Матвеев А.Н. Квантовая механика (1185136), страница 41
Текст из файла (страница 41)
Длины волны дуплета, возникающего в результате перехода 3Р— 35, равны 5895, 93 А и 5889,96 А. Пользуясь схемой расщепления уровней в магнитном поле, изображенной на рис. 55 и формулой (61.8), найти величину индукции магнитного поля, при которой нижний подуровень терма 'Рз~, сольется с верхним подуровнем терма 'Р»,.
Отв. В =, = 1,6. 10з гс, тввЛ~ = где ЬЛ вЂ” величина расщепления дублета в длинах волн. Глава 16 ТЕОРИЯ ВОЗМУЩЕНИЙ 5 64. Стационарная теория возмущений в случае невырожденных собственных значений Уравнение Шредингера является линейным дифференциальным уравнением, сложность решения которого зависит от вида потенциальной энергии и от числа измерений пространства, в котором решается задача. В большинстве случаев решение уравнения является сложной математической задачей и не может быть выполнено с помощью изученных в математике функций. Поэтому часто приходится применять приближенные методы решения задач, т.
е. находить собственные значения и собственные функции не точно, а приближенно. Главнейшим нз приближенных методов решения квантово-механических задач является теория возмущений. Пусть оператор Гамильтона Й рассматриваемой системы можно представить в виде суммы двух операторов: ~~0 +) о (64.1) причем т о ч н о е решение задачи для оператора Гамильтона Й, предполагается известным, т. е. известны собственные функции и собственные значения уравнения: й Чг<о> )р~оочооо1 (64.2) Если бы оператор 1Г в (64.!) равнялся нулю, то решение задачи свелось бы к уравнению (64.2). Однако в действительности оператор )Г не равен нулю и необходимо решить уравнение (й,+и) р=)рр.
(64.3) Теория возмущений дает возможность сделать это приближенно в предположении «малости» оператора $~, который называется 213 Ч' =- ~ С„Чг'". « (64.4) Подставляя это разложение в уравнение (64.3), находим ~~ (В' — Й~) С„Ч""' =- ~~~ $~С„Ч'„"'. (64. 5) » » Умножая обе части этого уравнения на Ч'„"'* и интегрируя по всему пространству с учетом ортонормированности функций, получаем С,()Р— )Р»)=Хи С„, (64.6) и где величины »»» = ~ Ч А *»~Ч'» 1(т (64.6а) являются матричными элементами оператора возмущения, вычисленными с помощью невозмущенных функций.
Представим искомые величины )Р' и С„в виде разложений в ряд: (64.7) (64.8) считая $ГЙ и Со величинами того же порядка малости, что и матричные элементы возмущения. Величины Ю'1»1 и О»1 считаются величинами р-го порядка малости относительно матричных элементов возмущения. 214 возмущением. Математический критерий «малости» оператора будет выяснен в дальнейшем.
По смыслу задачи ясно, что этот оператор можно считать «малым» в том случае, когда собственные значения уравнения (64.3) мало отличаются от собственных значений уравнения (64.2) и собственные функции уравнения (64.3) во всех точках пространства мало отличаются от соответствующих собственных функций уравнения (64.2).
Таким образом, задача теории возмущений состоит в том, чтобы исходя из известных собственных значений и собственных функций уравнения (64.2) найти с определенной степенью точности собственные значения и собственные функции уравнения (64.3). В настоящем параграфе мы рассмотрим случай, когда собственные значения уравнения (64.2) являются невырожденными и гамильтониан не зависит от времени. Будем искать ту собственную функцию и собственное значение уравнения (64.3), которые при У = 0 переходят в собственную функцию Ч"" и собственное значение (Рм' невозмущенного уравнения (64.2).
Обозначим эти искомые собственные функции и собственные значения через Ч' и (Р' . Разложим искомую собственную функцию Ч по собственным функциям Ч"„" невозмущенного уравнения (64.2): Подставляя разложения (64.7) и (64.8) в уравнения (64.6) и приравнивая между собой величины одного и того же порядка малости, получим следующие уравнения: ~чо> ((р(»> рчо>) 0 (64. 9а) » С~а'11>(~,'+ С)~')Г>п+ С)~')Р'в> — С)о%7' =- ~ $'> С>„", (64.9в) » Эта система уравнений может быть решена по методу последовательных приближений. Решение уравнения (64.9а) можно записать в виде (64.10) Подставляя значения (64.!О) в уравнения (64.9б), получаем (64.
