Матвеев А.Н. Квантовая механика (1185136), страница 33
Текст из файла (страница 33)
Физическая сущность этого взаимодействия состоит в следующем. Энергия взаимодействия магнитного момента с внешним магнитным полем равна )Р= -(р, В). (53.8) Пусть вокруг ядра движется один электрон. Поскольку электрон движется в кулоновском поле ядра и никакого магнитного поля нет, то на первый' взгляд не видно, за счет чего может появиться дополнительная энергия взаимодействия. Ясно, что нельзя представить себе, что магнитный момент электрона взаимодействует с магнитным полем, создаваемым самим электроном при его движении, хотя бы потому, что в точке нахождения электрона это поле не определено. Наличие спин-орбитального взаимодействия можно доказать двумя способами.
Во-первых, как это доказывается в электродинамике *, движущийся магнитный момент (ь обладает электрическим дипольным моментом: Р= — а(ч, 1а!. (53. 9) Но энергия взаимодействия этого дипольного момента с кулоновским полем ядра равна Ю= — (р, Е), (53. 10) где Š— напряженность кулоновского поля ядра в точке нахождения электрона. Подставляя выражение для величины диполя по (53.9) в формулу (53.10), получаем следующую величину энергии взаимодействия магнитного момента электрона с кулоновским полем ядра: са ((", )ь).
Е). 1 (53. 11) * См., например, А. Н. М а т н е е н. Электродинамика и теория относительности. Изд-но «Высшая школа», !9б4, гл. 16. стр. Ззо. 171 ,Другой способ доказать наличие спин-орбитального взаимодей- ствия состоит в следующем. Перейдем в систему координат, свя- занную с электроном, движущимся вокруг ядра.
В этой системе координат электрон покоится в начале координат, а ядро движется вокруг электрона. При своем движении положительно заряженное ядро создает в точке нахождения электрона магнитное поле В ф, которое по формуле (53.8) приводит к наличию энергии взаимодей- ствия. Поскольку магнитный момент может ориентироваться лишь двумя способами относительно направления магнитного поля Вма, энергия взаимодействия может принимать лишь два значения: (р= — (р, в,)=+ —,--в„, еа (53.1а) где использована формула (53.7).
Энергия спин-орбитального взаи- модействия прибавляется илн вычитается от энергии соответствую- щего уровня электрона, даваемой формулой (51.10). В результате этого каждый уровень расщепляется на два подуровня. Расщепление уровней энергии на подуровни, обусловленное спин-орбитальным взаимодейсгвиелк называется тонкой структурой уровней. Однако не каждый уровень имеет тонкую структуру, т.
е. не каждый уровень расщеплен: з-уровни синглетны, никогда не расщепляются. Это обусловлено характером движения электронов в з-состоянии. Как было отмечено, в з-состоянии электронное облако распределено Рис. 40 сферически симметрично вокруг ядра и движение является радиальным, поскольку механический момент равен нулю. Следовательно, нег условий, обусловливающих наличие спин-орбитального взаимодействия, о которых только что говорилось. Следовательно, в з-состояниях спин-орбитальное взаимодействие отсутствует и соответствующие энергетические уровни являются синглетнымн.
Тонкая структура энергетических уровней полностью объясняет особенности спектра излучения щелочных металлов. Рассмотрим для примера спектр лития. С учетом тонкой структуры все уровни энергии атома лития, изображенные на рис. 36, являются дублет- ными, за исключением з-уровней, которые синглетны. Рассмотрим переходы между ними. Энергия спин-орбитального взаимодействия очень мала. Это обстоятельство наводит на предположение, что при оптических переходах ориентировка спина не меняется. Более строгое теоретическое рассмотрение этого вопроса показывает, что это действительно так, т. е.
правило отбора для квантового числа щ, при оптических переходах может быть записано следующим образом: Лт, = О. 153.13) Нсследуем прежде всего главную серию. Схел1а переходов с уровней р на уровень 2з с учетом тонкой структуры изображена на рис. 38.
Непосредственно видно, что переходы с близко расположенных друг к другу уровней р на один и тот же уровень з дают две близко расположенные линии излучения, т. е. дублет. Величина расщепления различных уровней р различна, следовательно, величина расщепления различных дублетов главной серии щелочных металлов также различна, что и наблюдается в эксперименте. Рассмотрим резкую серию, которая получается за счет переходов с з-уровней на 2р-уровень. Схема таких переходов с учетом тонкой структуры изображена на рис. 39. Непосредственно видно, что в этом случае величина расщепления у этих линий серии одна и та же, поскольку у всех линий она обусловливается расщеплением одного и того же уровня 2р. Линии в дублете резки, потому что это действительно две линии, т.
