Матвеев А.Н. Квантовая механика (1185136), страница 20

Просмтор этого файла доступен только зарегистрированным пользователям. Но у нас супер быстрая регистрация: достаточно только электронной почты!

Текст из файла (страница 20)

е. не могут быть одновременно измерены. Однако при определенном условии они могут быть одновременно измерены. Необходимым и достаточным условием этого является коммутативность операторов этих динамических переменных. Доказательство необходимости условия состоит в следующем. Пусть операторы А и М имеют общие собственные функции и, следовательно, соответствующие динамические переменные одновременно измеримы. Тогда из уравнений Ьи =- Еи, Ми — Ми (36. 1) следует, что ~Ми = МАи=-МЬи, М1.и = ЕМи = ВМи. (36.2) Отсюда видно, что операторы 1 и М коммутируют: АМ=МАЙ. (36.3) 97 7 закаэ м 1094 Доказательство достаточности условия проводится следующим образом.

Если операторы Е и М коммутируют: М=-МА, (36.4) то, обозначив для определенности собственную функцию оператора М через и, т. е. считая, что Ми=Ми, (36. 5) можно на основании (36.4) и (36.5) написать: Жи = ЕМи == МЕи. (36.6) Это означает, что функция Еи есть собственная функция оператора Й, принадлежащая собственному значению М. Но согласно (36.5), собственной функцией оператора М, принадлежащей собственному значению М, является функция и. Следовательно, функции Еи и и совпадают с точностью до численного множителя, который мы обозначим через 7: Еи = (.и. (36.7) Зто равенство означает, что и является собственной функцией оператора Е, т. е.

операторы 1 и М имеют общую собственную функцию, и поэтому соответствующие им динамические переменные одновременно измеримы. Теорема полностью доказана. Принцип дополнительности. Из изложенного выше следует, что в квантовой механике для описания движения частиц нельзя пользоваться одновременно всеми теми переменными, которыми мы пользуемся при описании движения частиц в классической механике.

Координата и соответствующий этой координате импульс частицы являются примером пары таких переменных. Таким образом, в квантовой механике состояние движения описывается меньшим числом переменных и с точки зрения представлений класслческой физики является менее подробным описанием.

Выберем всевозможные физические величины, операторы которых коммутируют между собой. Эти величины могут одновременно иметь определенные значения. Совокупность этих величин дает полное квантово-механическое описание и является полным набором величин в квантовой механике, хотя в классической механике для полного описания движения мы пользуемся одновременно с этими величинами также и другими. Выбрав в качестве полного набора величин некоторые конкретные величины (например, в числе прочих — координаты), мы тем самым исключим из рассмотрения другие (в данном случае в числе прочих — импульсы), операторы которых не коммутируют с ними и, следовательно, не могут входить в тот же самый полный набор 98 Однако эти другие величины в свою очередь могут входить в другой полный набор, которым можно также пользоваться для описания движения.

В частности, мы можем пользоваться координатами и временем и тогда получим описание системы, рассматриваемой в пространстве и времени, но можно пользоваться и импульсно- энергетическими переменными, и тогда получается описание, в котором как бы теряется связь с пространством и временем. Таким образом, ситуация здесь такова: либо мы возьмем один полный набор величин, тогда при рассмотрении физического явления мы не сумеем учесть некоторые важные особенности, которые связаны с величинами, не входящими в рассматриваемый набор; либо мы возьмем другой полный набор величин и тогда потеряем кое-что, связанное с величинами первого набора. В этом и состоит сущность принципа дополнительности. Из изложенного видно, что принцип дополнительности является просто констатацией ситуации, которая существует в квантовой механике.

Но при истолковании принципа дополнительности иногда допускаются ошибки. Прежде всего вопрос об источнике дополнительности. Очевидно, что дополнительность возникает в силу тех же обстоятельств, в силу которых возникают и другие квантовые закономерности, т. е. дополиительность обусловливается свойствами микрочастиц, в силу которых их нельзя рассматривать ни с чисто корпускулярной, ни с чисто волновой точки зрения. В некотором смысле принцип дополнительности и есть констатация наличия этих двух сторон в едином явлении.

Поэтому попытка связать принцип дополнительности с существованием двух классов измерительных приборов и с какими-то особенностями измерения некорректна. Вторая ошибка делается в истолковании значения принципа дополнительности. Односторонне подчеркивается различие двух сторон дополнительности и забывается об их единстве. Говорится, что мы можем принять во внимание одни стороны явления, но тогда от нас ускользают другие, и наоборот. Однако необходимо иметь в виду, что речь идет о различных подходах к рассмотрению одной и той же объективной сущности.

