Матвеев А.Н. Квантовая механика (1185136), страница 22

Просмтор этого файла доступен только зарегистрированным пользователям. Но у нас супер быстрая регистрация: достаточно только электронной почты!

Текст из файла (страница 22)

Эта вероятность )Р' равна обратной величине времени жизни системы относительно рассматриваемого перехода: 1 Л (Š— Е') (37.25) 6 Соотношение неопределенности для энергии особенно ясно показывает, что существование соотношений неопределенности для величин в квантовой механике обусловливается не какими-то особенностями измерения, а внутренними особенностями самих квантовых систем. Интерпретация соотношения неопределенностей.

Как уже было сказано, соотношение неопределенностей является математическим выражением наличия у частиц как корпускулярных, так и волновых свойств. Поэтому оно является объективной закономерностью, отражающей объективные свойства частиц, и не обусловливается теми или иными особенностями измерения соответствуюших величин в конкретном эксперименте. В процессе своего исторического развития человечество выработало понятия о закономерностях движения корпускул и о закономерностях волнового движения. Эти понятия были выработаны для макроскопических явлений. Они используются и при описании микроскопических явлений.

Но они не адекватны реальным свойствам микрочастиц, которые не ведут себя ни как корпускулы, ни как волны. Соотношение неопределенности и отражает ту степень погрешности, которая допускается, когда эта сложная сущность частиц игнорируется, и поведение частиц описывается спомошью понятий и величин, свойственных чисто корпускулярной или волновой картине. Для понимания явлений микромира мы не обладаем другими понятиями, кроме понятий, свойственных чисто корпускулярной и чисто волновой картине. Поэтому весь наш анализ явлений микромира мы вынуждены вести в рамках этих понятий. Однако это невозможно, поскольку эти понятия отражают свойства объектов микромира односторонне и неполно и не являются безусловно применимыми для этого. Если эти понятия абсолютизировать и не принимать во внимание их односторонность и неполноту, то при анализе явлений микромира мы приходим к многочисленным противоречиям.

Факт наличия этих противоречий и является объективным доказательством недостаточности понятий макроскопического опыта для анализа явлений микромира. Эти противоре. чия устраняются, если припять во внимание соотношение неопределенностей. Поэтому можно сказать, что понятия макроскопического опыта можно применять к анализу явлений микромира, лишь принимая во внимание соотношение неопределенностей. Соотношение неопределенностей при познании закономерностей микромира является таким же важным элементом, как и понятия, которыми мы при этом пользуемся. 107 Рассмотрим в качестве примера, иллюстрирующего важность соотношения неопределенностей для анализа явлений микромира, движение электрона в основном состоянии атома водорода. В теории Бора точечный электрон движется по орбитам, которые квантованы.

Однако его движение по квантованной орбите ничем не отличается от механического перемещения частицы вдоль траектории в классической механике. В рамках квантовой механики мы уже не можем говорить о движении электрона по траектории, мы можем говорить лишь о вероятности местонахождения электрона в той или иной области пространства. Это обстоятельство также связано с принципом неопределенности: если электрон зафиксирован в какой-то точке пространства в какой-то момент времени, то его импульс, а следовательно, и скорость становятся полностью неопределенными и понятие траектории теряет смысл.

Распределение вероятностей координат электрона в атоме водорода будет рассмотрено в 3 48. Здесь нам достаточно заметить, что имеется определенная вероятность, что электрон находится от ядра достаточно далеко и достаточно близко. Наиболее вероятным расстоянием в основном состоянии является расстояние до первой боровской орбиты в теории Бора. Это заключение в принципе может быть подтверждено экспериментально. В настоящее время проведено достаточно много измерений распределения плотности электронного облака в атомах и эти измерения находятся в хорошем согласии с предсказаниями квантовой механики. Поэтому то обстоятельство, что, например, в основном состоянии атома водорода электрон может находиться на весьма различных расстояниях от ядра, может рассматриваться как экспериментальный факт.

Как показывает опыт, у всех атомов водорода в основном состоянии энергия ионизации одна и та же. Это означает, что полная энергия электрона в основном состоянии равна постоянной величине. Полная энергия слагается из двух частей: положительной величины кинетической энергии и отрицательной величины потенциальной энергии. Полная энергия электрона в основном состоянии атома водорода равна примерно минус !3,6 зв. Предположим, что мы не принимаем во внимание принципа неопределенности и хотим понять распределение вероятностей электрона в рамках корпускулярной картины.

