Матвеев А.Н. Квантовая механика (1185136), страница 31
Текст из файла (страница 31)
Схема уровней энергии водородного атома и спектр излучения Поскольку формула (47.24) не отличается от соответствующей формулы (21.5), полученной по боровской теории, то схема уровней атома водорода, полученная по формуле (47.24), полностью совпадает со схемой уровней по теории Бора, которая подробно обсуждалась в 9 22.
Частоты излучения и различные серии спектра атома водорода описываются совершенно аналогичными формулами, которые были получены в теории Бора. Поэтому повторять их нег необходимости, и мы лишь отметим различие в интерпретации формул. Теория Бора не могла объяснить, почему значение и == 0 в формуле (21.5) должно быть отброшено. В формуле же (47.24) значение и — О естественным образом исключается, поскольку и -- 1+ А+ 1, а величины 1 и А могут принимать только нулевые или положительные значения.
Второе различие заключается в интерпретации характера движения и квантовых переходов. В теории Бора считалось, что электрон движется по некоторой орбите, которая почти не отличается от соответствующей орбиты классической механики. Отличие состояло лишь в том, что электрон, несмотря на наличие ускорения, не излучает. Кроме того, вне классической механики оставался вопрос о том, почему электрон дви>кется именно по этой классической орбите, а не по другой (правило квантования Бора).
Излучение в теории Бора имеет место при переходе электрона с одной орбиты на другую. В квантовой механике интерпретация движения электрона другая. Прежде всего нельзя говорить о движении электрона по какой-то траектории, т. е. нельзя представить координаты электрона как функции времени. Это связано с общими особенностями вероятностного описания движения мпкрочастиц в квантовой механике. Поэтому вместо представления о движении электрона по определенной орбите употребляется представление о состоянии движения электрона, описываемого той или иной волновой функцией, т. е.
говорят, что электрон находится в том нли ином состоянии. Состояние движения электрона не всегда имеет даже какой-то приближенный классический аналог. Например, при 1 =- 0 момент движения электрона равен нулю. С точки зрения классической интерпретации это соответствует движению электрона вдоль радиуса, т. е. электрон при своем движении должен пересекать область, занятую ядром.
Такое движение в классической механике невозможно. В квантовой же механике орбита с нулевым орбитальным моментом существует — это з-состояние электрона. Распределение электронного облака в этом состоянии сферически симметрично. Отсутствие орбитального момента количества движения у электрона, находящегося в з-состоянии, надежно подтверждено экспериментами. Переходам электрона с одной орбиты на другую в квантовой 11 Заказ № 109Я 1б! теории соответствуют переходы электрона из одного состояния в другое. Различие в боровской и квантово-механической интерпретации состоит в том, что переход электрона с одной орбиты на другую связан с представлением о пространственном перемещении электрона с одной орбиты на другую, переход же электрона из одного состояния в другое не может быть связан с каким-то конкретным пространственным движением электрона.
ьч 50. Учет движения ядра Поскольку масса ядра много больше массы электрона, мы пренебрегли движением ядра, т. е. считали массу ядра бесконечной. Фактически же масса ядра конечна н поэтому электрон и ядро движутся вокруг общего центра тяжести. Это движение ядра оказывает некоторое, хотя и небольшое, влияние на спектр. Обозначим радиус-вектор электрона через гь а радиус-вектор ядра — через г,.
Импульсы и массы электрона и ядра пусть будут соответственно р, и ио, ро и )Ио. Очевидно, полный гамнльтониан системы ядро— электрон имеет вид 1 " 1 Хео Й = а,' (- — р*,— (50.1) 2то ' 2Мо о 4поо!гг — гг! В уравнении Шредингера )рр=Йр (50.2) перейдем от векторов г, и го к другим переменным по формулам того+Мого (50. 3) то+ Мо г=г,— г,.
(50.4) Вектор г„— радиус-вектор, проведенный к центру тяжести системы ядро †электр, а г — радиус-вектор в направлении от ядра к электрону. Из (50.3) и (50.4) следует, что дх! дх то )- Мо дх„' дхх дх то+Мо дх„' и, следовательно, 1 ФЧ' 1 доЧ' 2 доЧ' то д'Ч" то дхе то дхо +та ЬМодхдхц (то+Мо)одхо 1 доЧ' 1 ФЧ' 2 доЧ' Мо доЧ' Мо дхое Мо дх' то+ Модх дхц (л1о+Мо)' дхоц (50.6) ( ( + )ох+ — М тх 1 — 4 > (50.7) 162 Поэтому гамильтониан (50.1) в новых переменных выглядит следующим образом: где а Ю 3 , 1Я ао 3 Р.'= — + — + — Ч'. = — + — +— део дуо део ' "ц дхо дуо део ц ц ц Следовательно, уравнение (50.2) имеет вид Ло Л г — — Р*„— — -р„'— ) Ч'(г, гц), — 2И х 2М вЂ” хо Оде,, ) й(ц = то+ л(о.
