Матвеев А.Н. Квантовая механика (1185136), страница 17
Текст из файла (страница 17)
(29.4) Учитывая, что Ру'ю' — Р'г7чР= б1'ч ( Р'Р Р* — я' ~ Р). и вводя обозначение (~17~' — Р*х" Р) 9 = е~Р'<Р, где е — заряд электрона, мы можем уравнение (29.4) дующим образом: (29.5) (29.6) записать сле- — + д гч ) =- О. (29.7) Уравнение такого вида в электродннамике выражает закон сохранения заряда, если под о понимать плотность заряда, а под )— плотность тока. Поэтому выражения (29.5) и (29.6) являются кван- тово-механическими выражениями плотности тока и плотности заряда, а уравнение (29.7) выражает закон сохранения заряда. Принцип суперпозиции состояний. Как уже нам известно, волновая функция определена лишь с точностью до постоянного множителя, т. е.
две волновые функции, отличающиеся только постоянным (комплексным нлн действительным) множителем, описывают одно н то же состояние. Это обстоятельство выше было использовано для нормировки волновой функции. Между различными состояниями системы су|цествуют особые соотношения, в результате которых возникают новые состояния. Суть этих соотношений выражается принципом суперпозиции состояний — одним из важнейших принципов квантовой механики, который заключается в следующем: если квантовая система может 79 находиться в состояниях, описываемых волновыми функциями Ч, и Ч'м то она может находиться и в состоянии, описываемом волновой функцией Ч' = а, Ч'~+ азЧ"м (29.8) где а, и ах — произвольные, в общем случае комплексные числа.
Формула (29.8), выражающая принцип суперпозиция квантовой механики, по своей форме совпадает с формулой, выражакицей принцип суперпознции в классической физике, однако содержание этих формул существенно различно. Отличие состоит в следукицем. В классической физике некоторая физическая величина, получающаяся в результате суперпозиции, является комбинацией величин, вступающих в суперпозицию. Например, если рассматриваемой физической величиной является напряженность электрического поля, то величина напряженности поля, получающегося в результате суперпозиции, в каждой точке равна сумме напряженности полей, вступающих в суперпозицию.
Совершенно по-другому обстоит дело в квантовой механике. Пусть рассматривается некоторая физическая величина, которая в состоянии Ч', равняется ьь а в состоянии Ч'а равняется Ез. Выражение «физнческая величина в состоянии Ч'~ равняется Ар означает следукицее: если мы будем измерять эту величину у системы, которая описывается волновой функцией Ч'„ то в результате этого измерения всегда будем получать значение Е,.
По смыслу суперпозиции в классической физике следовало бы ожидать, что рассматриваемая величина в состоянии Ч' должна была бы иметь некоторое значение, являкицееся комбинацией величин Е~ и .См Мы говорим здесь о комбинации величин, имея в виду самый общий случай, потому чМ> при суперпознцни в классической физике не все физические величины комбинируют между собой по линейным формулам (в качестве примера можно взять энергию электромагнитного поля). Однако, в квантовой механике дело обстоит иначе.
Если мы будем измерять значение рассматриваемой физической величины в состоянии Ч', то при измерении всегда будем получать только одно из двух значений: либо Ео либо Аы Значение физической величины, которое получится в результате измерения, может быть предсказано только вероятностно. Вероятность для рассматриваемой величины иметь значение С, или Аз зависит от соотношения коэффициентов а, н ах. Этот вопрос будет рассмотрен в 5 34. Таким образом, содержание принципа суперпозиции квантовой теории (29.8) существенно отличается от содержания принципа суперпозиции в классической физике. Второе существенное отличие состоит в следующем. Если в классической физике имеются, например, два одинаковых колебания, то в результате их суперпознции получается новое колебание, отличное от исходных, причем физические величины в новом колебании имеют, вообще говоря, иные значения, чем в исходных колебаниях, участвующих в суперпозиции.
В квантовой теории сложение двух в0 одинаковых состояний сводится к умножению волновой функции на постоянную величину и, следовательно, приводит к тому же состоянию, потому что волновые функции, отличающиеся постоянным множителем, описывают одно и то же состояние. Физические величины в результате такой суперпозиции не изменяют своих значений, потому что не изменяется состояние. Из принципа суперпозиции следует, что из имеющихся квантовых состояний можно по формуле (29.8) построить многими способами новые состояния и, с другой стороны, каждое состояние можно рассматривать как результат суперпозиции двух нли многих других состояний, причем бесконечным числом способов.
Это представление состояния как результата суперпозиции других состояний является чисто математической процедурой и всегда возможно независимо от физических условий. Однако насколько это целесообразно и какое именно представление целесообразно, зависит от конкретных физических условий. Этот вопрос будет рассмотрен в 5 34. Математическим следствием принципа суперпозиции (29.8) является требование, чтобы уравнение, которому удовлетворяет волновая функция, было линейным, потому что только для линейных уравнений сумма решений с произвольными коэффициентами является также решением. Поэтому можно сказать, что справедливость формулы (29.8) является следствием линейности уравнения Шредингера для волновой функции Ч'.
Но можно сказать и так: уравнение квантовой механики оказалось линейным потому, что в квантовой механике справедлив принцип суперпозиция состояний. Таким образом, эти два факта неразрывно связаны друг с другом, однако роль их неодинакова: в эксперименте проверяется непосредственно принцип суперпозиция состояний, а заключение о линейности уравнений выводится из результатов этих экспериментов. Задачи к гл.
