Матвеев А.Н. Квантовая механика (1185136), страница 21
Текст из файла (страница 21)
Примером смешанного состояния может служить состояние молекул газа, находящегося в тепловом равновесии, если имеется в виду их тепловое движение (а не внутреннее состояние). В этом случае волновыми функциями чистых состояний, входящих в смешанное состояние, являются плоские волны, а соответствующие вероятности даются распределением Максвелла. ОЭ ((Ьх)') = (х') = ~ Ч'* (х) хЧ.' (х) дх, (37.4) 00 ((Лр)')=(р')= ~ Ч'*(х) р~Ч'(х)дх= О (37.5) Соотношение неопределенностей устанавливает связь между величинами ((Ьх)'> и ((Лр)'>. Для нахождения этой связи рассмотрим интеграл СО l(ь)= ~ ~ „~ +~хЧ'(х)~ г(х, (37.6) О являющийся положительно определенной функцией вещественной переменной ь. Возводя модуль подынтегрального выражения в квадрат, получаем 7 (Р = АР— В~+С, (37.7) где О А= ~ х'Ч'*Ч'Их= ((Ьх)т>, (37.7а) СО Э В= — ~ х ( — „* Ч'+Ч'* — ) Нх=- — ~ х — „(Ч"Ч')ох= !02 квадратичным отклонением.
Соотношение неопределенностей, установленное Гейзенбергом и поэтому часто называемое соотношением Гейзенберга, выражает связь между дисперсией координаты и импульса частицы. Соотношение неопределенностей Гейзеиберга. Обозначим через (х) и (р) средние значения координаты и импульса частицы (для простоты написания рассматриваем одно измерение). Средние квадратичные отклонения, характеризующие разброс величин около их средних значений, вычисляются по формулам: ((Ьх)'>=--((х — (х))')= — (х') — 2(х(х»+((х>)'=(х') — ((х))', (37.3) ((Лр)') = ((р — (р))') = — (рт> — 2 (р (р))+((р))' = =(р ) ((р>) ° (37.3а) Для дальнейших расчетов удобно выбрать такую систему координат, в которой средняя величина координаты частицы и ее средний импульс равняются нулю, т.
е. (х) = О и (р) = О. В этой системе координат можно написать: = — хЧ'*Т~ + 1 Ч""Таях=1. (37.76) СО О Условие положительности величины 1(~) на основании теоремы о корнях квадратного уравнения имеет вид 4АС> В'. (37.8) Отсюда, заменив выражения А, В, С их значениями из (37.7а)— (37.7в) и извлекая из обеих частей неравенства квадратный корень, получим с о от н о ш е н и е не о п р е дел е н ноет е й ~'((~ )'> и((~р)'» -;, (37. 12) 103 которое показывает, что импульс и координата частицы не могут быть одновременно точно измерены и что минимально возможная величина произведения дисперсий координат и импульсов ограничивается постоянной Планка.
Величины ((Ьх)') и ((Ьр)'> не могут быть одновременно равными нулю. Соотношение неопределенностей является математическим выражением наличия у частиц как корпускулярных, так и волновых свойств. Соотношение неопределенностей между произвольными физическими величинами. Соотношение неопределенностей (37.9) может быть обобщено на произвольные физические величины.
Пусть имеются две физические величины 7. и М, операторы которых есть Е н М. Методом, который был использован при получении соотношения неопределенностей (37.9), может быть получено также и соотношение неопределенностей для величин Е и М, если только известен коммутатор этих операторов: (Е,м)=1К, (37.10) где К есть эрмитовский оператор.
Это соотношение неопределенностей имеет вид ~'((йЕ) > Р'((йМ)»Я (К> ~, (37А Ц где ((Ьь) > и ((ЛМ)'> являются средними квадратичными флуктуациями рассматриваемых физических величин: ((И.)'> = ((~ — (Ц)), ((Лм)5 = ((М вЂ” (М>)э>, (37.11а) а величина ~ (К) / есть абсолютная величина среднего значения К. Введем обозначения лЕ=Е-(7.), лм м — (м> и аналогично (37.6) рассмотрим интеграл 7(1) = 1 ~ (БАЛХ вЂ” 1ДМ) Т!'Дт, (37.13) который является положительно определенной функцией ь. Используя свойство самосопряженности операторов ДА и ЛМ и определение среднего, имеем !(~) — 1 ДД7.— ВДМ)%ДЛИТ --(ДМ )%*!т=- = ~ Ч'*(ьДХ.+ (ЛМ)(ьЛХ,— 1ЛМ) Чс(т— = 1 Ч"'Б'(ЛА)' — 'ь(ЛА, ДМ)+(ЛМ)') Тд = = Г <(ЛХ)> — '~<(ДХ., ЛМ!>+ <(ЛМ)').
