Матвеев А.Н. Квантовая механика (1185136), страница 34
Текст из файла (страница 34)
Точно такое же соотношение между механическим и магнитным моментами существует и по квантовой теории. Если состояние электрона описывается функцией Ч', то по формуле (29.5) плотность тока дается следующим выражением: 1= —,"-" ( Р~Ч вЂ” Ч.~ Р). (54. 7) 2мо а отличной от нуля является лишь составляющая тока в направлении координатной линии !2, т. е. в широтном направлении: (54. 10). 176 В сферической системе координат составляющими оператора 1 д 1 д являются д/дг, — — и —.— и поэтому г да ~з1вздт (ч, ~~ Поскольку функции )7 (г) и Р~ (соз 9) в выражении (47.39) являются действительными функциями, из (54.8) следует, что !г=!а=О, (54.9) В этой формуле те обозначает массу электрона, а т — магнитное квантовое число.
Вычислим магнитный момент атома, обусловливаемый током (54.10). Через плошадку е(а, направленную перпендикулярно координатной линии ]р, протекает ток Ы= )е](о, (54.11) который создает магнитный момент е(р] = ]У. 5 =! ФЯ е(о (54. 12) где о' = — пг' ейпз Π— площадь, обтекаемая элементом тока Ы. Таким образом, яез з! пз О еИ е(р]з= —.— '- т! Ч'зьз]зе(а, мзе 5Ш О (54.
13) и, следовательно, ]]ы=- 2 — lл ~ 2яг 51п 0 е(о ~ зР„! еИ (54. 14) 2мо Вдоль трубки тока величина ! Ч'„] ]з постоянна, а величина 2пг ейп О ](о = «(т есть объем этой трубки тока. В силу условия нормировки 2пг ып 0 ( Ч'„] (з е(о = 1. Поэтому еИ ]еы =- — т. 2ззе Учитывая, что, по квантовой теории, Мы =йт, (54.15) (54.16) можем равенство (54.15) записать в следующем виде: е Р— ~,„й4 мз (54.17) 177 12 Ззкзз РЗ 1094 которое совпадает с формулой (54.5) классической теории. Поскольку в качестве оси г можно взять любое направление, соотношение справедливо для проекций на любое направление. Таким образом, можно заключить, что соотношение (54.6) между орбитальными механическим и магнитным моментами остается справедливым также и в квантовой теории. Величина и ориентировка орбитального магнитного момента.
Соотношение (54.6) с учетом формул (45.20а) и (45.206) показывает, что абсолютная величина магнитного момента, обусловленного орбитальным движением электрона, дается формулой р =,' )/1(1+1)=р~)'1(1+1), (54. 18) еИ где рв= — есть магнетон Бора. 2е2р Рис. 42 Проекции магнитного момента на некоторое направление в соответствии с формулой (45.206) равны 1сы = 1св и, т = — 1, — 1+ 1,...,1 — 1,1, (54.19) т. е.
всего возможно (21+ 1) способов ориентации магнитного момента относительно избранного направления. Очевидно, что углы, которые образует вектор М1 с некоторым избранным направлением, например с осью г, могут быть найдены по формуле соз (хоМ1) = ~ щ (53.20) 1М,1' где хс — единичный вектор в направлении оси г, хсМс — угол между Мс и осью г. Пользуясь для Мм и Мс их выражениями по формулам (45.20а) и (45.20б), мы можем формулу (54.20) представить в следующем виде: г! соз (*,Мс) = — — . (54.21) 1с1(1+ 0 Поскольку максимальное абсолютное значение сл = 1, 1 из формулы (54.21) следует, что угол (хсМс) не может быть равен 0 или и, т. е.
нельзя себе представить, что вектор М~ ориентируется строго вдоль некоторого направления. Зто и понятно, потому что если Рис 41 бы это было так, то, зная абсолютную величину век- тора Мс и его ориентировку, мы смогли бы одновременно определить его три проекции на оси координат. Но это запрещается правилами коммутации для операторов М„, М„, М,. Схематически различные возможные ориентировки магнйтного момента изображены на рис. 41. Зта дискретность в ориентировке магнитного момента называется обычно пространственным кван- 1 тованием.
Оно было подтверждено в опытах, которые будут изложены позднее. То обстоятельство, что невозможно одновременно измерить все три проекции векто- 1 ра Мо а можно лишь измерить абсолютную 1 величину вектора ~М1( и о д н у и з е г о 1 проекций, может быть наглядно интерпретирована следующим образом. Представим себе„ что вектор М~ прецессирует вокруг избранного направления (рис. 42). Ясно, что в этом случае вполне определенное значение имеет лишь проекция вектора Мс на направление, вокруг которого он прецессирует.
Две другие проекции вектора Мс на направления, лежащие в плоскости, перпендикулярной к оси прецессии, остаются полностью неопределенными. 178 Напомним еще раз, что наиболее разительным отличием квантового представления об орбитальном моменте от классического является тот факт, что в з-состоянии орбитальный момент равен нулю. Лать какую-то классическую интерпретацию этого явления с точки зрения классических представлений невозможно. Заметим, что, как следует из (54.18), орбитальный магнитный момент электрона в з-состоянии также равен нулю. Гиромагнитное отношение. Отношение величины магнитного момента к механическому моменту в единицах е/2т, называется гиромагнитным отношением. Иначе говоря, если отношение величины магнитного момента к механическому представить в виде р е Л, 9 ДЮ 9»яо (54.22) то безразмерное число д называется гиромагнитным отношением.
