Матвеев А.Н. Квантовая механика (1185136), страница 43
Текст из файла (страница 43)
Поскольку матричные элементы возмущения (67.1) отличны от нуля лишь для переходов с различной четностью, нас могут интересовать только матричные элементы переходов между ! = 0 и ! =- 1. Так как (67.1) не зависит от угла гр, то матричные элементы возмущения отличны от нуля лишь для переходов без изменения магнитного числа т, т. е. лишь для переходов между состояниями (0,0) и (1,0). Таким образом, отличным от нуля является лишь матричный элемент ~'о="'оо, ю=~'1о,оо= — еЕ ~Ч"~о,юг созОЧ'о,оо Ег= со Я г — о! е! г'! 2 — — )е 'о созо8з!пОИОй =ЗеЕао, о о (67.4) причем индекс л= 2 в обозначениях матричного элемента здесь не выписывается. Уравнение (65.8) принимает в данном случае следующий вид: ооо, оо " ю, оо "п,оо о1-и оо ооо, ю о'ю, о о пао гоо, н о 1о,ц 1'1ь — Ф'" — и (67.5) С учетом значений величин Г а, о это уравнение значительно упрощается и сводится к уравнению — ооо, 1о гю,оо 0 0 0 0 0 0 0 0 — К'г 0 0 — )р'а' =О, т. е.
()Р'и!)о (()Р'и1)о ~/21 0 Корни этого уравнения равны: Юоо — Ро=ЗеЕао Ю'"= — Ро= — ЗеЕао )о'о,"=)о""=0 (67 6) Таким образом, уровень и =- 2 в атоме водорода расщепляется на три уровня. Поэтому при переходе атома на уровень л = 1 в спек!о зооаэ оо 1ооо 225 тре излучения вместо одной линии должны наблюдаться три линии, расположенные очень близко друг от друга. Однако вырождение снято неполностью (не все корни получились различными). Это связано с тем обстоятельством, что поле атома в однородном внешнем электрическом поле симметрично относительно отражения в плоскости, проходящей через ядро атома в направлении поля, в нашем случае через ось г. Поэтому состояния, получающиеся друг из друга посредством такого отражения, должны иметь одинаковую энергию.
Таким образом, оставшееся вырождение является следствием того, что возмущение не нарушило всех свойств симметрии исходного гамильтониана. Учитывая значение (67.6) для корней, мы можем найти коэффициенты (С,",", С,",', С,",', С,",',) при волновых функциях Ч',",'„Ч";,,', ннй для йскомых коэффициентов имеет вид — Р,С'" =0. 1 1 Отсюда следует, что С(~) С(и С(~> С(и 0 (67.8) и, следовательно, соответствующая волновая функция Фьа =Сао 1 ъ оа+Сва 1ь'м+Си 1 а,'и +Су — 1 1 ъ 1-1 в данном случае равна Ф1 ( 1 ь м+ 1 ~ м)з 1 2 (67.9) где величина коэффициентов С,",' =- С';,' найдена из условия нормировки функции Ф' на единицу. Аналогичным образом находится и функция Ф' . (67.10) 1'2 Наиболее общая волновая функция, соответствующая решению Ю',"=)Р","=-О, описывающая оставшиеся вырожденные состояния, имеет вид: (67.12) Отметим, что наличие смещения квантовых уровней, пропорциональное первой степени напряженности электрического поля, 22б (67.11) причем коэффициенты С,",' н С',", произвольны с точностью до нормировочного множителя.
Можно, в частности„положить связано с тем, что в атоме водорода имеет место 1-вырождение, т. е. энергия атома не зависит от величины орбитального квантового числа Е В общем случае вырождения по 1 нет, а при заданных квантовых числах (п, 1) имеет место вырождение по магнитному числу т (т = (), 4-1, 4-2,... -ЬЕ всего (21+ 1) состояний). Однако в этом случае различные волновые функции, принадлежащие вырожденному состоянию (п, 1), обладают одинаковой четностью и матричные элементы энергии возмущения будут равны нулю. Следовательно, первая поправка, линейная относительно напряженности поля, равна нулю. Смещение квантовых уровней в этом случае пропорционально квадрату поля Ео.
Величины этих смещений находятся в результате решения (66.16). 9 68. Теория дисперсии Из классической электродинамики известно *, что показатель преломления и среды связан с коэффициентом поляризуемости среды н соотношением по — 1=я, (68.1) причем величина х связана с вектором поляризации Р и напряженностью электрического поля Е равенством Р =- хеоЕ (68.2) где во — диэлектрическая проницаемость вакуума. С другой стороны, вектор поляризации Р равен сумме дипольных электрических моментов р отдельных атомов, находящихся в единице объема: Р=ХР. (68.3) Величину электрического момента р каждого атома можно разбить на две части: Р = Р«+ рг- Здесь первая часть не зависит от внешнего поля и ориентирована беспорядочно, так что вклад от этой части в сумму (68.3) равен в среднем нулю.
Вторая часть ра индуцируется внешним полем и направлена по полю: рв =- аеоЕ. (68.4) Величина а называется коэффициентом атомной поляризации. Подставляя (68.4) в (68.3) и сравнивая результат с (68.2), находим равенство х =- 1т'а, (68.5) ' См., например, А. Н. М а т в е е в. Электрадинамнка и теория атно* сительиости. Иак-во «Высшая школа«, 1964, стр.