е. дублет. Лиффузная серия получается за счет переходов с г(-уровней на 2р-уровень. Схема этих переходов с учетом тонкой структуры изображена на рис. 40. Величина расщепления уровней г( много меньше, чем величина расщепления уровня 2р. Фактически при переходах с уровней д на уровень 2р излучаются трн линии, поскольку изображенный пунктирной линией переход запрещен правилами отбора.
Однако две линии, получающиеся за счет перехода с двух расщепленных уровней И на один и тот же уровень р, расположены весьма близко друг к другу и практически сливаются. Благодаря этому они воспринимаются как одна размытая линия. Расщепление же между парой линий и одиночной линией значительно. Поэтому в целом все эти три линии воспринимаются как дублет из размытых линий, а вся серия названа диффузионной. Величина расщепления дублета у всех линий серии одна и та же, поскольку она определяется величиной расщепления одного и того же уровня 2р. Таким образом, дублетный характер линий спектра излучения щелочных металлов и водорода объясняется наличием у электрона магнитного момента, или, что то же самое, спин-орбитальным взаимодействием. Однако это не единственный фактор, определяющий величину расщепления.
Вторым фактором являются релятивистские эффекты, которые будут учтены в части 1П настоящей книги. Задачи к гл. И 13.1. Определить энергетические уровни и волновые функции частицы в сферическом потенциальном ящике 0 при г(а, () (г) =- оэ при г)а. для случая, когда орбитальный момент равен нулю (т. е.
1 — 0). Р е ш е н и е. Уравнение для радиальной функции )г при г (а имеет вид ! а ( ~и1 2пц — — ~1 + —.,-" )г'К = О, Й (а) = О. 1тз Отсюда получаем УИ 51П Г Л„=А ? /~| я>»> (Рл — 2 в> Постоянная А может быть найдена из условия нормировки волновой функции. 13.2. Квант с энергией пь> = 20 эв выбивает электрон из атома водорода, находяшегося в основном состоянии. С какой скоростью будет двигаться электрон вдали от ядра? / 2 с'гла. в= ~/ — (пь> — Ф'>) 1,5.10"' м,>сек, где (р> — энергия ионизации. 13.3.
Вычислить скорость, которую приобретает атом водорода в результате излучения кванта света при переходе электрона со второго уровня на первый. На сколько благодаря этому уменьшится частота излучаемого кванта? Р е ш е н и е. Применяем законы сохранения энергии и импульса в системе координат, где атом водорода до излучения покоился, имеем йт> = )Р,+ — +3 (ь> — Ьь>), Ь ~Оп (ь> ~ >ы)е с где 1Г> н (Рз — энергии стационарных состояний атома, между которыми совершается переход, )И» — масса атома водорода и о — скорость его отдачи. Учтя, что Ю> — В'з =?>ь> и >> а> « о>, получаем и = — = 3,25 >и(гак; ЛХ= „— = 6,6 10 ' А. Мог Мцс Глава И магнитный и механический момйнты атома й 54.
Магнитный н механический моменты атома е ~11 = — Я (54. 1) где Т вЂ” период обращения электрона, Я вЂ” площадь орбиты электрона. В поле центральных сил момент количества движения является интегралом движения, т. е. т,г' -„- — = М~ = сопз(, вф (54. 2) где (г, ~() — полярные координаты электрона. Центр системы координат совпадает с ядром, вокруг которого движется электрон. Плошадь эллипса, описываемого электроном, равна 5= — 1 ° (р. 1 Г 2 о (54.3) 175 Источники атомного магнетизма. Магнетизм атома обусловлен тремя причинами: а) орбитальным движением электронов; б) магнитным моментом электрона; в) магнитным моментом атомного ядра. Магнитное поле, обусловленное магнитным моментом ядра, обычно много меньше магнитного поля, порождаемого орбитальным движением электронов и спином электронов, и поэтому здесь не будет приниматься во внимание. Орбитальный магнитный момент по классической теории.
Электрон, движущийся по замкнутой орбите вокруг ядра, эквивалентен круговому току, магнитный момент рч которого равен Выражая байр с помощью (54.2) и подставляя в равенство (54.3), находим т г' — Ж= — — Т. М! 1 М! тогз 2 мя о 2 (54.
4) Поэтому выражение (54.1) для магнитного момента р! принимает следующий вид: р7=-- е М,, (54.5) 2 мо Нетрудно видеть из определения магнитного и механического моментов, рассматриваемых как векторные величины, что для положительно заряженной частицы магнитный и механический моменты совпадают по направлению, а для отрицательно заряженной частицы — направлены противоположно. Поэтому, понимая под е заряд электрона с его знаком (отрицательным), мы мокнем вместо (54.5) написать следующее векторное соотношение между механическим и магнитным моментом электрона, движущегося в атоме: 1 е р,= —,— Мо (54.6) Орбитальный магнитный момент по квантовой теории.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
