Матвеев А.Н. Квантовая механика (1185136), страница 25
Текст из файла (страница 25)
Условия сшивания (43.13) в рассматриваемом случае гласят: А, я1п х,а = Сое-о', (43.17) А,х, соя наа = — йС~е " . ! а в области 1 имеет вид (43.10а). Решения для различных областей можно записать следующим образом: (П) Ч",=А,ейпхх+В,сояхх, (43.12) (П) Чга = Аз я)п хо(х — а)+ Во саяно(х — а). Из условия Ч',(0) следует, что В1= О, а условия непрерывности функции и ее производной Ч', (а) = Ч'а (а), ) Ч'; (а) = Ч"; (а) (43.13) дают для коэффициентов Аа и Во следующие выражения: х, Ая= — А,саян,а, ко Во = А1 я!п х,а. Эти условия могут быть всегда удовлетворены.
Поэтому в случае )р') (/о спектр энергии непрерывен, частица при своем движении не локализована в конечной области пространства, ее движение инфинитно. СлУчай мГ < (!о. УРавнение ШРедингеРа в области П можно записать следующим образом: (П) Ч'. — й'Ч'а = О. й' =,о ((/о — В') ) 0 (43.15) Разделив почленно первое уравнение на второе, получим следукацее условие квантования энергии: х, с!я х,а = — й.
(43. ! 8) Для графического решения этого уравнения удобно сделать следующие преобразования. Мы имеем 1 1 з!и х,а = —. !' 1+с1яз х1а у + х1 / = з/ ц,— 1г $' и, ~Г 1+ —: %' Но — а 'г' $Г== — х„ г' 2щ~ и, следовательно, уравнение (42.!8) принимает вид л з!п у = — у„у = х,а. аУ'2 аи, (43.
! 9) — У К мО аа Рис. 2а а у с синусоидой г = з!ну, а лишь те, которые соглааЪ~ 2гиоС~о суются со знаком в уравнении (43. !8), т. е. точки пересечения в четных четвертях. Этим значениям у„, которых имеется конечное число, соответствуют энергии (43.20) Таким образом, в потенциальной яме с конечной глубиной рассматриваемого вида имеется конечное число собственных значений энергии.
Если глубина ямы Уа слишком мала, то может случиться, что ни одного собственного значения энергии не существует, т. е. стационарное движение частицы в конечной области не существует. 127 Это уравнение решается с помощью построения, указанного на рис. 28.
В качестве решений берутся не все пересечения прямой В классической механике при У < Уо частица не может проникнуть в область х ) а. В квантовой же механике дело обстоит по-другому. Волновая функция при х ) а согласно (43.! 611) имеет вид Ч~г (х) = Сга Таким образом, она быстро убывает при удалении от точки х = а в сторону увеличивающихся значений х, но не равна нулю. Это означает, что существует определенная вероятность того, что частица, имея энергию )о' ( У„ все же проникает в область х ) а.
Этот эффект обусловливает важное квантовое явление прохождения микрочастиц через потенциальный барьер. 5 44. Линейный гармонический осциллятор Потенциальная энергия многих физических систем имеет в некоторых точках пространства минимум. Разлагая в окрестности минимума потенциальную энергию в ряд, имеем (/ (х) — Е/ (О) + -- ( — ) х + —, ( — ) хо +..., где х — отклонение от положения равновесия.
Если частица совершает малые колебания около положения равновесия, то в написанном ряде можно ограничиться только двумя первыми членами. Частицу, совершающую гармонические колебания, будем называть гармоническим осциллятором. С такими гармоническими осцилляторами мы встречаемся в теории кристаллов при изучении колебаний атомов в молекулах и т. д. Оператор !'амильтона для осциллятора в квантовой теории имеет вид Рг о'о~~о г Й= — + — х, 2то 2 (44.1) где г = ф~ — ~~ .х. (44.3) Обозначая производные по ~ штрихами, имеем Ч'"'+(Х вЂ” эг) Ч" = О, 128 (44. 4) а уравнение Шредингера записывается следующим образом: + о (К о х') Ч'=. О. (44.2) Для дальнейших вычислений удобно перейти к безразмерной переменной э: где 2В' (44.5) Для определения асимптотического поведения Ч' на бесконечности заметим, что при вэ Ъ Л в уравнении (44.4) можем пренебречь Л по сравнению с вэ и записать его в виде Ч~"., — РЧ~., = О.
