Матвеев А.Н. Квантовая механика (1185136), страница 16
Текст из файла (страница 16)
Поскольку величина Ч" ЧЛт является вероятностью того, что частица находится в элементе объема Ж, равенство (28.1) Ч~*Ч~ дт = 1 выражает тот факт, что частица наверняка присутствует в объеме, по которому производится интегрирование. Не ограничивая общности, можно считать, что интегрирование распространено на все пространство, считая Ч' равной нулю везде, где частицы наверняка нет. Равенство (28.1) является условием нормировки волновой функции.
На функцию Ч', являющуюся решением уравнения (27.2), накладываются так называемые естественные условия. Функция Ч' должна быть непрерывной, однозначной н конечной. Если потенциальная энергия ~/ имеет поверхности разрыва, то на такой поверхности волновая функция и ее первые производные должны оставаться непрерывными. В том случае, когда в некоторой области пространства (l обращается в бесконечность, в этой области волновая функция должна быть равна нулю.
Непрерывность Ч" требует, чтобы на границе этой области Ч обращалось в нуль. Собственные функции н собственные значения. Уравнения Шредингера (27.2) имеют решения, удовлетворяющие перечисленным выше требованиям не прн любых значениях величины К, а лишь при некоторых, которые будем обозначать через Ф',,В'м... ..., Ф'„,... Значения величины В', при которых уравнение (27.2) имеет решения, обладающий указанными свойствами, т.е. величины К„..., (Р„, ..., называются собственными значениями, а функции Чь Ч',, ... Ч'„,..., являющиеся решениями уравнения (27.2) при Ю = К» В' = Км ... К = Ю„,..., называются собственными функциями, принадлежащими собственным значениям В'ь 1Г„..., Ю„.
Ортогональность собственных Функций. Две собственные функции, принадлежащие различным собственным значениям, ортогональны друг другу, т. е. интеграл от произведения одной нз этих функций на функцию, комплексно сопряженную к другой, взятый по всему пространству, равен нулю. Для доказательства этого напишем два уравнения: уаЧ„+ ~,' ()р„— и) Ч"„=О„ У'Ч„*+ — '„,' (((г„,— и) Ч „*, =О. Умножая первое на Ч"„*, второе — на Ч„и вычитая почленно из первого уравнения второе, получаем т У Ч'„Ч'„Г Ч' + ()Р„)Р„) Ч"„т О.
Разность первых двух членов можно преобразовать по формуле Ч*„.У Ч вЂ” Ч"„УЧ.*, = ~(ч,*,.т~ׄ— Ч„Х Ч „) =б(ч А, где А = Ч'*„л'Ч"„— Ч'„х'Ч'» . Поэтому предыдущее равенство можно записать следующим образом: б)чА+ — е(Чг„— % ) Ч"Д Ч„=О. Проинтегрируем последнее соотношение по некоторому объему У: ~ д!чА дт-р — „,~ (В'„— Ф„) ~ Ч'*„ЧЯ(т=-О. Первый интеграл по теореме Гаусса — Остроградского можно преобразовать в интеграл по поверхности Я, ограничивающей рассматриваемый объем У: ~ б1чА дт = ~ А Ж= ~ А„Ж, г Б 3 Устремляя объем У к бесконечности и считая, что на бесконечности функции Ч" стремятся к нулю достаточно быстро, так что ~А, 'стремится к нулю быстрее, чем 1/г', где г — радиус сферы, внутри которой заключен рассматриваемый объем, получаем ()г'„— К„) ~ Ч"„Ч'„г(т =О, которое прн К„ чь Ю„ означает, что Ч"*„Ч"„от=О, и ~ и'. Таким образом, собственные функции, принадлежащие различным собственным значениям, ортогональны друг другу.
Условие нор- 76 мировки и условие ортогональности можно записать следующим образом: П при п=п', Ч7, Ч"„дт=б„„=~ 10 прн п Фи'. Символ б,„называется символом Вейерштрасса — Кронекера. Характер статистических закономерностей квантовой механики. При интерпретации волновой функции было отмечено, что квантовая механика дает лишь вероятностные предсказания о поведении частиц. Хорошо известно, что н в классической статистической механике дается также лишь вероятностное предсказание о поведении частиц.
