функция У+' описывает электрон„ спин которого имеет положительную проекцию на ось 1~ г (т. е. т, = + — ~. Волновая функция 5' ' описывает электрон 2,~' 1 ~ с отрицательной проекцией спина на ось г (т. е. т, = — — ~. Лля 2 .) того чтобы указать, о спине какого электрона идет речь, мы будем указывать электрон в скобках при волновой спиновой функции. 245 Например, 5(+'(1) означает, что спин электрона / имеет положительную г-составляющу>о. Спин электрона слабо взаимодействует с его пространственным движением. Поэтому, если волновая функция электрона, описывающая его пространственное движение, есть >Р, (1), то полная волновая функция с учетом спина может быть представлена в виде Ч>.(1)5(+>(1), или Ч.(1)5(->(1) (73.7) в зависимости от ориентации спина.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
