Матвеев А.Н. Квантовая механика (1185136), страница 18

Просмтор этого файла доступен только зарегистрированным пользователям. Но у нас супер быстрая регистрация: достаточно только электронной почты!

Текст из файла (страница 18)

Операторы А и В называются коммутирующими, если их произведение не зависит от порядка сомножителей, т. е. если АВ= ВА. Если для двух операторов А и В имеет место равенство АВ = — ВА, то эти операторы называются анти комму тир ующими. то операторы С, С„Сз называются соответственно суммой операторов А и В, разностью операторов А, и В, и произведением операторов А зВм и это обстоятельство записывается следующим образом: С вЂ” — А+ В; С~ — — А, — В;, Юз = Аэбм (30.4) Алгебраические свойства суммы и разности операторов совершенно аналогичны алгебраическим свойствам сумм и разности чисел: можно группировать слагаемые, изменять их порядок и т. д.

Но алгебраические свойства произведения операторов значительно отличаются от алгебраических свойств чисел: произведение операторов, вообще говоря, зависит от порядка сомножителей в этом произведении: Оператор А — ВА называется коммутатором операторов А и В и обозначается следующим образом: А — ВА=[А, В] . (зо у) Антикоммутатором операторов А и В называется оператор [А, В] ==АВ+ВА. (зо.в) Собственные значения и собственные функции линейных операторов. Может случиться, что в результате применения оператора А к некоторой функции и получается та же функция и, умноженная на некоторое число Л, т.

е. имеет место равенство Аи = — Ли. (30.9) Если функция и непрерывна, однозначна и конечна, то она называется собственной функцией оператора Х, принадлежащей собственному значению Л. Число Л называется собственным значением оператора (,. Обычно оператор и его собственное значение обозначаются одной и той же буквой. Совокупность собственных значений оператора называется его спектром. Если оператор 1.

является линейным дифференциальным оператором, то, как доказывается в теории линейных дифференциальных уравнений„его спектр может быть как дискретным, т. е. состоящим из ряда чисел, так и непрерывным, т. е. состоящим из непрерывного множества чисел, заключенных в некотором интервале значений. Может случиться, что спектр будет частью дискретным, частью непрерывным.

й 31. Линейные самосопряженные (эрмитовы) операторы Определение. В квантовой механике употребляются не любые линейные операторы, а лишь так называемые самосопряженные, или эрмитовы, операторы. Оператор Х называется самосопряженным, если для любых двух функций и и о имеет место равенство о*1лпт== ~ иЕ'о'йт, (31.1) где интегрирование производится по всей области изменения независимых переменных, совокупность дифференциалов которых обозначена через дт. Основное свойство. Важнейшее свойство самосопряженных операторов, обусловливающих их применение в квантовой механике, состоит в том, что собственные значения самосопряженных операторов являются действительными числами.

Доказательство этого 86 положения следует непосредственно из равенства (31.1). Пусть Е будет самосопряженным оператором, а и собственная функция, принадлежащая собственному значению (.: Аи=1и, или А'и*=А и*. Положив в условии (31.1) о=и, имеем Е ~ и'и г(т = Е* ~ и*и йт, пли йЕи г(т= ~ и Й*и'йт с учетом (3!.1') следует, что (й — Е„) ~ и*„и Лт= — О. Так как Е Ф У, то и„и дт = О (и Ф п).

(31.2) В заключение выясним условие, при котором произведение двух самосопряженных операторов самосопряженно. ат 1=1.*, т. е. собственное значение Е самосопряженного оператора А является действительным числом. Ортогональность собственных функций. Собственные функции линейного самосопряженного оператора, принадлежащие различным собственным значениям, ортогональны друг другу, т. е. интеграл по всей области изменения независимых переменных от произведения одной из них на функцию, комплексно сопряженную к другой, равен нулю.

Пусть и„н и — собственные функции оператора Е, принадлежащие различным собственным значениям Е„и Тогда высказанное утверждение может быть математически записано в виде равенства и„'и йт = О, т чь п. Докажем это утверждение. Собственные функции и, и и удовлетворяют уравнениям Си„=Е и„, Еи =С и, (31.1') причем (.„ и Š— действительные числа, поскольку оператор А является самосопряженным.

