Матвеев А.Н. Квантовая механика (1185136), страница 29
Текст из файла (страница 29)
12) где Фо — число радиоактивных атомов в момент 1 =- О„Ф (1)— число радиоактивных атомов, не испытавших распад к моменту времени Е Величина Л у различных радиоактивных элементов меняется в очень значительных пределах от 10' сек ' до 10" сек '. Объяснение такого большого разброса в величине Л вЂ” наиболее трудная задача теории. Вторым трудным вопросом является вопрос об энергии а-частиц, вылетающих из ядра в результате радиоактивного распада. Не ясно, 149 почему эта энергия сравнительно мала. Дело здесь в следующем.
Опыты Резерфорда по бомбардировке а-частицами ядер радиоактивных элементов показали, что а-частицы имеют возможность приближаться к ядру на очень малые расстояния, которые зависят от энергии а-частиц. В момент максимального сближения вся кинетическая энергия а-частицы переходит в ее потенциальную энергию. После этого сс-частица силами кулоновского отталкивания снова разгоняется и приобретает кинетическую энергию, примерно равную первоначальной. В момент максимального сближения сс-частицы и ядра захват а-частицы и изменение ядра не происходит; это означает, что а-частица находится вне ядра.
Отсюда можно заключить, что при радиоактивном распаде п-частицы вылетают из ядра с расстояний от цетнра ядра меньших, чем расстояние между ядром и бомбардирующей ядро а-частицей. Поэтому кулоновские силы отталкивания должны ускорять сх-частицу, образовавшуюся в результате радиоактивног го распада, сильнее, чем сс-частицу, которая при бомбардировке приблизилась к ядру. Следовательно, энергия сс-частиц, образовавшихся в результате радиоактивного распада, должна быть больше энергии и-частиц, Рис. 38 которыми бомбардируется ядро, если эта бомбардировка не сопровождается захватом а-частиц и изменением ядра. Однако опыт показывает, что это не так.
В действительности, энергия а-частиц, являющихся продуктом радиоактивного распада, значительно меньше той, которую можно было бы ожидать на основании только что изложенных соображений. Дело обстоит так, что как будто бы сс-частица начинает ускоряться кулоновским полем отталкивания ядра с больших расстояний, чем размеры ядра.
Это обстоятельство нельзя понять с точки зрения классических представлений. Радиоактивный я-распад нашел свое объяснение в туннельном эффекте. Потенциальная энергия положительно заряженной я-частицы в поле положительно заряженного ядра является положительной и возрастает обратно пропорционально расстоянию от ядра при уменьшении этого расстояния (рис. 33). Если бы кроме сил кулоновского отталкивания никаких других сил не существовало, то сс-частица не смогла бы удержаться в ядре.
Однако при некотором малом расстоянии в действие вступают большие ядерные силы притяжения, которые удерживают сс-частицу в ядре. Эти ядерные силы притяжения, природа которых в настоящее время усиленно изучается, резко уменьшают потенциальную энергию (притяжение)), в результате чего в области, имеющей размеры ядра, для и-частицы образуется потенциальная яма, которая от внешнего пространства !50 отделена потенциальным барьером. С точки зрения классической механики покинуть ядро могут только те а-частицы, энергия которых больше высоты потенциального барьера.
Только что изложенные соображения об экспериментах по бомбардировке ядер показывают, что энергия а-частиц, вылетающих из ядра, меньше высоты потенциального барьера. Следовательно, а-частицы, вылетающие из ядра, проникают через потенциальный барьер посредством туннельного эффекта. Найдем связь между постоянной распада Х и коэффициентом прохождения О. Двигаясь в ядре„а-частица сталкивается со стенками потенциального барьера.
Вероятность проникнуть через потенциальный барьер при одном столкновении равна О. В единицу времени, очевидно, число столкновений равно и = по!2го, где оо— скорость а-частиц в ядре, г,— радиус ядра. Если общее число атомов есть Ж, то число атомов ойу, испытавших а-распад в результате проникновений а-частиц через потенциальные барьеры в течение времени п1, равно Для Х получаем 1'= 2-- Р= 2, Роехр ( 1) (46.
13) где ! = -- 1 'гг2то (О (г) — Ю') 0г. Величина г, находится из условия 22ео и(г,) = — =(р, Г1 т. е. 27Ф В' 22ео Полагая г =- — — з(пол находим К 2 о (46. 14) В результате вылета из ядра а-частицы заряд в ядре уменьшается на два элементарных заряда, а число частиц в ядре уменьшается 151 Учитывая, что го « гь при вычислении интеграла величину го можно заменить нулем, получаем ггвця о на два протона и два нейтрона, которые входят в состав се-частицы и улетают вместе с ней.
В результате се-распада образуется новое ядро, которое в свою очередь может быть радиоактивным. Совокупность ядер, образующихся друг из друга в результате а-распада, образует семейство ядер. Пусть )е'е — энергия вылета се-частицы из ядра, являющегося родоначальником семейства и )е' =- (е'е+ ИУ вЂ” энергия вылета а-частицы из какого-либо ядра семейства. Как показывает эксперимент, энергия ех-частиц у различных ядер семейства меняется мало в сравнении с энергией х-частиц. Это означает, что етЯ7 «%е и, следовательно, можно написать: =-=("ео+ц(е) М вЂ” = — ( 1 — — — )- 1 1 Х 1 еъ1е' р' ит р й/о(. 2 е) Из (46.13) с учетом (46.14) следует, что 1п;„1п ееРо 2н р 2~ло хее+л г' ~~оХе',цр ь р' в'е нг,'~* т.
