Матвеев А.Н. Квантовая механика (1185136), страница 19
Текст из файла (страница 19)
Вместо условия ортонормированностн (32.4) для дискретного спектра в случае непрерывного спектра имеем иг*иы с(т = 6 (Š— Е'). (33.5) Разложение по системе собственных функций. Разложение некоторой функции по собственным функциям непрерывного спектра имеет вид (33.4) и = ~ ссиьг!Е. (33.6) причем коэффициенты сь теперь составляют непрерывное множество чисел сь и находятся из условия иь иит = ~ иь ит ~ ссиьс(Е= = ~ сьИ. ~ иьиьг(т= ~ сьНЕ6(Е' — Е)=-си. (33.7) Однако нормировать собственные функции непрерывного спектра на единицу, как это делалось в дискретном спектре, нельзя, потому что интеграл от квадрата модуля собственной функции непрерывного спектра обращается в бесконечность: иьисбт= оо.
Поэтому собственные функции непрерывного спектра нормируют с помощью так называемой дельта-функции, которая определяется следующим образом: Если спектр отчасти непрерывный, отчасти дискретный, то разложение некоторой функции по собственным функциям является суммой ряда вида (32.2) и интеграла вида (33.6), т. е. имеет форму и= ~~~, ,с„и„+ ~ сьиьс(с., (33.8) и = ~ дх'и (х') ( ~ и,'(х') ис (х) ~ . (33.9) Сравнивая эту формулу с формулой (33.4), мы заключаем, что ~ ис (х') ис (х) = 6 (х — х').
(33.10) Аналогичное соотношение может быть получено и в случае непрерывного спектра. Подставляя в формулу (33.6) значение сь из (33.8), получаем и(х) = ~ сси„(х) сУ.= ~ Ниь(х) ~ иь(х') и(х')с(х'= = ~ с(х'и (х') ~ иь(х') иь (х) сН.. Отсюда следует, что ~ иь(х') иь(х) Ж= 6 (х — х'). (33.! 1) Задачи к гл. 9 9.1. Является ли оператор комплексного сопряжения линейным оператором? Ота. Обозначим оператор комплексного сопряжения через 7..
Имеем (. (сЧ', + сЧсз) = с,'Ч';+ с',Ч',* = с" с(Чс+ с,'1Чс„ т. е. оператор 7. не является линейным оператором. 91 причем коэффициенты с„и сь определяются формулами (32.3) и (33.7). Суммирование и интегрирование в формуле (33.8) распространено на всю область изменения соответствующих переменных. формула для сумм произведений собственных функций. Из формулы (32.2) для разложения произвольной функции по системе собственных функций может быть получено важное соотношение для суммы произведений собственных функций.
Подставляя значения (32.3) для коэффициентов с, в разложение (32.3), находим и(х)= У с;и;(х)== ,'~~ ~ из(х')и(х')с(х'ис(х)= с с 9.2. Является ли оператор дифференцирования Х = — эрмитов вх ~ым операторомР Отв. Имеем ОЗ О 1 Ч'*Ърдх= 1 Ч" в~ бх=Ч'*~р ~ ° ров — 1 1Р.— — бх= — 1 1РСЧГ*Нх= — 1 ~рЕ'ЧР*бх, -де учтено, что на бесконечности волновые функции обращаются в нуль. Таким образом, условие эрмитовости (31.1) для оператора тифференцирования не соблюдается и этот оператор не является ~рмитовым оператором. 9.3. Найти коммутатор операторов х — и х. вх в в Отв. ~ х — х ~ = х — х — х.х — = х. дх ' 1 дх дх Глава Ю ПРЕДСТАВЛЕНИЕ ДИНАМИЧЕСКИХ ПЕРЕМЕННЫХ С ПОМОЩЬЮ ОПЕРАТОРОВ 9 34.
Постулаты квантовой механики В классической механике используются такие величины, каь координаты частиц, момент количества движения и т. д., и функ. ции от этих величин. Они для краткости называются дннамическимь переменными. Все динамические переменные в каждый момент времени имеют определенные численные значения. Поэтому главная задача описания заключается в том, чтобы численные значения одних динамических переменных выразить через численные значения других динамических переменных, т. е. найти определеннуьс функциональную зависимость между ними. В квантовой механике положение другое.
Здесь можно говорить лишь о вероятности того или иного значения динамической переменной и о средних значениях динамических переменных, а не об определенном численном их значении. Поэтому динамические переменные в квантовой механике описываются не с помощью чисел, как в классической механике, а с помощью величин другой математической природы — операторов.
В квантовой механике постулируется, что каждая динамическая переменная представляется определенным линейным оператором. Это первый постулат квантовой механики. Второй постулат заключается в том, что в результате измерения некоторой динамической переменной получаются лишь такие численные значения, которые являются собственными значениями оператора, представляющего измеряемую динамическую переменную.
Ввиду того, что численная величина динамических переменных может быть лишь действительной, необходимо потребовать, чтобы операторы, представляющие динамические переменные, имели только действительные собственные значения. А это означает, 93 что операторы„представляющие динамические переменные, должны быть самосопряженными операторами. Пусть состояние движения частицы описывается функцией Ч', которая может быть найдена в результате решения уравнения Шредингера. При измерении численного значения некоторой динамической переменной, изображаемой оператором А, с определенной вероятностью получается одно из чисел Ть Т.м ..., й„, являюшихся собственными значениями оператора Т.. Вероятность получения при измерении того или иного значения Е; вычисляется с помощью следующего правила, являющегося третьим постулатом квантовой механики.