Отсюда следует, что 12 Ч„~ а Решение со знаком плюс в экспоненте надо отбросить, поскольку оно не удовлетворяет требованию конечности. Волновую функцию Ч" будем искать в виде $2 Ч~ = оЧ"ас = оа (44.6) Чтобы функция Ч" оставалась конечной, о не должно расти на бесконечности быстрее, чем ехр (э'/э). Для функции о получаем следующее уравнение: о" — 2$и'+ (Л вЂ” 1) о = О. (44.7) Будем иметь функцию о в виде ряда: О(Х) =аа+аД+аД'+... +а1Д'+ ..
(44.8) Подставляя (44.8) в (44.7), имеем СО ОЭ О ~~ к (А — 1) айа ' — 2$ ~ йаава '+ (Л вЂ” ! ) ~ ааэ~ = О. а=а А=1 а=а Отсюда 2а — Л+ 1 па+,—— -аа (а+ ( + При А -ю.оо получаем ~й+г аа а (44.10) Это означает, что представляемая бесконечным рядом (44.8) функ- 9 заказ М 1оэ4 129 Сумма бесконечного степенного ряда тождественно равна нулю только в том случае, когда коэффициенты при всех степенях независимой переменной равны нулю. Приравнивая нулю сумму коэффициентов при одинаковых степенях, получаем следующие реку- рентные соотношения для определения коэффициентов аа.
аа,э (й+ 2) (А+ 1) — 2йаа+ (Л вЂ” 1) аа = О. (44.9) ция растет как ехр (э'). Чтобы в этом убедиться, рассмотрим разложение ехр ($') в ряд: $4 ~6 1х й' И")' =- !+ у+... +ь„р'+ ь„~"-+... Мы имеем Ьа+~ (2) Й (2+ ) что и доказывает высказанное выше утверждение. Ряд (44.8) должен обрываться. Оборвем ряд на члене с номером л, т. е.
будем считать, что а„чь О, а„+, —— О. Тогда из (44.!О) имеем Л = Л„= 2п+ 1 (44.11) и для энергии осциллятора получаем следуюшие значения Ж'д — — йы(2+я)з и=О, 1, 2, ... (44.12) Нулевая энергия. При и = О из формулы (44.12) получается, что минимальная энергия осциллятора равна ! ~'а — — — Ь~. 2 То, что минимальная энергия осциллятора не равна нулю, обусловлено специфическими квантовыми свойствами системы и связано с соотношением неопределенности. Если бы энергия частицы была равна нулю, то частица покоилась бы н ее импульс и координата имели бы одновременно определенные значения, что противоречит требованиям соотношения неопределенности. То, что минимальная энергия осциллятора не равна нулю, можно доказать экспериментально.
Для этого надо исследовать изменение рассеяния света кристаллами при изменении температуры. Рассеяние света обусловливается колебаниями атомов. Суменьшением температуры амплитуда колебаний атомов уменьшается, стремясь согласно классической механике к нулю, в результате чего должно исчезнуть рассеяние света. С точки зрения квантовой механики при понижении температуры средняя амплитуда колебаний должна стремиться не к нулю, а к некоторому пределу, обусловленному наличием нулевой энергии колебаний. Поэтому и рассеяние света при понижении температуры должно стремиться к некоторому пределу.