П) При А=-т из (64.11) находим величину первой поправки ксобственному значению энергии: 1Р»> = 1»»»> (64. 12) а при й ~ т — значения коэффициентов: С„"'== „," „,, /г~т. »»> (64. 13) т. е. (64.15) В равенсгве (64.14) использованы следующие обозначения. Если коэффициенты С„в разложении (64.4) выразить в виде рядов (64.8), то искомая функция Ч' может быть представлена в виде ч' =- Х ч'й где Ч'Й = Х С'.*'Чт является поправкой 1-го порядка малости к искомой волновой функции.
Мнимая часть в коэффициенте определяет фазу волновой 215 Коэффициент Со' этой формулой не определяется. Он может быть найден из условия нормировки, имеющего с точностью до величин первого порядка малости следующий вид: ~ ( >РЙ+ Ч",'„' ~'Ит = 1+ С'„",+ С'„'," = 1, (64.14) (64. 16) Поэтому с учетом (64.13) поправка к волновой функции в первом приближении может быть представлена в виде >г><о» ' г><о> (64.1?) где штрих означает, что в этой сумме член с и = и> отсутствует. Отсюда видно, что требование «малости» возмущения может быть записано а виде !у„( << ))а'<и — )аТ ~, (64.! 8) т. е. матричные элементы энергии возмущения должны быть малыми в сравнении с разностями соответствующих невозмушенных уровней энергии.
Следующая поправка к собственному значению энергии находится в результате решении уравнения (64.9в). Подставив в это уравнение значения величин нулевого и первого порядков из (64.10), (64.12) и (64.13), получаем следующее уравнение: )р<а» >>ол>>лил (1 ба>л! ,~ ., + —,„а;--~<,—.> >л + С<од' (Ф"" — К)а>) = ч $'ьУ~, (64.19) >г><о» г><о> л >л и 1 — бо учитывает условие (64.16). Отсюда прн л=п> где член находим и ли %> >>>лл >>Вл> >Г><а> (Гаа> >л и и (64.20) где штрих у знака суммы означает, что член с и = т в этой сумме отсутствует. Следует отметить, что поправка второго приближения к энергии нормального состояния всегда отрицательна.
Это видно непосредственно из формулы (64.20), поскольку в случае основного состояния )рл'> является минимальным значением энергии н все члены в сумме отрицательны. При >< Ф и> из формулы (64.19) получаются выражения для С~д>, а с их помощью — выражения для собственных функций с точностью до величин второго порядка малости. Выражение для С<о" имеет следующий вид: Сап = —— Сл ~у«о> <г><о>)о + х.,> <>г><о»»>а>~ (>г><а> <>ла» ( ) и» >л и >л О ) и йФп>, пуггп. 2>6 функции. Фаза волновой функции несущественна.
Не ограничи- вая общности, эту мнимую часть можно считать равной нулю и из (64 15) следует: Выписанные выше формулы без труда обобщаются на случай непрерывного спектра собственных значений: вместо сумм в соответствующих формулах следует понимать интегралы по значениям энергии непрерывного спектра. Если спектр собственных значений частично дискретен, частично непрерывен, то в соответствующих формулах имеется сумма по дискретному спектру энергии, а интеграл — по непрерывному спектру энергии. Например, вместо формулы (64.17) получается следующая формула: и где т — совокупность величин, полностью определяющих состояние, )Р'.и — собственное значение энергии состояния, характеризуемого совокупностью величин ч; (р'"' принадлежит к непрерывному спектру собственных значений, Ч"„" — соответствующая волновая функция непрерывного спектра собственных значений.
й 65. Стационарная теория возмущений в случае вырожденных собственных значений В случае вырожденных собственных значений поправка вычисляется к собственному значению, которому принадлежит не одна собственная функция, а несколько. Как известно, собственные функции, принадлежащие одному и тому же вырожденному собственному значению, вообще говоря, не ортогональны друг к другу. Однако всегда можно выбрать ортогональные функции с помощью следующего процесса оротогонализации.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
