Матвеев А.Н. Квантовая механика (1185136), страница 30
Текст из файла (страница 30)
Поэтому эту функцию следует искать в виде о= ~ пья". 155 Следовательно, при о — ь со я — е-ыз (47.6) Решение с положительной экспонентой отбрасывается из-за требования конечности волновой функции. При о -+. 0 главными членами уравнения являются члены с максимальной степенью о в знаменателе. Поэтому при д-+-0 уравнение имеет вид (47.7) Считая, что при о — ьо решение 17 ведет себя как А'-е' (47.8) (47.17) Приравнивая нулю коэффициенты при одинаковых степенях 0 в этом ряде находим рекурентные соотношения для определения неизвестных коэффициентов ад. ад ( = — ! — 1 — й )+ад+,(я+1)[2(1+1)+Ц=-О, (47.18) Мгд ) которые приводят к формуле и а+1+!в 1' А д+~ д (Д-)-1)(а+21-)-2) Из последнего соотношения следует, что (47.19) 1+ 1+ — =- В $' А а+21+2 — (1 — ед), од+о 1 ад д+1 (47.20) Ясно, что 1нп ед — д О.
Поэтому начиная с некоторого члена Й=ло имеет место неравенство — = — (1 — ед) ) — (1 — ед ), а„а+1 1+Д о' (47.21) причем при достаточно больших ло величина ед, может быть сделана сколь угодно малой. Неравенство (47.21) показывает, что начиная с й = ло члены ряда (47.16) растут быстрее, чем члены ряда <'-' о) ='Е " Е". Д1 д=о (47.22) Поэтому функция о, определяемая бесконечным рядом (47.16), растет быстрее, чем функция (47.22). Число ед может быть выбрано сколь угодно малым. Следовательно, если и представляется бесконечным рядом (47.16), функция (47.14) на бесконечности обращается в бесконечность, что недопустимо.
Поэтому ряд (47.16) не может быть бесконечным. Оборвем его на члене й, т. е. будем считать, что ад чь О, ад+, =ад+,— — ... — — О. Из формулы (47.19) видно, что условие обрыва ряда имеет вид В г' А — — — ! — 1 — а=О. (47.23) 156 Подставляя ряд (46.16) в уравнение (47.17) н перегруппировывая члены, получаем ОЭ (= — 1 — 1 — й) аде" +~~~~ [2(1+1)н+Уг(н — 1Над0' '=О. о=о 1 д=о Учитывая значения величин В и А, определенных в (47.2) находим следующее выражение для уровней энергии водородоподобного атома: зт аэ (47.24) '~О ' где введено обозначение я==1+я+1. (47.24а) Целое число и называется главным квантовым числом.
Целое число как это было отмечено, называется орбитальным квантовым числом; целое число л называется радиальным квантовым числом. Поскольку 1 и л могут принимать значения О, 1, 2... и т. д., главное квантовое число принимает значения а=1, 2, 3, (47.25) Радиальные волновые функции.
Уравнение (47.15) для функции и с учетом (47.23) может быть переписано следующим образом: оп" + [2(1+ 1) — 9] и'+(а — 1 — 1) о =О. (47.26) Рассмотрим функцию 1 =. е-~9'+~. (47.27) Сравнение уравнения (47.31) с уравнением (47.26) показывает, что они совпадают, если в уравнении (47.31) положить д = 21+ 1, и — 1 — 1 = з =- й.
(47.33) 157 Дифференцируя эту функцию по 9, получаем уравнение ЕГ+ Е1 — (э+ 7) 1= 0- (47. 28) Дифференцируя это уравнение (з [-1) раз, находим фв+г> [ (д [ 1 о)[О+>>+ (з+ 1)1О> 0 (47 29) Введем теперь новую функцию д по формуле [п>=е 'а'а. (47.30) Подставляя это выражение для 1о> в уравнение (47.29) и сокращая на множитель е — >'Оч, получим для д следующее уравнение: Еа +1[+1 — Е[а'+ха=-О. (47.31) Решения уравнения(47.31) называются полиномами Лагерра Я[ч>(д). Из (47.30) с учетом (47.27) следует, что а(э! ЯЬ»(9) = е+РО '> — (е->'Ое>') = 3 фв ( 1)Б ~ Б (9+ ) Я-1 [ ( >) (ч+~) (ч+~ 11 Б-2 11 2! (47.32) Следовательно, (47.
34) =-1У„Д. — (й) (2(+4) и радиальная волновая функция К„о являющаяся собственной функцией уравнения (47.4), записывается следующим образом." йт = (У„,е-мои'Я'+ 11 (о) й — и ( 1, (47,35) причем коэффициент 1У„~ находится из условия нормировки: т (у' )' щ~го Нг . № ~ е-ой2('+ 41я)ы+ ~!я(22'+ ~!ай = 1, (47.36) (2 У'Я)о о где учтено, что г=о!2)/ А, причем А дается равенством (47.2). Представив в подынтегральном выражении в (47.36) один из полиномов Лагерра в виде К + 1=еор *' ' (е-ой~+ма), (47.37) еео а другой — в виде ряда Я~ '+ 1=( — 1)" [ "— ( йо '+... [ (47.38) 1! и интегрируя й раз по частям, получаем СО <О е-одоп+'>Я( '+'1() '~' Нй=- ~ е-ойоы'+" [(й+1)! о— о о — й(21+1+Уг) И[с(й=-(21+2+А)! (Уг+1)!— — Уг(21+1+1) И(21+1+1)! =-(21+[о+1)! й! 2(1+1+1).