Обозначим через и, собственные функции оператора А измеряемой динамической переменной: Тм„=(„и„, которые составляют полную ортонормированную систему, и разложим нормированную волновую функцию Ч' по этой системе собственных функций: Ч'= ХС„и„. Третий постулат гласит: если система находится в состоянии Ч', то вероятность того, что при измерении динамической переменной А будет получено численное значение Т-„, равна 1 С„~'.
Отсюда, в частности, следует, что если волновая функция частицы совпадает с одной из собственных функций, измеряемой динамической переменной, то численное значение этой динамической переменной совпадает с собственным значением, которому принадлежит собственная функция. Вычисление средних значений динамических переменных. В теории вероятностей среднее значение (А) величины, принимающей значения У (и = 1„ 2, ...) с вероятностями ~ С„1', вычисляется по формуле (34.1) Это правило может быть обобщена: среднее значение динамической переменной, представляемой оператором Т., в состоянии, характеризуемом волновой функцией Ч', дается следующей формулой: (т.) = ~ ч'*Ач'д .
(34. 2) Если представить Ч' и Ч'* в виде ряда (32.2) и подставить полученные ряды в (34.2), то, произведя необходимые действия, получим формулу (34.1). 94 9 35. Явный вид операторов важнейших динамических переменных Оператор координаты. Операторы, представляющие динамические переменные, должны быть самосопряженными эрмитовыми операторами. Выбор их конкретного вида определяется согласием полученных с их помощью результатов с экспериментами.
Величина Ч* (х) Ч'(х) дает плотность вероятности нахождения частицы в точке х (для простоты написания формул мы берем случай одного измерения). Следовательно, среднее значение координаты х равно (х) = ~ хЧ'*(х) Ч'(х)Нх = ~ Ч'*хЧ'дх. (35.1) Ч'=Ае Ч, А -п0» ьхх) л ог1-Рхх) =Ае (35.3) где А — не существенная для данного вопроса нормировочная постоянная.
Отсюда видно, что в качестве оператора импульса Р„ следует выбрать оператор И д Р г дх (35.4) При таком выборе вида оператора Р„уравнение (35.2) удовлетворяется функцией (35.3). Аналогичные выражения имеют место и для других составляющих оператора импульса. Поэтому в векторной форме выражение для оператора импульса можно записать в следующем виде: л ~ ЙГ.
д . д д'~ Р= —. 7 = —.1'1 — +1 — +й — '1, г г ~ дк ду дг ) ' (35.5) где через 1, К й обозначены орты. Гамильтониан. В классической физике функцией Гамильтона называется полная энергия, выраженная через импульсы и коор- 95 Сравнение этого выражения для среднего значения координаты х с общим выражением (34.2) для среднего значения динамической переменной показывает, что в качестве оператора координаты х следует выбрать оператор умножения на эту координату, т. е.
примеиение оператора координаты х к некоторой функции от х сводится к умножению этой функции на х. Оператор импульса. Для нахождения оператора импульса вспомним, что согласно гипотезе де-Бройля свободная частица, имеющая импульс р„, представляется плоской волной с волновым числом й„= р„!й и частотой ы = Е1й. Поэтому следует потребовать, чтобы уравнение на собственные значения для импульса р„Ч~= Р„Ч (35.2) удовлетворялось плоской волной: динаты частиц. Для одной частицы полная энергия сводится к сумме кинетической и потенциальной энергии: Н(г, р)= ~ +У(г). (35.6) В квантовой механике функции Гамильтона должен соответствовать оператор. Он получаетсяв результате подстановки в (35.6) вместо р оператора р (35.5): з и = — — Ч'+ (1 ( ). зт Момент импульса частицы.
В классической физике момент импульса частицы определяется как векторное произведение радиуса-вектора частицы на ее импульс: М=(г, р), (35.8) или в координатном виде: М„=ур, М» —— гр„— хр„ (35.9) М* = «Р» — Урх. В квантовой теории проекциям момента импульса мы ставим в соответствие операторы следующим образом: Ь Г д д (35.10) Оператор полной энергии.
Оператор полной энергии Е следует выбрать так, чтобы его собственные значения равнялись энергии Е частицы. Найдем его возможный вид на примере свободной частицы, обобщив результат на общий случай. Необходимо потребовать, чтобы уравнение (35.11) удовлетворялось плоской волной (35.3), описывающей свободную частицу, с энергией Е. Легко заметить, что Е= г дг (35.12) Найденный для частного случая вид оператора энергии (35.12) обобщается на произвольный случай. Оператор произвольной функции динамических переменных. Приведенные примеры операторов наводят на мысль, что если мы имеем 96 некоторую функцию Р (х, р) динамических переменных (х, р), то соответствующий этой функции оператор Е получается простой заменой величины р ее операторным выражением (35.4). Во всех приведенных выше случаях это правило выполняется.
Однако в общем случае поступать так нельзя, поскольку получающийся при Ид~ этом оператор Е (х, —.— - -), вообще говоря, не является самосопря- 1 дх)' женным, и, следовательно, не может быть использован в квантовой механике. Так можно поступать лишь в том случае, когда получающийся оператор является самосопряженным. В частности, если Р (х, р) имеет вид р(х, р) =-р,(х)+Е ( ), то соответствующий оператор записывается следующим образом: Р Е(х)+Е (Л д) 6 36. Условие одновременной нзмеримости различных динамических переменных. Принцип дополнительности.
Чистые и смешанные состояния Условие одновременной измеримости. Выше было отмечено, что при измерении динамической переменной получается вполне определенное численное значение лишь в том случае, когда волновая функция, описывающая систему, является собственной функцией измеряемой динамической переменной. Но собственные функции операторов различных динамических переменных, вообще говоря, различны, поэтому различные динамические переменные не могут при измерениях одновременно давать определенные численные значения, т.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