8 8.1. Написать уравнение Шредингера для частицы, движущейся под влиянием квазиупругой силы Р = — йх. Р е ш е н и е. Потенциальная энергия равна и(х)= — ~ Га' =— в 2 о Поэтому уравнение имеет вид 8.2. Записать уравнение Шредингера и условия, налагаемые на волновую функцию в одномерной потенциальной яме (О, 1) У(х)=О ОСх(1. 6 з м 1оо4 В1 Р е ш е н и е. Уравнение Шредингера внутри ямы для О < ' х ~ ~ имеет вид 2 —., + — „, Дучр=о.
Условия, налагаемые на функцию Ч': Ч' (О) = Ч' (~) = О. 8.3. Написать уравнение Шредингера для электрона, движушегося в кулоновском поле неподвижного ядра с зарядом хе. О/ив. 72Ч~+ — 0- (В' — — ) Чг= О, . ли 8.4. Нормировать волновую функцию Ч'„(х) = А ьбп — х в области О ( х ( 1 на единицу. ! Отв. Из условия ~ Ч"„'Ч'„~(х=1 следует А= 1~ —.
т 1 о 8.5. При каких значениях т функция Ч' (ср) = А ехр (йиср) может быть волновой функцией. Оглв. Из требования однозначности вьггекает, что и может быть только целым (положительным и отрицательным) числом и нулем. 8.6. Может ли функция Ч'(г) = А— быть волновой функцией во всем пространстве? 0 ив. Нет, потому что при г = О она обрашается в бесконечность.
Глава 9 ОСНОВНЫЕ СВЕДЕНИЯ ИЗ ТЕОРИИ ОПЕРАТОРОВ В 30. Линейные операторы Описание физических величин в классической физике. В математическом аппарате квантовой механики большое значение имеет понятие оператора. В классической механике каждая физическая величина характеризуется ее численным значением в той или иной точке пространства, в тот или иной момент времени. Например, скорость частицы характеризуется в каждый момент времени вполне определенными числами о„, о„, и, — компонентами скорости вдоль осей координат. Иначе говоря, физические величины классической механики описываются функциями координат и времени. В общем случае функцией называется правило, по которому числу или совокупности чисел ставится в соответствие другое число или совокупность чисел.
Задача классической механики состоит в отыскании функциональных зависимостей между различными величинами. Описание физических величин в квантовой механике. В квантовой механике физические величины, вообще говоря, не могут характеризоваться определенными числительными значениями. Рассмотрим, например, величину, характеризующую местонахождение частицы. В классической механике местоположение частицы в каждый момент времени характеризуется тремя числами — координатами частицы. Задача классической механики состоит в том, чтобы выразить эти координаты частицы в виде функций времени. В квантовой механике дело обстоит по-другому.
Как было отмечено в предыдущей главе, в квантовой механике мы можем говорить лишь о вероятности нахождения частицы в той или иной области пространства. Эту вероятность мы можем вычислить с помощью волновой функции. Но волновая функция не дает нам возможности вычислить координаты местонахождения частицы как функции времени. Квантовая механика дает нам возможность вычислять лишь вероятность той или иной координаты и ее среднее значение. 6» 83 Например, если мы имеем очень большое число совершенно идентичных, независимых друг от друга физических систем, которые описываются одной и той же волновой функцией, то, производя измерения численных значений какой-либо физической величины, мы будем получать в каждом измерении, вообще говоря, различные численные значения этой величины.
Квантовая механика предсказывает вероятность получения того или иного численного значения измеряемой величины. В связи с этим в квантовой механике физическая величина характеризуется не ее численным значением, а оператором, которым эта физическая величина описывается. В данной конкретной ситуации численное значение физической величины является, вообще говоря, неопределенным, а оператор, который описывает физическую величину, вполне определен. Определение оператора.
Функции осуществляют связь одних чисел с другими числами. Операторы осуществляют связь одних функций с другими функциями. Оператором называется правило, с помощью которого каждой функции из некоторого множества функций может соответствовать функция из того же или некоторого другого множества функций.
Операторы символически обозначаются буквами, снабжаемыми иногда значком «Л» сверху, например, 1., М и т. д. Если оператор Е обозначает правило, согласно которому функции и соответствует функция о, то это символически записывается в виде и= ьи. (30.1) Если, например, оператор Ь означает дифференцирование то о будет производной от и: о= и=и'. Й» Линейные операторы. Правила, с помощью которых одним функциям ставятся в соответствие другие функции, могут быть самыми разнообразными, т. е. операторы могут иметь самые разнообразные свойства. В квантовой механике для того, чтобы удовлетворить принципу суперпозиции состояний, употребляются лишь л и н е й н ы е операторы. Оператор ь называется линейным, если для любых функций и, и иэ из рассматриваемого класса функций и для любых постоянных чисел с, и сэ имеет место равенство Ь (с,и, + с,и,) = с, Еи, + с,Еи,. (30.2) Сумма и произведение операторов.
Если для любой функции и имеют место равенства: Си = Ал+ Ви; С,и = А,и — В,и; Схп = А, (В,и), (30.3) АВ Ф ВА, (30.5) т. е. произведение операторов, вообще говоря, некоммутативно. Рассмотрим пример, когда в качестве оператора А берется умно- жение на координату х, а в качестве оператора  — оператор диф- ференцирования: н В= —— Их А=х, Тогда получаем: АВи=х и, ах и ' 'д~' ВА и = — хи = и+ х — и = ( 1+ х: — "1 и. ах лх (, ° лх) Поэтому "* л АВ=х —, — л. ° ВА=1+х — „ и, следовательно, в этом случае действительно Й х — =АВчь1+х =ВА. йх Йх (30.6) Коммутирующие и аитикоммутирующие операторы.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