Поэтому имеющиеся различные подходы к изучению и истолкованию явлений не исключают, а дополняют друг друга. Всестороннее изучение явления возможно лишь тогда, когда оно действительно изучается со всех сторон. Принцип дополнительности и указывает на то обстоятельство, что в явлении имеется несколько сторон. Неправильное толкование принципа дополнительности состоит в попытке свести его содержание к требованию изучать явления только с какой-либо одной стороны. Чистые и смешанные состояния. Для того чтобы полностью определить волновую функцию, описывающую данное состояние, необходимо посредством измерений задать полный набор динамических переменных. Волновая функция рассматриваемого состояния является собственной функцией операторов, представляющих (Е)=~~~„р, ~ Ч'*ЕЧ'„г)г. и (36.9) Сравним эту формулу с формулой дчя среднего в чистом 400 полный набор физических величин.

При этом условии волновая функция определяется полностью и дает максимапьно полное описание системы, которое возможно в квантовой механике. Такого рода состояния, описываемые полностью определенной волновой функцией, называются ч и с т ы м и с о с т о я н и я м и. В чистых состояниях осуществляется максимально полное описание состояния квантовой системы. Однако в квантовой механике возможны и такие состояния, которые не соответствуют никакой волновой функции. Это может случиться в том случае, когда по каким-либо причинам мы не можем определить состояние с помощью полного набора величин и вынуждены довольствоваться неполным описанием. В этом случае в результате измерений физических величин в рассматриваемой системе мы можем установить: а) какие чистые состояния Ч'„Ч',, Ч'„...

присутствуют и исследуемом состоянии, поскольку пам известно, каким чистым состояниям соответствуют те или иные значения физических величин; б) вероятности Рь Рм Р„..., с которыми чистые состояния Ч'„ Ч',, Ч"м ... присутствуют в исследуемом состоянии, поскольку вероятность может быть вычислена по относительной частоте появления того или иного результата измерения.

Однако по этим данным невозможно построить волновую функцию исследуемого состояния, потому что в ожидаемом на основании принципа суперпозиции представлении Ч" =- ~~ С„Ч'„ (36.8) я нам известны лишь квадраты модулей коэффициентов ) С„~ з = р„, но неизвестны сами коэффициенты. Коэффициенты С„известны лишь с точностью до фазовых множителей ехр (лх„). Таким образом, волновая функция в этом случае остается неопределенной.

Состояния, которым нельзя сопоставить никакой волновой функции, называются смешанными состояниями. Смешанные состояния описываются набором волновых функций Ч'„Ч',, Ч'м... чистых состояний, входящих в смешанное состояние, и набором вероятностей Рь Рь рм ..., с которыми чистые состояния Ч'„ Ч"ь Ч',, ... входят в смешанное состояние. Зная наборы волновых функций чистых состояний и соответствующие вероятности, можно вычислять средние значения физических величин в смешанном состоянии. Если физическая величина представляется оператором Е, то ее среднее значение вычисляется по формуле состоянии, т.

е. в том случае, когда состояние описывается формулой вида (36.8). Мы имеем (1.) = ~ ЧсЧ.Чс с(х = ~ С;,С„~ Ч"„ЬУ„сЬ+ и + ,'", ~,С„"С„~ Ч*„7.Ч„(т= = ',с', р„~ Чс,*,АЧс„с(т + '~~~ ~', С*„С„~ Ч" АЧс с(т. (36. 10) 9 37. Соотношение неопределенностей Вычислим коммутатор операторов координаты х и импульса р„. Учитывая (30.6), получаем сс д 6 д сс (р„, х) = — — х — х —. — -- = —.. (37.1) с дх с' дх с Аналогичные соотношения получаются и для других составляющих координаты и импульса.

Различные составляющие этих операторов, очевидно, коммутируют. Например, (р., р)=0 (37.2) Из (37.1) следует, что координата, импульс и т. д. при измерении не могут давать одновременью определенных значений. Измеряя одновременно у частицы в некотором состоянии координату и импульс, мы будем получать значения этих величин, разбросанные около некоторых средних. Разброс величин около их средних значений в математике характеризуется дисперсией или средним 101 Сравнение формул (36.9) и (36.10) показывает, что в выражении для среднего в чистом состоянии присугствует дополнительный член, учитывающий интерференцию различных состояний, входящих в полное состояние.

Поэтому можно сказать, что смешанное состояние есть иекогерентная смесь составляющих его чистых состояний, а чистое состояние есть когерентная смесь составляющих его чистых состояний Все сказанное выше можно изложить математически в виде так называемого формализма матрицы плотности. Но этот формализм не содержит никаких новых принципиальных элементов по сравнению со сказанным и мы не будем его здесь излагать.

Характеристики

Список файлов книги