Матвеев А.Н. Квантовая механика (1185136), страница 44
Текст из файла (страница 44)
Сравнивая (68.25) с (68.2), можно равенство (68.1) записать в следующем виде: 2Ие~ у о~„! г„,„)~ (68.26) за,~ ь„„— ' Для сравнения с классической теорией это равенство удобно переписать так: (68.27) где величины !тп за «ъал ! гпм~ ~ 2тц э (68.27а) называются силами осцилляторов, причем т0 есть масса электрона. Сравнение (68.27) с (68.1) и (68.5) дает для коэффициента атомной поляризуемости следующее выражение: а= у / ~0е0 ь~йи (68.28) 231 Классическая теория дисперсии дает для коэффициента атомной поляризуемости а„„формулу, напоминающую (68.28): (68.29) 4 где ьь — собственные частоты колебаний электронов в атомах (собственные частоты «атомных осцилляторова), а ); — число осцилляторов, имеющих частоту вь Таким образом, из смысла величин ~~ следует, что они должны быть целыми числами. Однако опыт дает для них значения, меньшие единицы.
В квантовой теория величины Г „имеют другой смысл, нежели величины ~; в классической теории. Сумма дисперсионных членов вида г / (о4 — оР) имеется в квантовой теории и в случае одного электрона. При этом связь с классической теорией выражается тем, что имеет место правило сумм для сил осцилляторов: Х~.= . Это равенство доказывается на основе полноты системы собственных функций, относительно которых вычисляются матричные элементы. Если система состоит из А электронов, то в равенстве (68.30) в правой части стоит величина А, так как в этом случае электрический момент системы аддитивно слагается нз электрических моментов, обусловленных отдельными электронами.
/ 1 пэ ~пФ Рас. 59 Рис. Бз В квантовой теории сила осцилляторов (68.27а) может принимать и отрицательные значения. Это будет в том случае, когда атом находится в возбужденном состоянии (и) и среди состояний (и) будут такие, для которых ы „(0 (т. е. В",„" ( )Р7'). В этом случае показатель преломления с увеличением частоты уменьшается, вместо того чтобы увеличиваться.
Это явление называется отрицательной дисперсией (рис. 58). Не следует эту отрицательную дисперсию путать с аномальной дисперсией (рис. 59), которая объясняется классической теорией и имеет место лишь в окрестности собственных частот атомов. Отрицательная же дисперсия имеет место вне окрестности собственных частот. в 69. Комбинационное рассеяние Падающая на атом световая волна индуцирует в нем состояние, описываемое волновой функцией (68.17). В этом состоянии в атоме индуцируется электрический момент (68.20), который изменяется со временем с частотой падающего света. С этим электрическим моментом, индуцируемым в возбужденном состоянии атома, связано излучение света с частотой падающего света. Таким образом, рассмотренное выше явление возбуждения падающим светом электрического момента в атоме приводит к явлению рассеяния света без изменения частоты.
Это рассеяние называется н о р м а л ьным, или релеевским, рассеянием. Наряду с излучением без изменения частоты возбужденные световой волной атомы дают также излучение с изменением частоты. Это излучение с изменением частоты обусловливает некогерентное рассеяние света, так как вследствие различия частот падающего и рассеянного излучений между ними не может суще- 232 ствовать никакого фазового соотношения.
Это некогерентное рассеяние называется комбинационным рассеянием. Оно было открыто Раманом и Кришнаном в жидкостях и газах и независимо Мендельштамом и Ландсбергом в твердых телах. Под действием света в рассматриваемой квантовой системе из состояния ЧТ (г) е — *'"'„' возбуждается состояние Ч"„ (г, (), описываемое формулой (68.17). Из состояния Чмо" (г) е-овоо под действием света возникает состояние Ч'д (г, (), описываемое формулой (68.17) с заменой в ней индекса л на индекс )г. Между этими возбужденными состояниями возможны переходы с излучением. Вместо (68.19) получаем формулу Чг»Чо Чт(о)»Ч»о)еово»о 2~ .Е (7 та1»'"Ч'за'+7-ь~ту,» "Ч~ )о (691) и, следовательно, для матричного элемента электрического момента перехода рь, между состояниями л и й вместо (68.20) имеем Р =0 е ""' — ' „,'„(1 Ю +7.'„Ж )=По,е' 1 у ) (ЕоРв») Рх (Еонво) Рь»~ цв-)-в,>о 2л 1 1 в⻠— в вот+в 1 '~~ ~(ЕОРв») РЬ»+ вь) Ь» ~ -Чв-в„1О (ЕР» )Р" + ~е 2» оэ,„„+ в в о в — в Отсюда видно, что, кроме частоты излучения ооьв совпадающей с частотой излучения рассматриваемой системы в отсутствии внешней световой волны, излучаются также частоты Оком =го ~ <Ъпв.