Гнромагнитное отношение характеризует соотношение между магнитным и механическим моментами системы. Из формулы (54.6) следует, что (54.23) Сравнение (54.23) с определением гиромагнитного отношения (54.22) показывает, что для орбитального магнитного и механического момента электрона гиромагнитное отношение д~ равно единице, т. е. (54.24) й'с= 1. Гиромагнитное отношение для спина электрона мажет быть найдено нз формулы (53.7). Эта формула может быть записана в виде и, е — "' = —.2. м, (54. 25) Следовательно, гиромагнитное отношение для спина равно 2: д» = 2. (54. 26) 9 55.
Полный момент электрона Сложение орбитального момента и спина. Наряду с орбитальным механическим и магнитным моментом электрон обладает внутренним механическим моментом„или спином, и соответствующим ему спиновым магнитным моментом, величины которых определяются формулами (53.2) и (53.6). Вектор полного момента электрона является суммой орбитального момента и спинового момен- !2» 179 Отличие гиромагнитного отношения для спина от гиромагнитного отношения для орбитального движения имеет сушественное зна- чение при рассмотрении полного механического н магнитного момента атома.
та. Обозначая полный механический момент электрона через М,, можно написать М2= %+ Мм (55.1) где М, — орбитальный момент электрона, М, †е спин. Известно, что момент количества движения всегда квантуется формулами вида ~М,~ = й )г((1 + 1), М,=- й Уз(з †, 1). (55.2) Поскольку полный момент М„является также моментом количества движения, естественно ожидать, что его величина дается также формулой вида (55.2), т. е. ~ м, ~ = ~ гтс ги.
(55.3) где 1' — квантовое число полного момента. Надо определить величину 1. Возможные проекции векторов М, и М~ на ось г нам известны: Ми= й ...=- -г, -(+1, ..., (-1, 1; 1 г)4„=йт„гл„= — з, — э+1= з(з= — ) . ~ 1 к 2)' ) (55.4) Из определения (55.1) следует, что М.,=Мы+М„. (55. 5) Таким образом, орбитальный момент электрона и механический момент электрона могут складываться лишь двумя способами так, чтобы абсолютная величина полного момента выражалась формулой (55.3), в которой квантовое число полного момента ) определяется равенствами (55.7). Проекция полного момента на избранное направление дается формулой (55.6). Угол между орбитальным и спиновым моментами.
Для определения угла между орбитальным и спиновым моментом возведем обе части равенства (55.1) в квадрат: Мз = — Ч)+М,-"+2 ! Мс ! ! М, ! соз (Мс, М,). (55.8) Далее примем во внимание, что для проекций Мз, следует ожидать формулу, аналогичную формулам (55.4а) и (55.4б) для проекций Мц и М„, т. е.
формулу вида М;,=длил и,= — ), — /+1, ..., 1 — 1, 1. (55.6) Сравнивая формулу (55.6) с формулой (55.5) и принимая во внимание формулы (55.4а) и (55.4б), видим, что при данном 1 квантовое число ) может принимать два значения:  — 1+2 1 — 1 — 2- (55.7) Отсюда следует, что сов(М1, М,) = 11!Б) (55.9) Выражая в этом равенстве величины М,, М» М, по формулам (55.3) и (55.2), находим соз(М~, М )= 1()+1) — 1(1+1) — Б (Б+1) 2) 1(1+1) '1 з(Б-)-1) Два возможных угла между векторами М~ и М, получаются из этой 1 формулы, если в неи положить)~ — — 1+ з = 1+ — и )з = 1 — з =- 2 1 =- ( — —.
2 ' В связи с этой формулой возникает вопрос, что следует понимать под углом между векторами М1 и М„поскольку мы не можем говорить о каком-то конкретном направлении каждого из этих векторов в пространстве ввиду прецессии векторов. Этот угол имеет следующий смысл. В отсутствии внешнего момента сил полный момент количества движения сохраняется. Поэтому при указанных условиях вектор М„сохраняется.
Следовательно, вектора М1 и М, прецессируют вокруг вектора М; и их проекции на направление вектора МБ имеют вполне определенные значения. Нетрудно вычислить также и угол между каждым из векторов и вектором М). Отсюда очевидным образом получается угол между векторами М~ и М, и становится ясным, о каком угле идет речь. Полный магнитный момент атома.
Полный магнитный момент атома определяется как сумма вектора орбитального магнитного момента электрона и спинового магнитного момента: Рэ — Р1+ РББ й 56. Векторная модель атома. Рассел-саундерсовская связь Полный механический и магнитный моменты атома слагаются нз механических и магнитных моментов и спиноз и спиновых магнитных моментов электронов, образующих электронную оболочку атома.
Однако поведение вектора полного механического (и маг- 181 причем )ч и м, определяются формулами (54.6) и (53.6). Гиромагнитное отношение для спинового момента не равно гиромагнитному отношению для орбитального момента. Поэтому, как это непосредственно видно из формулы (55.Н), вектор полного магнитного момента атома не параллелен вектору полного механического момента. В этом проявляется влияние различия гиромагнитного отношения для спина и орбитального движения. Более подробно этот вопрос будет рассмотрен в общем случае в следующем параграфе. нитного) момента атома зависит от способа и последовательности сложения отдельных слагаемых. Прежде всего рассмотрим общий метод сложения моментов количества движения с учетом пространственного квантования. Сложение моментов количества движения в общем случае.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