Именно такой ход интенсивности рассеяния наблюдается в экспериментах. 130 Волновые функции. Из рекурентных соотношений (44.10) следует, что четность полинома (44.8) совпадает с четностью числа л. Поэтому полипом имеет следующий вид: ( аа при и четном, ~ аД при и нечетном. Положим а„= 2» и определим остальные коэффициенты по реку- рентным формулам (44.10), в которых Х = — 2п + 1. Для коэффициентов а« имеем аь () — 1 — 2/г) =- аь (2« — 2л) =- — а„+ (А -)- 2) (я -(- 1), или «1« — 1)» — а«(« — 1) »- = » Я.Я 11 (« — 2) (« — 3)» — а «(« — 1) (« — 2) (« — 31 24 — — 2 21 и т.
д. Полипом (44.13), в котором а» = 2", а Л= 2«+ 1, называется полиномом Эрмита и обозначается П„(9): (29)» (2»ь)»-а «(« — 1) +(2»ь)» ч«(« — 1)(« — 21(« — 3) (44.14) Легко убедиться непосредственным дифференцированием, что полипом Эрмита (44.14) можно представить в следующем виде: П„(~) =( — 1)'а+1' „„, (е-1').
(44.15) Таким образом, волновая функция Ч„, принадлежащая собственному значению Ю'„(44.12), имеет следующий вид: Р„(х) = С„а-1 аН„(Р, (44. 16) Нормировочные коэффициенты С„находятся из условия ~ Ч'„' дх С»„~/ ~ а-е'Н'„(9) 09=-1. »» Так как О„=( — 1)»ет'-„— »(е 1'), то последний интеграл можно представить в более удобной форме: 9* 131 Учитывая, что с„( ) (44.17) Четкость собственных функций.
Уравнение Шредингера в одном измерении имеет вид ФЧ («) 2та д «+ а2 (1Г (I(х)] Ч (х)=0. Пусть потенциальная энергия есть четная функция и(х)=и( — ). Заменяя в уравнении Шредингера х на — х, получаем ч' ( — «1 „2 ъ (К вЂ” (7 (х)) Ч' ( — х) = О, т. е. функции Ч' (х) и Ч' ( — х) удовлетворяют одному и тому же волновому уравнению и принадлежат одному и тому же уровню энергии. Если уровень энергии не вырожден, то функции Ч'(х) и Ч" ( — х) могут отличаться лишь постоянным множителем А: Ф (х) = АЧ'( — х).
Заменяя в последнем выражении х на — х, имеем Ч" ( — х) = АЧ (х), или Ч'(х) = А'Ч" (х). Отсюда следует, что А'=1, А= ~1. Таким образом, если потенциал есть четная функция координаты, то все собственные функции либо четные, либо нечетные. В случае вырождения собственные функции уравнения Шредингера не обязательно обладают определенной четностью. Однако всегда можно найти такие линейные комбинации собственных функций, которые будут обладать определенной четностью. В случае гармонического осциллятора волновые функции Ч'„ (44.16) являются четными при четном л и нечетными при нечетном и. Теория излучения. В гл. 7 излучение абсолютно черного тела было рассмотрено полуклассическим способом. При этом оказалось невозможным последовательно вычислить коэффициенты Эйнштейна для вероятностей квантовых переходов.
Воспользовавшись принципом соответствия, т. е. путем замены классических величин 132 для нормировочного множителя С„получаем следующее выра- жение: квавтово-механическими, мы можем вычислить коэффициенты Эйнштейна. Более строго вычисление коэффициентов можно провести с помощью аппарата вторичного квантования, который не излагается в настоящем курсе. В классической теории энергия излучения, отнесенная к единице времени, дается формулой — — (г)~, Ж бпез са (44. 18) где г — ускорение излучающего заряда. В квантовой теории средняя энергия излучения может быть представлена в виде '~ як в = Ф„„А„„)кз, аг где множитель У„„учитывает статистические свойства электронов, а А„„ есть отнесенная к единице времени вероятность квантового перехода из состояния и в состояние и', при котором излучается квант с энергией йв.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
