Матвеев А.Н. Квантовая механика (1185136), страница 23
Текст из файла (страница 23)
отличными от нуля являются лишь элементы, стоящие на диагонали. Теперь ясен смысл выражения «в том представлении, где оператор Е диагонален». Наиболее употребительным является энергетическое представление, или Е-представление, когда в качестве полной системы собственных функций выбираются решения уравнения Шредингера, н импульсное представление, или р-представление,— когда в качестве полной системы собственных функций выбираются собственные функции оператора импульса, т.
е. плоские волны. ПО Задачи к гл. 10 10.1. Волновая функция электрона в атоме водорода в состоянии с наименьшей энергией имеет вид 1 ьч Ч'(г)==е "о, г' яао 4яооьо где ао = —— 0,529 10 о см есть радиус первой боровской орбиты.
Собственная функция оператора импульса имеет вид ° Р 1 олг Ч" (г)=, е (2Ы)мо Найти плотность вероятности того, что импульс электрона в атоме водорода заключен по абсолютной величине между Р и р+ г(Р. Р е ш е н и е. Вычисляем волновую функцию электрона в атоме водорода в р-представлении: С(р)=, [ Ч'(г)е " ~(т= -„„,;., г 4 1 — — — — рг *1Е о Л Дт ( ь)'АУ 4 ~ Вычисление интеграла удобно вести в сферических координатах с полярной осью, направленной вдоль р. Имеем г 1 ш +1,. е ал " 4(т=2п ~ гонг ~ е «о л 1(созб= о -1 ! .р о р ~ ~~-( — - -„-) -( — + -„-) „„, в~ 1л о Отсюда для плотности вероятности, что импульс электрона заключен в интервале (р, р + 4(р), получаем за$64 1С(Р)! =по(ло+ ~ ~)» ° Интегрируя по всем направлениям импульса р, т.
е. умножая на элемент объема в пространстве импульсов 4прое(р, находим следующее выражение для вероятности того, что импульс электрона заключен по абсолютной величине между р и р + е(Р: 32аййоро )г (Р) 0Р = и (Ьо 1 иро)оиР 111 10.2. Вычислить среднее значение квадрата расстояния электрона от ядра в атоме водорода, пользуясь волновой функцией предыдущей задачи. Решение. Г (го) ~ го1Ч'(г)рот 1 гое «опт на1,) Производя вычисления з сферической системе координат, когда при наличии сферической симметрии Йт = 4лгоог, и произведя ао замену переменных г = - о ь", находим ао г (го) =-" ~о Ьое-щ= За,'.
о Глава 11 ИЗМЕНЕНИЕ ДИНАМИЧЕСКИХ ПЕРЕМЕННЫХ ВО ВРЕМЕНИ 5 39. Дифференцирование операторов по времени, скобки Пуассона С течением времени средние значения динамических переменных, вообще говоря, изменяются. Дифференцируя обе части равенства (1.) = ~ Ч~*1.Ч~ (т (39.1) по времени, получаем (1) ~ ~де ~ ~У (т+ ~ 1У (, + ~ зУ*( '~~,(т (39.2) Принимая во внимание, что — —. — = ЙЧ" и —. — = Н Ч' = НЧ, (39.3) 8 За«вз М 1ОЭ4 перепишем равенство (39.2) в виде — =1 *-' —, +Я~ 'н '" — -„'- ~ Ч*1.НЧ (т.
(39.4) В силу эрмитовости оператора Й второй интеграл в правой части равенства можно пребразовать следующим образом: ~ (ЙЧ~*) 1.Ч" (т = ~ (1.Ч~) ЙЧ * (т — ~ Ч"Н 1. Р (т. Поэтому окончательно имеем Ж(1) ~ 'Р*(а~+ а (Н1- 1-НОЧ'с(»' ( где через (Й, Ц обозначен оператор (й, Е1= „' (ЙЬ вЂ” ).Й), (39.8) называемый по аналогии с классической механикой квантовыми скобками Пуассона. Эта аналогия проистекает из следующих обстоятельств.
В классической механике некоторая динамическая переменная ь является функцией координат и времени, т е. 7. = = 7. (хо рь 1). Поэтому (39.9) Воспользовавшись уравнениями Гамильтона Иху дН йр~ дН ат др; ' ат дх~ (39.1О) где Н есть функция Гамильтона (35.6), получаем равенство в котором величина (39.19) называется скобками Пуассона. Аналогия между формулами (39.7) и (39.11) дала возможность назвать оператор (39.8) квантовыми скобками Пуассона.