КЧ'(г, гц)= ( (50.8) 1 1 1 — = — +— Р то Мо Полагая Ч' = е* "цЧ'(г), (50.9) где функция е ц описывает равномерное движение центра где тяжести системы, получим для функции Ч'(г) следующее уравнение: РЛ+ 1о ! % ("о+4 — )Ч~=О, (5010) здесь Лоьо Кц — —— 2Мд (50.10а) есть кинетическая энергия равномерного движения системы как целого, а через то+ Мо (50.11) обозначена приведенная масса системы электрон — ядро. Очевидно, что, не ограничивая общности центр тяжести системы электрон— ядро, можно считать покоящимся и положить 1е'ц = О. Тогда уравнение (50.10) сведется к уравнению 7Ч+'Р(К+ 'е )Ч=О, (50.12) совпадающему с уравнением Шредингера для частицы, имеющей массу р, которая движется в кулоновском поле неподвижного ядра.
Поэтому все полученные выше результаты сохраняют силу, если везде массу электрона то заменить на приведенную массу (50.11). В частности, для энергии стационарных состояний вместо (47.24) получаем формулу 1е2оео 1 то2оео ! 1 д 32цоееао до 32цоео)Ло и'- то 1+ — о Мо то2оео ! /' то ~ 32цоооЧР це ! Мо (50.13) 11* 163 Эта формула показывает, что частоты излучения оказываются сдвинутыми относительно тех положений, которые они должны были бы занимать, если бы масса ядра была бесконечной.
Величина сдвига зависит от массы ядра. Следовательно, линии излучения различных изотопов оказываются сдвинутыми друг относительно друга. Этот сдвиг называется изотопическим сдвигом, О примерах изотопического сдвига говорилось в ф 22. $ 51. Собственные значения энергии щелочных металлов Атом водорода является простейшим атомом и его расчет оказывается возможным сравнительно простыми аналитическими методами.
Для других атомов задача значительно усложняется и приходится пользоваться приближенными и численными методами. Однако для щелочных металлов многие важные результаты могут быть получены сравнительно просто. Это обусловлено их строением. Щелочные металлы в периодической системе Менделеева следуют за благородными газами: литий следует за гелием, натрий — за неоном, калий — за аргоном и т.
д.— и имеют на один электрон больше, чем соответствующие благородные газы. Атомы благородных газов характеризуются очень большой устойчивостью. Чтобы их ионизовать, требуется сравнительно большая энергия. Щелочиые металлы одновалентны и их сравнительно легко ионизовать. Поэтому структура электронной оболочки щелочного металла весьма характерна.
Если атом щелочного металла имеет всего 2 электронов, то можно утверждать, что 2 — 1 электронов атома образуют структуру атома благородного атома, а последний электрон связан с этими электронами и ядром весьма слабо. Таким образом, первые (2 — 1) электронов и ядро образуют остов с зарядом +е, в эффективном поле которого движется электрон, называемый валентным.
Таким образом, щелочные атомы являются водородоподобными атомами, однако неполностью. Дело в том, что внешний электрон несколько деформирует оболочку первых 2 — 1 электронов и несколько искажает их поле. Поэтому потенциальную энергию поля, в котором движется валентный электрон, можно представить в следующем виде: (/= — Д( —,'+ ~х+ф+ . -), (5!.1) где члены — С,ез/4пеу', — С~'/4пе,гз и т. д. представляют поправки, учитывающие отличие поля атомов щелочных металлов от поля атома водорода. В вычислениях мы ограничимся учетом лишь первой поправки С,с'/4пе,г'. Тогда все вычисления ~ 47 остаются без изменения, надо лишь в выражении для потенциальной энергии учесть ее значение по (51.1).
Вместо уравнения (47.1) получаем (51.2) 164 Переписав это уравнение следующим образом: — — ', ~1(1+1) — С, —,""' — ' Ц Ч!=О, (51.3) видим, что оно полностью совпадает с уравнением (47.1), если положить (+ ) С''ае44 ~ (1+ )' (51.4) причем во все последующие вычисления 2 47 вместо величины ! войдет величина Г, определяемая формулой (51.4).
Решение квад- ратного уравнения (51.4) будет (51.5) Отрицательные значения Г должны быть отброшены, поскольку они приводят к бесконечности волновой функции в нуле. Поэтому окончательно выражение (51.5) для !' может быть представлено в следующем виде: '= — 2+2 '1'("+')' — С -',! = Если С, =- О, то !' = 1, как и должно быть. Член, содержащий С„ учитывает поправку на искажение поля. Если оно мало, этот член также мал.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