Поэтому И =А" (о — 1 — 111(и+1)! и ' Ио — — А ~/ причем А = †--(Р'„ = ( †) , ао = . — радиус первой боровской 2то Г Д Х2 олеоао Ьо " (. ооп ) ' тооо орбиты в атоме водорода. Окончательно волновые функции водородоподобного атома могут быть записаны в виде Ч ..., †. (7.
(г) УГ (Е, р), (47.39) где 23 г 4леоло я= в ао= и ао ' тоео и =- 1, 2, 3, ..., 1 — О, 1, 2, ..., и — 1, и1 = — 1, — 1 -1- 1,..., ( — 1, 1. 158 Уровни энергии Ю'„вырожденьь Уровню с номером и принадлежит число состояний, равное ~=и — ~ т=! (47АО) г=в т. е. имеет место и'„кратное вырождению уровней энергии. Правило отбора для п. Нетрудно видеть, что интеграл г„„=- ~ К„~гК„чс(т Ф 0 (47.40) при любых соотношениях между п и и'.
Это означает, что правило отбора для главного квантового числа имеет вид Лп= любое число. (47.41) О 48. Распределение плотности в электронном облаке (48. 1) Прежде всего исследуем распределение электронной плотности в радиальном направлении. Для этого воспользуемся для Ч" ее выражением по (47.39) и произведем усреднение по углам О и ~р.
159 В сферических ксюрдинатах местоположение электрона в атоме характеризуется величинами г, О, Ч~. В квантовой механике мы не можем говорить о траектории движения электрона, а можем говорить лишь о вероятности местонахождения электрона в той или иной области пространства. Поэтому для наглядности можно представить массу и заряд электрона как бы распределенными в пространстве вокруг ядра. Плотность массы и заряда в каждой точке пропорциональны плотности вероятности для электрона находиться в этой точке. Поэтому можно говорить о распределении плотности (массы или заряда) в электронном облаке. Физический смысл распределения плотности в электронном облаке заключается в следующем.
Если имеется очень большое число совершенно одинаковых атомов и если в каждом из этих атомов произведено измерение местоположения электрона, то число случаев, когда электрон окажется в том или ином элементе объема, пропорционально вероятности нахождения электрона в этом элементе объема. Таким путем мы можем в принципе проверить предсказания теории и получить физическую интерпретацию распределения плотности в электронном облаке. Плотность вероятности местоположения частицы дается квадратом модуля волновой функции. В рассматриваемом случае волновая функция имеет вид (47.38).
Элемент объема в сферических координатах равен Ит =- г' з(п 0000ЧНг. Следовательно, вероятность того, что координаты электрона заключены между (г, г + Й), (О, 0 + НО) и (~р, гр + йр), равна Ч~*„~ (г, О, ~р) Ч~ю (г, 6, ср) гэ з(п 0 НО йр с(г. В результате останется лишь зависимость от г, характеризуемая функцией й„ь Формула (48.1) показывает, что распределение плотности в радиальном направлении характеризуется функцией О„~ (г) = Й'„~г'. (48.
2) Рассмотрим наиболее характерные особенности этого распределения. При /г = О, 1= и — 1 орбиты являются круговыми. Чтобы в этом убедиться„заметим, что абсолютная величина момента количества движения равна ~ М,~ = — ~ (г, р) ~ =-- т,пг з(п (г, ч). При данной абсолютной величине скорости и, или, что то же самое, при Р(г/ Л (г4 гпа„ г г Рис. сс Рис. 84 данной энергии частицы, ее момент имеет максимальную величину, когда ып (г, ч) = 1. Но это соответствует круговому движению. Поэтому можно сказать, что при данной энергии при движении по окружности частица обладает максимальным моментом. Величина 1 = и — 1 соответствует максимальному моменту и, следовательно, случаю круговых орбит классической теории.
В этом случае Я'+1 = 1 = сопз(, )т„1 = сопз1 е с/з д" ' и поэтому 0(г) =- сопз1 е — сй"'. (48.3) Вид этой функции представлен на рис. 34. Значение радиуса, прн котором достигается максимум плотности, находится из условия де -- — = О. Отсюда для радиуса г„получается значение г„= аоп, 2 У (48.4) совпадающее с боровским значением радиуса соответствующей орбиты. При Й ~ О орбиты эллиптические. Полипом Лагерра л-ой степени имеет А корней. Поэтому функция 0 (г) А раз обращается в нуль, как это изображено на рис. 35. 160 % 49.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