Если оператор 7. или величина 7. явно от времени не зависят, то формулы (39.7) и (39.11) принимают следующий вид: дŠ— =(Н, 7.], Ж (39.13) и— '- = 1Н, 71. (39.14) Ы4 Таким образом, производная от среднего значения динамической переменной представлена как среднее значение от некоторого оператора. Естественно этот последний оператор принять за определение производной от оператора рассматриваемой динамической переменной. Обозначая производную от оператора 1. символом г(Е(гИ, иа основании (39.6) можно написать: яь дь ~й дг -à — —,+(Н Ц (40.2) и т.
д. В правых частях этих уравнений стоят квантовые скобки Пуассона, определяемые равенством (39.8). Интегралы движения. Пусть оператор Ь некоторой динамической переменной не зависит явно от времени и коммутирует с гамильтонианом. Тогда на основании (39.7) имеем д~ =О. (40.4) В этом случае среднее значение (А) с течением времени не изменяется, так как из (40.4) следует, что д (Ь) — О, (40.5) т.
е. среднее значение этой переменной постоянно. Постоянной остается также и вероятность найти при измерении динамической переменной Е то или иное численное значение Е„. Чтобы это показать, заметим, что эта вероятность Р„ дается формулой р„ = 1 с„ 1' = ~ ~ Ч"(г, Е) и„' (г) Н г ! , (40.6) где и„есть собственная функция оператора Е, принадлежащая собственному значению1, аЧ'есть волновая функция стационарного Зх й 40. Квантовые уравнения Гамильтона Аналогия между квантовыми и классическими формулами идет еще дальше.
Классическое уравнение (39.14) определяет изменение производной динамической величины со временем н является уравнением для этой динамической переменной. В частности, она содержит в себе уравнения движения. Взяв в качестве Е в этом уравнении величину х, находим дк Н дН дк дхдН дН (40.1) Ж ' др дх др дх др Аналогично, взяв в качестве Е величину р, получим др дН др др дН дН вЂ” =(Н, р)= — -- — — — = — - — . Ж ' др д» дрдх дк Таким образом, уравнение (39.14) содержит в себе уравнения движения в форме Гамильтона. Уравнение (39.13) является квантовым уравнением для оператора Х, которым изображается некоторая динамическая переменная, т.
е. это уравнение определяет закон изменения соответствующей динамической переменной. Взяв в качестве динамических переменных оператор координаты и импульса частицы, получим следующие квантовые уравнения движения в форме Гамильтона: — „= (Й, х), Р" — 1Й, р„) (40.3) состояния, в котором производится измерение величины Е. Независимость р„от времени становится очевидной, если в явном виде выписать аргументы с„= ~ Ч'(г, 1)и„'(г)йтг-и '* ~ Ч'(г)и„*(г)г[т, (40.7) — -'- ЪУ( где учтено, что Ч' (г, г)=е " Ч' (г).
Ясно, что[с„~ ~ не зависит от времени, что и требовалось доказать. 5 41. Теоремы Зрнфеста Вычислим квантовые скобки Пуассона [(т', х), [Н, р [. Поскольку оператор координаты х коммутирует с оператором потенциальной энергии й', входящей в оператор Гамильтона, и, кроме того, он коммутирует со всеми составляющими оператора импульса, за исключением составляющей р„, мы имеем [Й, х) = — (Йх — хй) = — „(р,'х — хр'„'). а ~ао" (41.1г Но а - - - г-" йк "- " а р„х = р (р„х) = р ( хр„+ —.
) = (р„х) р + —. р„=- г-- а~- а л- = ( хр„+ —, ) р„+ —. р„— х р„'+ 2 —. р„. Следовательно, [Нх[ = —" Ш г "" " " дУ [Й, р.[=--;,Фр- — р-И= — —;„ (41.3) и аналогичные равенства относительно других составляющих 116 Учитывая соотношения (40.3), получим — -=[Й, х[= ~" . (4! .2) Аналогичные равенства имеют место и относительно других составляющих оператора координаты и импульса.
Производную от оператора координаты естественно отождествить с оператором скорости. Равенство (41.2) показывает, что в квантовой механике между оператором скорости и оператором импульса существует такое же соотношение, какое в классической механике существует между скоростью и импульсом. Вычислим теперь квантовую скобку Пуассона [Й, р„[. Ввиду того, что оператор р„коммутирует с оператором кинетической энергии, имеем импульса. Но оператор — д(цдх является оператором проекции силы на ось х: ~й (41.4) Поэтому второе уравнение Гамильтона (40.3) можно записать в следующем виде: Ф (41.5) т. е.
