Матвеев А.Н. Квантовая механика (1185136), страница 45
Текст из файла (страница 45)
Борковское приближение. Рассмотрим упругое рассеяние, когда в результате столкновения энергия частиц не изменяется. В этом случае можно не рассматривать внутренней структуры атома, являющегося рассеивающим центром. Его действие можно рассматривать как действие силового центра, в поле которого происходит движение рассеиваемых частиц. Пусть это поле является сферически симметричным. Обозначим через (7 (г) потенциальную энергию рассеиваемой частицы в поле рассматриваемого рассеивающего центра. Уравнение Шредингера можно записать в виде равным Е = 1 м. При такой нормировке поток падающих частиц на основании (42.21) равен Ж = -- = — = о (сек ' м ). !х а е по На больших расстояниях г от рассеивающего центра функция Ф должна иметь вид сферической расходящейся волны: Ф„(г, 6) = А (6) — ' где А (6) — амплитуда рассеянной волны, которая в силу центральной симметрии рассеивающего поля не зависит от угла <р. Ток рассеянных частиц на основании формулы (42.21) равен (, = — (Ф вЂ” — Ф вЂ” ') = — ', (70.11) (еЛ Г дФ'" е дФ Х еи1А (О) 1е зо(, де д) и, следовательно, число частиц с(7е', рассеиваемых в единицу времени в телесный угол с(й, равно йЧ = — '" ге й() = и ) А (6) )е еИ.
Поэтому на основании (70.1) и (70.9) имеем Нов=4(6)еК) — — =~А(6) ~ееЕ). (70.1 3) Таким образом, для нахождения дифференциального эффективного сечения необходимо вычислить амплитуду рассеянной волны. В борновском приближении эта амплитуда вычисляется с помощью теории возмущений, когда в качестве возмущения берется потенциальная энергия рассеиваемой частицы в поле рассеивающего центра. Подставляя (70.7) в уравнение (70.6) и пренебрегая величиной РЭ как величиной второго порядка малости, получим для определения Ф следующее уравнение: Ч'Ф+ й'Ф = Л'~ (70.14) Решение этого уравнения хорошо известно из курса дифференциальных уравнений. Оно имеет вид 1 Г е'(г') Ч'о(г') енне '1 Ф() " о 1 ° 4л ! г' — г1 где с(т' — элемент объема интегрирования, радиус-вектор которого г'. В этом решении автоматически учтены только расходящиеся волны.
Для нахождения амплитуды А (6) надо получить для Ф (г) асимптотическое выражение при больших значениях г. Обозначим единичный вектор в направлении оси г через по, а единичный вектор в направлении движения частицы после рассеяния пусть будет п =- г!г (рис. б0). Мы, очевидно, имеем ] г' — г ! =- ]l (г' — г)' = (г'+ г' — 2 (г, г')]'го. Поэтому для г» г' можно написать: ]г' — г] = г — пг'+..., (70.1б) где многоточием обозначены члены порядка г'/г и выше. Подставляя это значение для ~г' — г! в решение (70.15) и пренебрегая в знаменателе величиной пг' по сравнению с величиной г, получаем для Ф (г) прн больших г следующее выражение: Ф(г)= — — — ~ ео"<" -">']г(г')с(т', где учтено значение Ч"о (г) по (70.8) и принято во внимание, что г' = г'по.
Сравнение выражения (70.17) с (70.10) показывает, что А (0) = — ~~ ем(о.-ю']г(г') (т'. (70. 18) 4п,) Удобно ввести обозначение К = й (по — п), ! К | = К = й ] по — п ) = 2й з]п — . (70.19) в Тогда выражение (70.18) с учетом (70.5) можно записать в следующем виде: А(8) = — 4 — „,о ~ е'к'(I (г )с(т'. (70.20) Выражение для дифференциального эффективного сечения д на основании (70.13) запишется следующим образом: — "„,— ',"=ч(8)=1в',.( — „;~'~ ~ о" иг') (')'. скол> Не вдаваясь в подробности условий применимости приближения Бориа, отметим лишь, что это приближение всегда пригодно при достаточно большой энергии рассеиваемых частиц.
Формула Резерфорда. Приближение Бориа можно использовать для нахождения рассеяния частиц кулоновским центром. Этот вопрос был рассмотрен по классической теории в $ 17. Потенциальная энергия а-частицы, заряд которой равен +2е, в поле ядра номера Я имеет вид (70. 22) Подставляя это значение (I (г) в формулу (70.20), находим где через т, обозначена масса а-частицы. Для вычисления этого 237 интеграла ось г сферической системы координат направим вдоль вектора К. Тогда получаем зки (т = = ~ йг'-г" ~ сйр' ~ з(п О' ИО'.
о о о (70.24) где О' — угол между векторам К и вектором г'. Интегрируя по ~р' н по углу О', находим (70.26) Следовательно, т,г. "4 (О) а~а~ ка Принимая во внимание, что К~= 4л з(п — = — — з)п 0 4пфя . 0 2 аа 2 (70.29) (70.30) на основании формулы (70.21) находим д(О)=~А(ОН'=(,„~~' „) ', . (70.81) г Итак, если в падающем потоке в единицу времени на единицу поверхности падает Ф частиц, то дифференциальное сечение рассеяния в телесный угол 011 = 2я ейп Ог(О равно мп4— 2 1= К" 1 з!ПКг г(г. (70.25) а Этот интеграл не является сходящимся в обычном смысле.
