Матвеев А.Н. Квантовая механика (1185136), страница 27
Текст из файла (страница 27)
(45.17а) Циклической перестановкой индексов х, у, г легко найти остальные два коммутаторных соотношения: М„и. — М,м„= 1йм, (45. 17б) М М М М:юйму (45. 17в) Из некоммутативности между собой операторов компонент импульса следует, что различные компоненты импульса не могут одновременно иметь определенные значения. Легко показать, что операторы М„, л(у, М, коммутируют с оператором квадрата момента импульса М'= Й„'+М'„+М;, т. е. На основании уравнения (45.6), в котором ) = 1 (1 -1- 1), н (45.10) следует, что собственные значения оператора М' и М, равны соответственно М~~ = ЬЧ (1+ 1) (1= О, 1, 2, ...), (45.20а) М,=Ьи (т=-0, 4.
1, ь 2, ... +1). (45.206) Последние формулы дают квантованные значения абсолютной величины момента импульса и проекции момента импульса частицы на ось г. Напомним, что коль скоро компонента М, имеет определенное значение, две другие компоненты М„и М„определенных значений иметь не могут. Но, конечно, в качестве направления оси г может быть выбрано любое направление. Далее следует подчеркнуть, что все выводы о моменте количества движения и его проекциях носят совершенно общий характер и не зависят от того, в каком конкретном поле движутся частицы. Эти выводы выражают квантово-механические свойства момента как физической величины.
Закон сохранения. Оператор кинетической энергии Ра «а а Ьа 1 д г а д '~ аа 7о,о Т~= — = — — ра = — — — — 1 га — 1 —— 2то 2жа 2ео га дг ~ дг,/ 2то с учетом (45.20) может быть записан в виде д4а Т= Т„+ ог где через Т„обозначен оператор кинетической энергии радиального движения: Таким образом, гамильтониан при движении частицы в центрально-симметричном поле У (г) может быть представлен следующим образом: й = Т„+,а г +() (г).
Принимая во внимание, что операторы М„, М„, М„М' зависят только от угловых переменных и, следовательно, коммутируют с функциями и операторами, зависящими только от г, а также учнтывая, что Й, М„, М, коммутируют с М', мы видим, что все операторы М„, М„, М„Ма коммутируют с гамильтоннаном. Это означает, что все эти операторы являются интегралами движения в центрально-симметричном поле. Аналогичное положение имеет место и в классической механике. Принимая во внимание правила коммутации между различными компонентами момента, мы заключаем, что при движении в центрально-симметричном поле одновременно измеримыми являются энергия, квадрат полного момента 140 импульса и проекция момента импульса на какое-либо направление. Четиость. Рассуждения, проведенные в О 43 о четности функции в одном измерении, могут быть непосредственно обобщены на случай трех измерений.
Если произвести отражение координат относительно начала, т. е. заменить х на ( — х), у — на ( — у), г — на ( — г), то гамильтониан не изменится (Ч» при таком преобразовании очевидно не изменяется). Следовательно, собственные функции, принадлежащие невырожденным собственным значениям, должны обладать определенной четностью, а из собственных функций, принадлежащих вырожденным собственным значениям, всегда можно составить такие комбинации, которые обладают определенной четностью. Напомним еше раз, что выражение «волновая функция обладает определенной четностью» означает, что если в волновой функции координаты х, у, г одновременно заменить на ( — х, — у, — г), то абсолютная величина функции не изменится, а ее знак либо не изменится, либо изменится на обратный.
В первом случае мы говорим, что функция четная, во втором — нечетная. Для нахождения четности волновых функций, описывающих движение в центрально-симметричном поле, заметим, что отражение ксюрдинат относительно начала, т. е. замена х — х, у -э- — у, г — — г в сферической системе координат сводится к замене О на и — О и <р на ~р + и при неизменном значении г. Следовательно, четность Ч' в (45.4) совпадает с четностью У (О„<р).
Множитель е' ч имеет четность т, так как е«»(»4 и) = ( — 1)'" еь», а четность функции функции РГ согласно (45.12) определяется четностью числа ! — т. Это видно непосредственно, если учесть, что множитель (1 — з»)» является четной функцией относительно изменения знака у $ =- соз О, а четность производной определяется числом 21 — (! + т) = ! — т. Четность произведения двух функций определяется четностью сомножителей.
Поскольку четнасть одного из сомножителей совпадает с четностью числа т, а четность другого сомножителя совпадает с четкостью числа ! — гп, четность их произведения совпадает с четностью числа т+(! — л«) =1. Это означает, что четность сферической функции УГ определяется четкостью квантового числа 1. Четность полной волновой функции частицы, движущейся в центрально-симметричном поле, совпадает с четностью квантового числа Как сказано выше, число ! определяет величину момента импульса, которая дается формулой М~= й)/!(1+1). 141 ,р 2топея )5( р О (45.21) где а, — радиус ротатора.