Принимая во внимание, что !Л1., ЛМ) = [Е, М) = (К и пользуясь условием (37.8) неотрицательности этого выражения, сразу находим: Ф <(Л7.)'> ) )г<(ЛМ)'> > — ~- ~ (К) /, (37.14) что н требовалось получить. Обычно для упрощения написания соотношение (37.!4) записывается в виде (37.15) ЛЕ.ЛМ) — ! <К> ), при этом необходимо помнить, что величины ДЕ и ЛМ в (37.15) означают корни квадратные из средних квадратичных отклонений. Таким образом, соотношение неопределенностей, которое существует между некоторыми физическими величинами, полностью определяется правилом коммутации этих физических величин. Отсюда, в частности, следует, что если операторы двух физических величин коммутируют, то эти физические величины могут иметь одновременно определенные значения, так как произведение их средних квадратичных отклонений может быть равно нулю.
Это условие одновременной измеримости двух физических величин было доказано в э 36. Рассмотрим некоторые примеры применения общей формулы (37.14) к конкретным случаям. Прежде всего получим с помощью ее соотношение неопределенности для координаты и импульса, найденных в (37.9) непосредственным вычислением. Соотношение коммутации для оператора импульса и координаты дается формулой (37.1). Сравнивая эту формулу с формулой (37.10), мы видим, что в рассматриваемом случае надо положить: А= — р„, М =-х, (К=- —.- . (37. 16) Учитывая, что в данном случае ~ (А) ~ — й, мы можем общее соотношение (37.14) с учетом (37.16) записать в виде ;;,;,— „,;.)~„.х)». ~, что совпадает с (37.9). В соответствии с написанием (37.!5) это соотношение обычно записывают более просто: КР.
7хх~ у. (37.! 7а) а д М,=-; —. г д~р (37.18) Перестановочное соотношение для ~р и М, находится совершенно аналогично (37.1) и имеет вид (М„гр) = —, . (37.18а) Следовательно, в формуле (37.10) надо положить 1. == М„М = гр, (К = —,, (37.19) н формула (37.15) принимает вид Т ° (37.20) Это есть связь неопределенности углового положения частицы с неопределенностью проекции ее углового момента на направление, перпендикулярное плоскости, в которой отсчитывается угол гр. Соотношение (37.20) означает, что если угол гр для частицы будет задан, то проекция момента количества частицы на ось а становится совершенно неопределенной. И наоборот, если мы характеризуем движение частицы величиной проекции ее момента количества движения на ось г, то нельзя говорить ни о каком определенном угловом положении частицы. Соотношение неопределенности для энергии.
Коммутатор для а д оператора энергии частицы Е = — — — и времени 1 имеет вид г а~ (Е, 1) =- — —:., (37.21) 105 Соотношение неопределенности для проекции момента частицы на ось г. В цилиндрической системе координат движение частицы вокруг оси г характеризуется величиной азимутального угла ~р и величиной проекции момента количества движения частицы на ось а. Оператор проекции момента количества движения на ось г дается формулой (35.10). Нетрудно с помощью формул преобразования координат найти вид этого оператора в цилиндрической системе координат: и, следовательно, соответствующее соотношение неопределенности записывается следующим образом: ДЕ Д1~2.
(37.22) Хотя по виду соотношение (37.22) аналогично соотношениям (37.20) и (37.17а), его смысл совершенно иной. Это обусловлено двумя обстоятельствами: 1. Величиной, которая исследуется в эксперименте, является не полная энергия какого-то состояния, а разность энергий при переходе системы из одного состояния в другое.
2. Время непрерывно течет, поэтому иет той «средней точки», относительно которой можно было бы рассматривать величину Д( как разброс каких-то моментов времени. Нетрудно видеть, что эти два обстоятельства связаны друг с другом. В силу этих обстоятельств интерпретировать формулу (37.22) аналогично интерпретации формул (37.20) и (37.17а) невозможно. Ясно, что в силу отсутствия «иеподвижной средней точки», величина Дг в формуле (37.22) может иметь только смысл продолжительности. С другой стороны, переходя от разброса энергии ДЕ к величине разброса разности энергии двух состояний Д (Е Е'), мы должны удвоить правую часть неравенства, поскольку знаки изменения ДЕ и ДЕ' могут быть произвольными. Поэтому соотношение (37.22) можно переписать в следующем виде: Д (Š— Е') Д( „=» Ь.
(37.23) В этом соотношении под величиной Дг следует понимать величину отрезка времени, в течение которого реализуется переход системы из состояния с энергией Е в состояние с энергией Е'. Следует подчеркнуть, что это не есть продолжительность самого перехода из одного состояния в другое, а продолжительность того отрезка времени, на котором это событие имеет место. Под величиной Д (Е— Е') понимается величина разброса выделяющейся при рассматриваемом переходе энергии. Проще всего это иллюстрируется на примере излучения атомов. При переходе электрона в атоме из одного состояния в другое излучается квант света. Однако хорошо известно, что спектральные линии излучения имеют определеняую естественную ширину.
Это означает, что излученные кванты не имеют строго определенных энергий, что соответствует разбросу в величине разности энергий при переходе атома из одного квантового состояния в другое. Этот разброс в формуле (37.23) представляется величиной Д (Š— Е'). Таким образом, по естественной ширине линий излучения можно определить величину Д (Š— Е'), а затем с помощью формулы (37.23) можно вычислить время жизни атома в возбужденном состоянии относительно рассматриваемого перехода: Ь т — — — — —, а (е — е'1 (37.24) Отсюда можно определить вероятность того, что система в единицу времени перейдет из одного состояния в другое.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