оператор производной от импульса равен оператору силы. На основании формулы (39.6) с учетом (41.2) и (4!.3) можно написать: -- (х) = -- (р ), (41.6) ;аи „ц(р) — .,дх, — (р~). (41.6а) или в развернутом виде: ~, 1 Ч"хаас= — ' г1 Ч"р„Ч'Ь, жо ~ (41.7) в .зи — Ч'*р Ч' дт = — ( Ч"* — Ч' Ит. * (41.7а) Это уравнение показывает, что средняя координата частицы и средняя сила в квантовой механике находятся в таком же соотношении, в каком координата частицы и сила находятся в классической механике, т. е. связаны уравнением движения Ньютона.
117 Таким образом, производная по времени от средней координаты (х) равна среднему импульсу, деленному на массу частицы, а производная от среднего импульса (р„) равна средней силе ( — д(/!дх). Таким образом, в квантовой механике средние значения координат и импульсов частицы, а также силы, действующей на нее, связаны между собой уравнениями, аналогичными соответствующим уравнениям классической механики, т. е. при движении частицы средние значения этих величин в квантовой механике изменяются так, как изменяются истинные значения этих величин в классической механике.
Эти утверждения, записанные в виде уравнений (41.7), (41.7а), носят название теорем Эрнфеста. Если обе части уравнения (41.7) продифференцировать по времени, а производную по времени от (р„) в правой части результирующего уравнения исключить с помощью (41.7а), то получается квантовый аналог уравнения движения Ньютона: дз; зи, шΠ—,~р(х) =, — - — / = (Рх).
(41.8) Задачи к гл. 11 11.1. Получить правило дифференцирования по времени произведения двух операторов. Решение дГ дЕ ~ (АВ) = — (АВ) 1 — „' (ЙА — АВЙ), где Й вЂ” гамильтониан. Учтем, что ЙА — АВЙ = (ЙА — Ай) В+ А (Й — ВЙ) де (АВ) = д — В+ А д1 . Следовательно, ~(АВ)= ~ —,А+--„'-(ЙА" — Ай) ~Ь+ А ~',~+-„'-(Н — Вй) ~= = — В+А— дА" "йВ дт Ю 11.2.
Гамильтониан заряженной частицы, движущейся в магнитном поле, имеет вид 1 Н = — „(р — еА)', 2лто где А — оператор вектора-потенциала магнитного поля, являющийся функцией координат. Найти оператор скорости частицы ч в магнитном поле и правила коммутации различных компонент оператора скорости между собой. Р е ш е н и е.
По определению оператора скорости как производной от оператора радиуса-вектора частицы и пользуясь правилами дифференцирования операторов, получаем дг т "" "" 1 ч =- — = — (Йг — гН) = — (р — еА). = дг = Л мо Далее имеем Л дА„ р А„— Аер =-; — —" 1 де и два других аналогичных соотношения, получающихся в результате циклической перестановки индексов. Учтя, что В .= го1 А, находим реЛ о„о„— оро =- -- В„ теЛ орое оеар о Ве~ мо ееЛ орое оеое = е Вр то Глава /2 ПРОСТЕЙШИЕ СЛУЧАИ ДВИЖЕНИЯ МИКРОЧАСТИЦ й 42. Свободное движение частицы Нахождение волновых функций. В случае свободного движения внешние силы отсутствуют. Ограничимся рассмотрением движения в одном измерении.
Оператор Гамильтона Н и уравнение Шредингера можно записать следующим образом: ко до Н= — — —, 2то дхо ' Ь дЧ' 1Р доЧ' д1 ад дхь (42.2) (42. 1) Положив -он Ч'(х, 1)=е " Ч',(х), (42.3) получим для Ч',(х) уравнение доч'о + 2щ (рт 0 Ехо Ао о (42.4) решение которого имеет вид о Ч'о=Аео ."+Ве ь (42.5) где учтено, что импульс р„свободной частицы связан с ее энергией (Р' соотношением р„= 'у"2тоуг'. Величины А и В являются произвольными постоянными. Первый член в (42.5) описывает движение частицы в положительном направлении оси х, а второй член — в отрицательном. Чтобы в этом убедиться, надо вернуться к функции (42.3) и посмотреть, в каком направлении перемещаются точки постоянной фазы от первого и второго членов функции (41.5).
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