Из условия самосопряженности (31.1) Пусть операторы А и В самосопряженны, т. е. удовлетворяют условию (31.1). Учитывая самосопряженность оператора А, имеем ~ о*АЬибт= ~ (Ви) А*о'с(т. Из условия самосопряженности оператора В следует: — '*' (Ьи) А и бт == ~ (А*о*) (Ви) дт = ~ иВ'А*о* йт. Таким образом, окончательно имеем о*АВи бт = ~ иВ'А'о*с(т. Отсюда видно, что произведение двух самосопряженных операторов является самосопряженным оператором только в том случае, когда эти операторы коммутируют. 5 32. Полнота системы собственных функций линейных операторов н разложение по собственным фуннцням Нормирование собственных функций. Собственные функции определяются лишь с точностью до произвольного постоянного множителя. Этот множитель можно подобрать так, чтобы собственные функции были нормированы на единицу, т.

е. ~ йи„дт=-1. (32.1) Полнота системы собственных функций. В теории линейных операторов доказывается, что система собственных функций широкого класса линейных операторов является полной ортогональной системой функций, т. е. ие существует функции, которая была бы ортогональной ко всем функциям системы. Исходя из этого утверждения, доказывается также, что любая функция, удовлетворяющая весьма широким математическим условиям, которые в физических приложениях как правило выполняются, может быть разложена по полной ортогональной системе собственных функций линейного оператора, т.

е. любая функция с1 может быть представлена в виде бесконечного ряда и=с,и,+с,иэ+... +с„и„+..., (32.2) в котором величины сь называемые коэффициентами разложения, являются постоянными числами. Эти коэффициенты разложения могут быть найдены путем умножения обеих частей равенства (32.2) на собственную функцию ит и интегрирования по области изменения переменных. Ввиду условия (31.2) все интегралы справа, за исключением члена с номером г', обращаются в нуль, а интеграл от произведения иеи, на основании (32.1) равен единице. 88 Поэтому для коэффициента разложения с~ в (32.2) получается следующее выражение: с~= ~ и1ийт.

(32.3) Следует отметить, что собственные функции могут иумероваться не одним индексом, а некоторой совокупностью индексов. В этом случае во всех выписанных выше формулах под индексами, которыми обозначаются собственные функции, следует понимать совокупность индексов, а суммирование в (32.2) следует понимать как суммирование по различным совокупностям индексов. Условия ортогональносги (31.2) и (32.!) можно записать в виде единой формулы: 11 п=гп, и*„и дт= б„ (32. 4) '(о Если и и гп означают некоторую совокупность индексов, то равенство а = т понимается как равенство соответствующих индексов из совокупностей, обозначенных через и и т.

Вырожденные собственные значения. Может случиться, что одному и тому же собственному значению принадлежит не одна собственная функция, а несколько. В этом случае говорят, что данное собственное значение вырождено. Собственные функции, принадлежащие вырожденному собственному значению, вообще говоря, не ортогональны друг другу, но, конечно, ортогональны другим собственным функциям, принадлежащим другим собственным значениям. Однако с помощью процесса так называемой ортогонализации (см. 3 65) собственные функции, принадлежащие вырожденному собственному значению, можно всегда подобрать таким образом, чтобы они были ортогональными друг другу.

й ЗЗ. Непрерывный спектр собственных значений В предшествующем изложении формулы выписывались применительно к дискретному спектру собственных значений. В случае непрерывного спектра некоторые формулы изменяются по форме. Пусть оператор Х имеет непрерывный спектр собственных значений ь. Собственную функцию, принадлежащую собственному значению („ обозначим через иы причем имеется ввиду, что число 1. изменяется непрерывно.

Условия ортонормированностн. Условие ортогональиости (31.2) собственных функций, принадлежащих различным собственным значениям, полностьюсохраняетсядляслучая непрерывного спектра и записывается в виде иьиь йт=О ьФ Г. (ЗЗ.Ц О Еэьб, 6(Е) =- оэ Е= О, (33.3) причем ~ 6(Е)бЕ=!. Основноесвойство 6-функции, которое легкодоказывается с помощью теоремы о среднем, состоит в том, что для широкого класса функ- ций 1 (Е) имеет место равенство: ь ~ ((Е')6(Š— Е)бЕ = ь О, если Е лежит вне интервала а, Ь, )(Е), если Е лежит внутри интервала(а, Ь). Таким образом, 6 (Е) является предельным случаем некоторой функции, которая стремится к нулю во всех точках Е, отличных от нуля, а вблизи нуля стремится к бесконечности таким образом, чтобы интеграл по области, включающей нулевую точку, был равен единице.

Характеристики

Список файлов книги