На основании сказанного в предыдущем Таблица 1 1 Г!' гт ( Сяс(ояяяе 1 Уа— 4(( а 4п 1=0, т=о 3 ! УЯ ! а= — соаа 6 4л 1т — О ! )т=+! ! )(т= — 1 У',= у — соя 6 г 3 4(( У', = 1/ . ил О е( а( /3 2л /з !/ - -Мп бе У 2п' У(я=- —. 1Г' .". Мп 6 е(ао 1 Г1" 4 2п Уя= — аГГ а!п 6 соа 6 е(о /15 ~Г зп г 2(( Уяе — — — -- 1/ - -а!па 8 е 4(о 1 Г15 4 2п 3 ~ У' ! а =- -.-- сипи 0 2й 1=- 1 3 !У (!а= — е!па6 2п 1=1 5гз!~а ! УЯ )Я= — ! — соаа 8 — — ~ 4п 1, 2 2 г' т=о 1=2 15 ! У, ~ а=-„- а(п46 15 ! У' ~ а = — — Мпа 6 соса 8 ап 15 !Уя((я=а егпабсоаа8 ап т= — 1 15 !у- (а= — -МпеЕ 32п 1=2, 142 Однако для удобства говорят, что момент импульса равен ! — -- О, 1, 2, ... Квантовое число ! называют орбитальным квантовым числом, а квантовое число и( — магнитным.
В связи с этим часто говорят, что четносгь волновой функции частицы, движущейся в центрально-симметричном поле, совпадает с четностью орбитального квантового числа, или, короче, с четностью момента импульса частицы. Собственные функции и собственные значения ротатора. Простейшим случаем движения частицы в центрально-симметричном поле является ее движение на неизменном расстоянии от центра (жесткий диполь).
Такая система называется ротатором. Задача о ротаторе имеет применение при исследовании спектров молекул. Поскольку для ротатора г =- сопз1, не ограничивая общности, можно положить (/ (г) = О. Уравнение Шредингера для ротатора имеет вид параграфе мы заключаем, что собственные значения энергии рота- тора равны: л аг й' = —,„, к1(1+!) =-,—,-1(1+!), (45.22) 2иггао где У = тга„'есть момент инерции ротатора. Собственными функциями являются функции У7(0, ~), определяемые выражением и Е=Ы т гу 1=0' т=О Х.п т !! Рис. 2Э (45.!6). Пусть ! — -О. Тогда т = 0 и У", =- = . В случае ! = 1 ! Г' 4п имеется три собственных функции с гп = — 1, т =- О, т = +1.
При 1 = 2 кратность вырождения равняется пяти. В табл. 1 даны формылы для простейших функций. Поскольку ~ У™ ! ' не зависит от угла гр, распределение плотности вероятности местоположения частицы является аксиально-симметричным. Это распределение графически можно изобразить на плоскости (е, у), откладывая величину 1У~ ~' по радиусу-вектору в направлении угла О. На рис. 29 изображено распределение плотности для случая ! = 0 и ! = 1.
Правила отбора. Для вычисления матричного элемента от е = а, сох О = агэ, где $ = соз О, примем во внимание рекурентное соотношение йР~ 6)= 211 ! Р~+! К)+-2~ 1 ! Р~ тп(6)- (45.23) Тогда получаем еить !т = ~ (Уи ) еуг г((! = =аг(Сг )" С~ ~ $Рг+!(Ц)Р~ Д)е-! 'г'ь! чг(()= = аг (С~ )* С~ ~ — — —,— + — ! Р,.э.
! (Ц) Р'," (Ц) е-'""г !з г Щ ! 2Г+1 -1- +т ( Р™ Р е ь"'г+' аг(() ) \ где через Сг' обозначены нормировочные коэффициенты, которые нет необходимости выписывать. Прн и' = гп, Г + 1 = ! первый !43 интеграл отличается от нуля, а второй равен нулю, а при т' = т, à — 1 = 1 первый интеграл равен нулю, а второй отличен от нуля. Таким образом, получаем следующие правила отбора: Лт == О, И = ~ 1. (45.24) Однако эти правила отбора не являются полными, так как необходимо еще рассмотреть координаты х и у. Введем для удобства величину т! = х+ !у = поз!пбе"Р.
Рассмотрим матричный элемент т! т,„,=по ~ з!пбе'е(У1 )*Уг сЯ. (45.25) Воспользовавшись рекурептным соотношением 5г) р|н 1 (рм+! рм+1) находим, что величина (45.25) отлична от нуля при Лт=~ 1, Л1=~ 1. Таким образом, правила отбора для ротатора имеет вид Ьт=О, + 1, Ы=+ 1. (45.26) Пользуясь этими правилами отбора для частот переходов, находим следующие формулы: 1р,— 1р,ь, а 11(1+1) — (1 — 1) 1 = кг (1(1+1) — (1+1) (1+2) ~ 1, если Р =-1 — 1,* (45.27) 1 — (1+1), если 1'=1+1. Отрицательный знак частоты показывает, что при соответствующем переходе происходит не излучение, а поглощение кванта этой частоты.
Классификация состояний по моменту количества движения. Состояния движения электрона с различными моментами количества движения имеют специальные названия. Если квантовое орбитальное число 1 равно нулю, то говорят, что электрон находится в з-состоянии, при 1 = 1 говорят о р-состоянин и т. д. 1 г ' ПРименение этих формул будет рассмотрено при изучении спектра молекул. 144 При рассмотрении движения электронов говорят об э-электронах, р-электронах, й-электронах и т.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