Тогда мы сразу же приходим к противоречию. В самом деле, рассмотрим достаточно далекую от ядра точку, в которой электрон с определенной вероятностью может находиться. Потенциальная энергия, которую имеет электрон, находясь в этой точке, известна (У = — е'!4па,г). При достаточно большом расстоянии эта потенциальная энергия.по абсолютной величине может быль меньше 13,5 эв, например равна — 12,5 эв 1она отрицательна). Тогда для того чтобы полная энергия равнялась — 13,5 эв, что дается экспериментом, необходимо считать, что кинетическая энергия электрона в этой точке является отрицательной величиной, что бессмысленно.

Таким образом, неосмотрительное применение корпускулярных 108 понятий к анализу экспериментальных фактов сразу же привело к противоречию. Однако рассуждение, приведшее к противоречию, недопустимо с точки зрения соотношения неопределенности, поскольку понятие о положении электрона совершенно непригодно для описания движения электрона в атоме. Математически это выражается в том, что, зафиксировав координату электрона, мы неправомочны в дальнейших рассуждениях говорить об импульсе, а следовательно, и о кинетической энергии как об определенной величине.

Поэтому нельзя говорить, что электрон в атоме одновременно имеет какие-то определенные значения импульса и координаты. Следует подчеркнуть, что речь идет именно о том, что электрон не имеет определенных значений импульса и координаты, а не о том, что мы не можем их одновременно измерить. Принцип неопределенности дает возможность оценить, с какой точностью мы можем приближенно описать движение электрона в рамках картины движения точечной частицы по определенной траектории с определенной скоростью. Таким образом, речь идет не о том, с какой точностью справедливы квантовые понятия, а о том, с какой точностью справедливы классические понятия. Нетрудно видеть, что в случае атома представление о движении электрона по определенной траектории вообще ни в каком приближении невозможно.

Это связано с тем, что если в качестве неопределенности импульса взять его максимально возможную величину, то для неопределенности координат мы получим значения, имеющие порядок размеров атома. А это означает, что ни с какой точностью представление о траектории электрона в рассматриваемом случае не годится. В других случаях с определенной точностью можно говорить о движении'электрона по определенной траектории.

Например, если заряженная частица пролетает в среде с пересыщенным паром, то она оставляет за собой след. В этом случае можно сказать, что частица движется вдоль следа в пределах некоторой области вокруг следа со скоростью, заключенной в определенных пределах, определяемых соотношением неопределенности. Резюмируя, можно сказать, что соотношение неопределенности является важным инструментом в понимании явлений микромира. 5 38. Понятие о теории представлений Различные представления функций.

Как было сказано, функция и может быть с помощью формулы вида (32.2) разложена по полной системе собственных функций некоторого оператора Е. Совокупность коэффициентов разложения с„полностью определяет функцию и. Поэтому вместо того чтобы пользоваться функцией и, можно пользоваться совокупностью коэффициентов с„.

Совокупность коэффициентов с„полностью описывает функцию и, но, как говорят, в другом представлении; в данном случае в том представлении, где оператор Е диагонален, или в Е-представлении. Смысл выражения «оператор диагоналенэ будет сейчас пояснен. 109 Матричные элементы операторов. Не только функции, но и операторы можно задавать в различных представлениях. Пусть мы имеем некоторый оператор А: и.=- Аш (38.1) Зададим функции и и в в Е-представлении, т.

е. зададим их в виде коэффициентов разложения по полной системе собственных функций и„ оператора Е: и = Ха„и„, (38.2) о=- ХЬ„и„. (38.2б) Подставив зти выражения в (38.1), умножив полученное равенство на функцию и» и проинтегрировав, получим а»=,ЯА» Ь (38.3) где А»„= ~ и»Аи„г(т.

(38.3а) Из (38.3) видно, что совокупность чисел А»„, которую можно записать в виде матрицы, связывает волновые функции и и и в Е-представлении. Поэтому можно сказать, что совокупность чисел А, задает оператор А в Е-представлении. Сами числа А»„называются матричными элементами оператора А. Если мы вычислим матричные элементы оператора Е в Е-представлении, т. е. взяв в качестве собственных функций собственные функции оператора Е, то получим Е = ~ и»Еи„г(т = Е„ ~ и»и„ат = 1 6»„, (38.4) т. е. отличными от нуля являются лишь матричные элементы с й = л, т. е.

диагональные элементы матрицы ~Е»„~. Поэтому ясно, что матрица оператора в его собственном представлении (т. е. когда в качестве полной ортогональной системы функций берутся собственные функции этого оператора) имеет диагональный вид, т. е.

Характеристики

Список файлов книги