Однако его можно представить как предел другого интеграла, сходящегося в обычном смысле, с помощью следующей формулы: ОЭ СО з1 и Кг' г(г' = 11 гп 1 е-'" з(п Кг' с(г'. я-о ~ Интеграл, стоящий в правой части равенства (70.26), легко вычисляется с помощью интегрирования по частям: ' '-"+" е- 'з)пкг'аг'=,~д, .
(70.27) о Поэтому из (70.25) с учетом (70.26) и (70.27) окончательно получим дт (70.28) что совпадает с формулой (!7.7), полученной по классической тео- рии. Таким образом, первое борновское приближение для рассея- ния на неподвижном кулоновском центре дает результат, совпа- дающий с результатом классической теории. Задачи к гл. !7 17.1. Пространственный ротатор с моментом инерции .I и электрическим дипольным моментом р помещен в однородное электрическое поле Е.
Рассматривая электрическое поле Е как возмущение, вычислить первую неисчезающую поправку к основному энергетическому уровню ротатора. Р е ш е и н е. Направляя полярную ось г сферической системы координат вдоль вектора Е, мы можем энергию возмущения записать в следующем виде: У = — рЕ = — рЕ соз О. Волновые функции пространственного ротатора и собственные значения энергии даются формулами (45.16) и (45.22). В частности, для основного состояния имеем ргои ' Первая поправка к энергии находится по формуле (64.12): К«>=1",",'= ~ У Л <(т=0. Поэтому надо вычислить вторую поправку по формуле (64.20). Прежде всего учтем, что матричные элементы энергии возмущения между основным невозмущенным состоянием и другими невозмущенными состояниями равны х«л Уь„=У', = ~ ~ У УУ1" з(пО<(О<(<р= — Р 6<,6 „ о о где использовано условие ортонормированности для шаровых функций.
Отсюда по формуле (64.20) находим |Щ ~~ (Р~п о ~< ,<'< 1><<о> и<<0> К'<0> к<<о> Зло < Глава 18 АТОМ ГЕЛИЯ Э 71. Формулировка задачи Непригодность старой теории Бора. Простейшим после атома водорода является атом гелия„электронная оболочка которого состоит из двух электронов.
Однако несмотря на сравнительную простоту атома гелия, попытки построить его теорию в рамках старой теории Бора не увенчались успехом. В дальнейшем стало ясно, что старая теория Бора в принципе не могла дать решения проблемы атома гелия. Это обусловлено главным образом двумя обстоятельствами. Во-первых, квантовая теория Бора не дает возможности учесть наличие обменной энергии, существование которой является чисто квантовым эффектом. А обменная энергия в многоэлектронных системах, в том числе и в атоме гелия, играет существенную роль. Во-вторых, старая теория Бора не учитывает наличие спина у электрона. Эффекты, связанные со спинам, существенны для многоэлектронных систем и без их учета невозможно полное объяснение многих особенностей этих систем.
Уравнение Шредингера. Движение частицы в потенциальном поле (1 описывается уравнением Шредингера: ЙЧ =(РЧ~, (71.1) где Й= — '" +и (71.1а) вяо есть гамильтониан частицы, т. е. ее полная энергия, выраженная как функция импульса и координаты. Импульс и координата рассматриваются как операторы в соответствии с их определениями (35.1) и (35.5). Если уравнение (71.1) для одной частицы расписать более подробно, то оно имеет вид: 7 Ч'+ (Ю 1/) Ч~ О (71.2) 240 В атоме гелия имеется два электрона.
Полная энергия системы слагается из следующих частей: а) кинетических энергий обоих электронов: рг ре 71-— — — ' —, Тг = 2то ' 2то ' б) потенциальных энергий обоих электронов в одном и том же поле ядра атома; У (гг), (l (гг), где дг д' дг уг [ [ дхе дугг дг1 7' = — -+ — + — . (71.4а) до дг дг дх3 дуг гдгг г' Физическая интерпретация волновой функции Ч' совершенно аналогична той, которая была дана в случае одного электрона: [ Ч" (г,, г,)~' есть плотность вероятности найти первый и второй электроны соответственно в точках с радиусами-векторами г, и гг.
Задача состоит в том, чтобы найти собственные значения и собственные функции уравнения (71.4). Требования, налагаемые на собственную функцию, те же, что и в случае одного электрона. где г, и гг — радиус-вектор первого и второго электрона соответственно; в) энергии взаимодействия между электронами; ео ео 4яеоггг 4яео [ гг — гг [ ' где г~г — расстояние между электронами. Таким образом, гамильтониан системы может быть записан в виде ~М ре И= — "+ '+ (г)+и(г)+иге([г,— г,[). (71.З) Естественно считать, что уравнение Шредингера для системы из двух электронов имеет вид (71.1), но с выражением для Н по формуле (71.3).
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