Однако между закономерностями статистической классической физики и статистическими закономерностями квантовой механики существует принципиальное различие. Статистические закономерности классической физики являются результатом взаимодействия большого числа частиц, поведение каждой из которых описывается динамическими законами классической механики. Как только число рассматриваемых частиц становится достаточно малым, статистические закономерности классической физики перестают действовать, а соответствующие статистические понятия (например, температура) теряют смысл.
По-другому обстоит дело со статистическими закономерностями в квантовой механике. Статистические закономерности квантовой механики являются результатом проявления внутренних свойств микрочастиц и поэтому они имеют место даже при наличии лишь одной частицы. Как показали эксперименты, микрочастица обладает как корпускулярными, так и волновыми свойствами. Поэтому для описания ее движения неприменимы ни методы и понятия, которые использовались в классической физике для описания корпускул, ни методы и понятия, которые использовались в классической физике для описания волновых процессов. Следовательно, нет ничего удивительного в том, что для описания свойств микрочастиц пришлось перейти к новым методам описания и выработать новые представления о движении частиц и о характере закономерностей, управляющих их движением. Неоднократно делались попытки придать статистическим закономерностям квантовой механики характер статистических закономерностей классической физики.
Смысл этих попыток сводится к следующему. Считается, что состояние мнкрочастицы характеризуется не только физическими величинами, которыеможет измерить экспериментатор посредством макроприборов, но и так называемыми «скрытыми параметрами». Причем у частиц, состояния которых характеризуются одной и той же волновой функцией Ч', «скрытые параметры> имеют различные значения, какой-то статистический разброс и вследствие этого движение мнкрочастицы описываются статистическим образом. В качестве наглядного примера может быть взято взаимодействие частицы с флуктуациями вакуума (см. З 101), в результате чего движение частицы уподобляется гт движению броуновской частицы.
Однако все попытки в этом направлении до настоящего времени не увенчались успехом. Смогут ли они увенчаться успехом в будущем, покажет дальнейшее развитие теории. Однако надежд на это мало, поскольку обычно новая область явлений содержит новые, свойственные только ей закономерности, не сводимые к закономерностям другой области явлений. 5 29. Уравнение Шредингера, зависящее от времени. Принцип суперпозиции состояний Уравнение Шредингера (27.2) определяет стационарные состо- яния и не зависит от времени. Как изменяется волновая функция с течением времени? Каким уравнением определяется это изменение? Для ответа на эти вопросы поступим следующим образом.
Представим волновую функцию, зависящую от времени, в виде ~р(г, 1)г в " Ч" (г), (%'=ьы), где Ч'(г) — является решением уравнения Шредингера (27.2): "'=(-."- +и)' (29.1) Принимая во внимание очевидное равенство Ир = — —.—, (29.2) мы можем уравнение (29.1) представить следующим образом: — — — =(' — — у+и) р. и а~ г а2 (29.3) с дг (, 2(ио Это уравнение является уравнением Шредингера, зависящим от вре- мени.
Волновая функция ср (г, 1), являющаяся решением этого уравнения, обычно обозначается через Ч' (г, 1), причем аргументы часто явно не выписываются. Волновая функция Ч' (г, 1), зависящая от времени, должна удовлетворять тем же требованиям, которые налагаются на функ- цию Ч' (г), т. е.
функция Ч" (г, 1) должна быть непрерывной, одно- значной и конечной. Кроме того, очевидно, что <р'р Ч'Ч, и, следовательно, зависящая от времени волновая функция удовлетворяет тому же условию нормировки, которому удовлетворяет не зависящая от времени волновая функция. Это условие нормировки сохраняется с течением времени, т. е. если оно удовлетворено для одного какого-либо момента времени, то оно будет удовлетворено и для всех последующих моментов времени.
тв Если известна волновая функция в начальный момент времени, то посредством решения уравнения Шредингера (29.3) можно определить ее значение в любой другой момент времени. Таким образом, волновое уравнение Шредингера выражает принцип причинности в квантовой механике. Плотность заряда и плотность тока. Запишем уравнения Шредингера для волновой функции «Р и комплексно сопряженной функции ср*: Л ар Ьт — —.— + — У Р вЂ” (йР=О, 7 д~ 2сло —.— — *+ — 'УЧР— ЬР =О. ь ~р* 1 гк Ьио Умножая первое уравнение на ~Р*, а второе — на ~Р и вычитая почленно нз второго уравнения первое, получаем ,. (гР э7 + сР з7 )+ 2 ((Рт'сР* — <Р*рчр)=0.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