е. 1пХ=а+ЬЛЮ', (46.15) где и = 1п — — — — ж соп51, ееРо 2л ее 2то Ее~ 2ее а Г" '«те ° и 'ее 2глоЕее = сопз1. 1,~ еУ,, Формула (46.15) выражаег установленный экспериментально закон Гейгера — Нэттола о линейной зависимости логарифма постоянной распада от разницы в энергиях вылета п-частиц.
Эта формула хорошо объясняет сильное различие постоянных распада у раз- личных радиоактивных ядер семейства: хотя величины а, Ь, ЬЛе' от ядра к ядру изменяются не очень сильно, величина ), стоящая под знаком логарифма, изменяется значительно. Количественные измерения показывают, что объяснение се-рас- пада с помощью туннельного эффекта хорошо согласуется с экспе- риментом. Задачи к гл. 12 12.1. Найти уровни энергии частицы в потенциальной яме вида (0е при х О„ У (х) =- ( О при О С х < а, ( Уе при х) а.
Рассмотреть случай )е' (0е. Оелв. Поступаем совершенно аналогично тому, как это было 152 сделано в 2 43. Для определения энергии Я7 получается следующее трансцендентное уравнение: ( 1= р'2 В' ~ 2 У(Р(и — (Р) и,/ = и,— 2(Г Оно может быть решено графически. При Ю' « ((о получаем т. е.
о 2 тоа что совпадает с уровнями энергии частицы в бесконечно глубокой яме. 12.2. Найти волновые функции стационарных состояний и уровни энергии линейного гармонического осциллятора, находящегося в однородном электрическом поле. Р е ш е н и е. К энергии осциллятора в отсутствии электрического поля добавляется энергия — еЕх за счет однородного электрического поля напряженности Е. В результате оператор Гамильтона будет иметь вид Ро тооо~ о ао до тово О = — + — к' — е Ех = — — — + — хо — еЕх. 2то 2 2то дхо 2 В уравнении Шредингера — + 1 Ю' — — хо+еЕх1 Ч'=0 ДоЧ/ 2то Г тов о ао 1 2 еЕ перейдем к новой переменной о( =х — , получим тото доЧ' 2то Г (о~)о —.+ — ~((7+ — — т('~ Ч'=О.
дно ао 1 2оааоо 2 Это уравнение совпадает с уравнением для осциллятора в отсутствии электрического поля с точностью до аддитивной постоянной еоЕо (2тоыо. 12.3. Потенциальная энергия имеет следующий вид: ~ 0 при х(0, (((х)= ( Ц, при х)0. Частица движется слева направо с энергией (Р' ~ (/о. Найти коэффициент отражения ог н коэффициент прохождения О. Отв.
/, ио К= ~+к'1 (Р 153 Глава И АТОМ ВОДОРОДА И ВОДОРОДОНОДОБНЫЕ АТОМЫ 5 47. Собственные значения и собственные функции Атом водорода является простейшим атомом. Он состоит из протона и электрона, между которыми действует сила электростатиее ческого притяжения ~У(г) = — - 1. 1'(асса протона во много 4леее раз больше массы электрона, поэтому приближенно протон можно считать покоящимся. Энергия такой системы нз двух частиц определяется посредством решения уравнения для радиальной части волновой функции (см. Э 45): Для общности в последнем уравнении заряд ядра положили равным Уе.
Тем самым, решая (47.!) при Я - 1, мы найдем энергетические уровни положительного иона, у которого сохранился лишь один электрон. Для краткости положим (47.2) и введем новую независимую переменную о=2)/Аг. (47. 3) Уравнение (47.1) примет при этом следующий вид: Я" + — )с'+ ~ — + — = — — 1,— ~~К=0 (47.4) (штрихами обозначены производные по о).
Найдем асимптотическое поведение К при О-э оо. В этом случае членами, пропорциональ- 154 ными 1/д и 1!д' в уравнении (47.4), можно пренебречь, в результате чего это уравнение принимает вид К вЂ” — 1с = О. (47.5) и учитывая, что П ' тс у(у цо (47.9) получаем из (47.8) для определения у следующее уравнение: у (у — Ц+2у — 1(1+ Ц = О. (47. 10) Переписав это уравнение в виде у +у — 1(1+ Ц=О, находим его решения: 147.1 Ц Решение (47.12) с у = — 1 — 1 необходимо отбросить, потому что оно не является конечным в начале координат, как это видно из (47.8).
Таким образом, при о — ь 0 решение ведет себя как )т - е'- (47.13) Полагая Я вЂ” е-Р/здрав (47.14) получаем вместо (47.5) для функции о следующее уравнение: Ео" + (2 (1+ ц — Е! о'+ ( — — 1 — 1) о = О. (47.15) г в 1' А Исследование асимптотического поведения )г при О-ь со и о- 0 показывает, что функция о на бесконечности должна расти медленнее, чем ехр (О/2), а в нуле должна равняться постоянной или нулю.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