(69.3) Таким образом, в рассеянном свете наряду с частотой падающего света го имеются две частоты го„,м, определяемые формулой (69.3). Это некогерентное рассеяние с изменением частоты света называется комбинационным рассеянием. В опытах Рамана величины ооо являлись частотами колебаний молекул жидкости, а в опытах Мендельштама и Ландсберга частоты гоь являлись частотами молекулярных колебаний кристалла. 5 70. Борковское приближение в теории рассеяния Постановка задачи в теории столкновений.
Если параллельный пучок частиц, например электронов, падает на некоторую частицу, например атом, то в результате взаимодействия с этим атомом частицы пучка могут, во-первых, изменить направление своего 233 движения и, во-вторых, претерпеть изменение величины своей энергии. Если столкновение произошло без изменения энергии сталкивающихся частиц, то говорят об упругом столкновении (рассеянии). Столкновение с изменением энергии сталкивающихся частиц называется неупругим. В опыте измеряется число частиц, рассеиваемых в единвцу времени в телесный угол дй в направлении, составляющем угол 9 Рис. 60 с первоначальным направлением движения частиц (ряс.
60). Если ось г сферической системы координат направить вдоль первоначального направления движения рассеиваемых частиц, а начало координат совместить с рассеивающим центром, то направление движения частиц после рассеивания может быть охарактеризовано полярным углом 9 и азимутальным числом гг. Пусть число частиц, рассеянных в указанный угол в единицу времени с потерей энергии а, равно ИУ,. Это число, очевидно, пропорционально числу У частиц, падающих в единицу времени на единицу площади в первоначальном потоке, и пропорционально величине телесного угла ць). Таким образом, можно написать: йо, = —,'- = д (е, 9, ср) гК), (70.1) где величина д (з, 9, гр) — коэффициент пропорциональности.
Величина по, имеет размерность площади и называется дифференциальным эффективным сечением для неупругого рассеяния в угол дй с потерей энергии е. Величина ь ~~~е, И=У (70.2) где интеграл взят по полному телесному углу, называется полным эффективным сечением неупругого рассеяния с потерей энергии е. Очевидно, что м, =)уа, (70.З) есть число частиц, отнесенных к единице времени, которые при столкновении потеряли энергию а (интенсивность первоначального потока равняется Ф = г( частиц/(м'.сек), 234 -+(7(г)) Ч'=Ж'Ч'.
(70.4) Потенциальная энергия (7 (г) определена с точностью до произвольной постоянной. Эту произвольную постоянную можно выбрать так, чтобы на бесконечности потенциальная энергия обращалась в нуль (т. е. (7 (оо) = О). Частица после рассеяния уходит на бесконечность лишь в том случае, когда ее полная энергия больше нуля. Таким образом, при решении уравнения (70.4) нас интересует случай К ) О. Обозначив Р 2юо У био (7() ~,( ) (70.5) где гл — масса рассеиваемой частицы, можно уравнение (70.4) записать в следующем виде: РЧ'+ ИЧ' = У (г) Ч'.
(70.6) После рассеяния, удалившись на достаточно большое расстояние от рассеивающего центра, рассеиваемые частицы движутся как свободные вдоль радиусов, проведенных от рассеивающего центра„ Поэтому после рассеивания движение частиц описывается расходящейся волной. Падающие частицы до рассеяния, очевидно, описываются плоской волной. Следовательно, интересующее нас решение уравнения (70.6) является суперпозицией падающей плоской волны Ч'ч и рассеянной волны Ф: Ч' = Ч'о+Ф. (70.
7) Выбирая ось г системы координат в направлении движения потока частиц до рассеивания, можно функцию Ч'~ представить в ниде (70.8) где Š— размер куба периодичности, который удобно выбрать 235 Таким образом, задачей теории столкновений является вычисление дифференциального эффективного сечения, знание которого позволяет полностью характеризовать распределение рассеянных частиц по углам и энергиям.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