239. 15 227 где И вЂ” число атомов в единице объема. Задача теории дисперсии заключается в вычислении величины показателя преломления и, т. е. величин я и я. Считая падающий на атом свет монохроматическим, а длину его волны много больше размеров атома или молекулы, можно электрическое поле световой волны внутри рассматриваемой квантовой системы представить в следующем виде: (68.6) Е = Ео соз в Е При решении задачи это поле световой волны будет рассматриваться как возмущение, причем, очевидно, энергия возмущения равна Г= — е(Е,г) созе.
(68.7) ( —,".—,', — И'и) р=)т, (68.8) где Н"' — невозмущенный гамильтониан, собственные функции которого Чпм и собственные значения Ю7' известны. Пусть до момента 1 = О, когда на атом начала действовать световая волна, он находился в стационарном состоянии Ч'®м (г). Решение Ч'„(г, г) уравнения (68.8) будем искать в виде Ч (г г) = Ч""(г) е '""'+)'„(г) е ч"" ~~ + ~р„(г) е ч""+ ", (68.9) где ы„= Ю"„и!Ь. Функции 1„и ~р„считаются того же порядка малости, что и возмущение. Подставляя выражения (68.9) в урав- нение (68.8) и ограничиваясь членами первого порядка малости, получаем уравнение е'"' (Ь(ы, — в) — Й'~1 1„+ е-'"' (й (в„-)- а) — Й"') <р„= е" +е = — е (Е„г) ЧТ (г).
(68.10) Приравнивая между собой члены при одинаковых экспоненциальных множителях, получаем для определения )„и ~р„следующие уравнения: (68. 11а) (й (со„— ы) — Й~'1 1„= — з е(Ео г) Ч'Й'(г), (й (~„+ в) — Й'") ср„= — — е (Е„г) Ч7' (г)- (68.116) Действие магнитного поля световой волны на движение электрона имеет порядок и/с и в нерелятивистском случае пренебрежимо мало. С учетом сказанного уравнение Шредингера записывается следую- щим образом: (68.12а) (68.126) и подставляя эти выражения в уравнения (68.11а) и (68.116), получаем д У~ («д» г«»д го) Адд»Ч»д — — — 2 (Ео» Г) Ч»» (Г)» (68.13а) " ~~~~ (го — м~в+ы) ВатЧ»)й = — 2 (Ео» Г) Ч'в" (Г). (68.136) Отсюда после умножения на Ч"д'* и интегрирования по всему пространству с учетом ортонормированности функций находим следующие уравнения для определения коэффициентов А„д и В„д..
(68.! 4а) Ь (год — год+ го) Вод = — — (Ео, гдд), (68.146) где через 1 Чно»»ГЧо»о» г(т (68.15) обозначены матричные элементы радиуса-вектора г. Решение урав- нений (68.14а), (68,146) имеет вид где в,д — — го„— год являются собственными частотами атома, а Р,д — — ег„д — матричный элемент вектора электрического момента. С учетом (68.16) и (68.12) выражение (68.9) можно записать в следующем виде: .(' )-1 - ()- — Х(Е., )(„.+ + + ) Ч'» (г)~е '""'. (68.17) Для того чтобы вычислить коэффициент поляризуемости по фор- муле (68.4), необходимо найти электрический момент системы, 229 Представив искомые функции в виде 1„= ~ А„Ч"", »»о Х Витту»и е й (го, — год — го) Ад д = — — (Ео» Гд„), А„«=в од 2Д(о д и)» В 2Д (»о„д+и) ' (68.16а) (68.166) иидуцируемый световой волной.
Для этого необходимо вычислить р„„ = е ~ Ч'„' (г, 1) г Ч'„ (г, 1) дт (68.18) с точностью до величин, линейных по полю Ем Мы имеем Ч*„Ч„= Чту„" — — 'Я„(Е„„Р„"*Р(;,'+Е.* Рт 1Рй'), (68.10) где = (Кчо ) ( + ' ) (68 10а) Поэтому рл» = 1уил — ~~,,Я~ (~-ав 1улиз+ ~,пы(утю~) (68.20) где учтено, что у = — у', . Принимая во внимание, что (68. 22) Йт™ мы можем выражение (68.21) переписать в следующем виде: Р=Фе (у„„— —,— ~, '— -", '~",~ Езсозы|) . (68.23) лл а ) При выводе этой формулы нами допущена непоследовательность, которая заключается в следующем.
Мы учли, что направление вдоль вектора электрической напряженности поля (ось у) является выделенным и закрепленным в пространстве. Собственные же функции, с помощью которых вычислялись матричные элементы, найдены относительно некоторых осей, твердо закрепленных относительно атомов. Однако, поскольку атомы ориентированы произвольно относительно выделенного нами направления, то, очевидно, что среднее значение квадрата координаты вдоль этого выделенного направления ничем не отличается от среднего значе- 2ЗО Для того чтобы перейти к величине х, определенной в равенстве (68.2), необходимо произвести суммирование по всем молекулам, находящимся в единице объема.
При этом результирующий момент единицы объема будет направлен по электрическому вектору световой волны, поскольку это направление является единственно выделенным. Пусть для определенности электрический вектор световой волны направлен вдоль оси у-ов. Тогда из (68.20) получаем Р=Р„=Ф(р )„= =Же(У вЂ” у ~ (Е,~+ь*, ) Ео! У ~~~, (68.2!) ния квадрата координаты в любом другом направлении. Поэтому, учитывая, что (у') = (х') = (г') = — (г~) (у) = (х) = (г) = О, (68.24) мы можем окончательно написать: 7> )' 2йе~ у оп~л ~ гтл)э)1 Е щ 1 . ) (68.25) где учтено, что ы „= — ы„, и принято во внимание равенство (68.6).
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
